Modus tollens -Modus tollens

Règles de transformation
Calcul propositionnel
Règles d'inférence
Introduction  / élimination des implications ( modus ponens ) Introduction  / élimination biconditionnelle Conjonction introduction  / élimination Introduction  / élimination de la disjonction Syllogisme disjonctif  / hypothétique Dilemme constructif  / destructeur Absorption  / modus tollens  / modus ponendo tollens Introduction à la négation
Règles de remplacement
L'associativité Commutativité Distributivité Double négation Les lois de De Morgan Transposition Implication matérielle Exportation Tautologie
Prédis la logique
Règles d'inférence
Généralisation  / instanciation universelle Généralisation existentielle  / instanciation

Dans la logique propositionnelle , tollens modus ( / m oʊ d ə s t ɒ l ɛ n z / ) ( MT ), également connu sous le modus tollendo Tollens ( latin pour "Procédé d'élimination en enlevant") et niant la conséquence , est une forme d'argument déductive et une règle d'inférence . Modus tollens prend la forme de "Si P, alors Q. Pas Q. Donc, pas P." C'est une application de la vérité générale que si un énoncé est vrai, alors sa contraposée l'est aussi . La forme montre que l' inférence de P implique Q à la négation de Q implique que la négation de P est un argument valide .

L'histoire de la règle d'inférence modus tollens remonte à l'Antiquité. Le premier à décrire explicitement la forme d'argument modus tollens était Théophraste .

Le modus tollens est étroitement lié au modus ponens . Il existe deux formes d'argumentation similaires, mais invalides : affirmer le conséquent et nier l'antécédent . Voir aussi contraposition et preuve par contraposée .

Explication

La forme d'un argument de modus tollens ressemble à un syllogisme , avec deux prémisses et une conclusion :

Si P , alors Q .

Non Q .

Par conséquent, pas P .

La première prémisse est une affirmation conditionnelle ("si-alors"), telle que P implique Q . La deuxième prémisse est une affirmation selon laquelle Q , le conséquent de la revendication conditionnelle, n'est pas le cas. De ces deux prémisses, on peut logiquement conclure que P , l' antécédent de la revendication conditionnelle, n'est pas non plus le cas.

Par exemple:

Si le chien détecte un intrus, le chien aboiera.

Le chien n'a pas aboyé.

Par conséquent, aucun intrus n'a été détecté par le chien.

En supposant que les prémisses soient toutes les deux vraies (le chien aboiera s'il détecte un intrus, et effectivement n'aboie pas), il s'ensuit qu'aucun intrus n'a été détecté. C'est un argument valable car il n'est pas possible que la conclusion soit fausse si les prémisses sont vraies. (Il est concevable qu'il y ait eu un intrus que le chien n'a pas détecté, mais cela n'invalide pas l'argument ; la première prémisse est « si le chien détecte un intrus ». pas détecter un intrus, pas s'il y en a un.)

Un autre exemple:

Si je suis le meurtrier à la hache, alors je peux utiliser une hache.

Je ne peux pas utiliser de hache.

Par conséquent, je ne suis pas le meurtrier à la hache.

Un autre exemple:

Si Rex est un poulet, alors c'est un oiseau.

Rex n'est pas un oiseau.

Par conséquent, Rex n'est pas un poulet.

Relation avec le modus ponens

Chaque usage du modus tollens peut être converti en un usage du modus ponens et en un usage de transposition à la prémisse qui est une implication matérielle. Par exemple:

Si P , alors Q . (prémisse – implication matérielle)

Si ce n'est pas Q , alors pas P . (dérivé par transposition)

Non Q . (prémisse)

Par conséquent, pas P . (dérivé par modus ponens )

De même, chaque utilisation de modus ponens peut être convertie en une utilisation de modus tollens et de transposition.

Notation formelle

La règle du modus tollens peut être énoncée formellement comme :

${\displaystyle {\frac {P\à Q,\neg Q}{\donc \neg P}}}$

où représente l'énoncé "P implique Q". signifie "ce n'est pas le cas que Q" (ou en bref "pas Q"). Ensuite, chaque fois que " " et " " apparaissent chacun par eux-mêmes comme une ligne de preuve , alors " " peut être valablement placé sur une ligne suivante. ${\style d'affichage P\à Q}$${\style d'affichage \neg Q}$${\style d'affichage P\à Q}$${\style d'affichage \neg Q}$${\style d'affichage \neg P}$

La règle du modus tollens peut s'écrire en notation séquentielle :

${\displaystyle P\to Q,\neg Q\vdash \neg P}$

où est un symbole métalogique signifiant qui est une conséquence syntaxique de et dans un système logique ; ${\style d'affichage \vdash }$${\style d'affichage \neg P}$${\style d'affichage P\à Q}$${\style d'affichage \neg Q}$

ou comme l'énoncé d'une tautologie fonctionnelle ou d'un théorème de logique propositionnelle :

${\style d'affichage ((P\à Q)\land \neg Q)\à \neg P}$

où et sont des propositions exprimées dans un système formel ; ${\style d'affichage P}$${\style d'affichage Q}$

ou incluant des hypothèses :

${\displaystyle {\frac {\Gamma \vdash P\to Q~~~\Gamma \vdash \neg Q}{\Gamma \vdash \neg P}}}$

bien que puisque la règle ne change pas l'ensemble des hypothèses, ce n'est pas strictement nécessaire.

Des réécritures plus complexes impliquant des modus tollens sont souvent observées, par exemple en théorie des ensembles :

${\displaystyle P\subseteq Q}$

${\displaystyle x\notin Q}$

${\displaystyle \donc x\notin P}$

("P est un sous-ensemble de Q. x n'est pas dans Q. Par conséquent, x n'est pas dans P.")

Également dans la logique des prédicats du premier ordre :

${\displaystyle \forall x:~P(x)\to Q(x)}$

${\style d'affichage \neg Q(y)}$

${\displaystyle \donc ~\neg P(y)}$

("Pour tout x si x est P alors x est Q. y n'est pas Q. Par conséquent, y n'est pas P.")

À proprement parler, il ne s'agit pas d'instances de modus tollens , mais elles peuvent être dérivées de modus tollens en utilisant quelques étapes supplémentaires.

Justification par table de vérité

La validité du modus tollens peut être clairement démontrée par une table de vérité .

p	q	p → q
T	T	T
T	F	F
F	T	T
F	F	T

Dans les cas de modus tollens, nous supposons comme prémisses que p → q est vrai et q est faux. Il n'y a qu'une seule ligne de la table de vérité, la quatrième, qui satisfait à ces deux conditions. Dans cette ligne, p est faux. Par conséquent, dans chaque cas où p → q est vrai et q est faux, p doit également être faux.

Preuve formelle

Par le syllogisme disjonctif

Étape	Proposition	Dérivation
1	${\displaystyle P\rightarrow Q}$	Étant donné
2	${\style d'affichage \neg Q}$	Étant donné
3	${\displaystyle \neg P\lor Q}$	Implication matérielle (1)
4	${\style d'affichage \neg P}$	Syllogisme disjonctif (3,2)

Via reductio ad absurdum

Étape	Proposition	Dérivation
1	${\displaystyle P\rightarrow Q}$	Étant donné
2	${\style d'affichage \neg Q}$	Étant donné
3	${\style d'affichage P}$	Hypothèse
4	${\style d'affichage Q}$	Modus ponens (1,3)
5	${\displaystyle Q\land \neg Q}$	Introduction à la conjonction (2,4)
6	${\style d'affichage \neg P}$	Reductio ad absurdum (3,5)
7	${\displaystyle \neg Q\rightarrow \neg P}$	Introduction conditionnelle (2,6)

Par contraposition

Étape	Proposition	Dérivation
1	${\displaystyle P\rightarrow Q}$	Étant donné
2	${\style d'affichage \neg Q}$	Étant donné
3	${\displaystyle \neg Q\rightarrow \neg P}$	Contraste (1)
4	${\style d'affichage \neg P}$	Modus ponens (2,3)

Correspondance avec d'autres cadres mathématiques

Calcul de probabilité

Modus tollens représente une instance de la loi de probabilité totale combinée avec le théorème de Bayes exprimé sous la forme :

${\displaystyle \Pr(P)=\Pr(P\mid Q)\Pr(Q)+\Pr(P\mid \lnot Q)\Pr(\lnot Q)\,}$,

où les conditionnelles et sont obtenues avec (la forme étendue du) théorème de Bayes exprimé par : ${\style d'affichage \Pr(P\mid Q)}$${\displaystyle \Pr(P\mid \lnot Q)}$

${\displaystyle \Pr(P\mid Q)={\frac {\Pr(Q\mid P)\,a(P)}{\Pr(Q\mid P)\,a(P)+\Pr( Q\mid \lnot P)\,a(\lnot P)}}\;\;\;}$et . ${\displaystyle \;\;\;\Pr(P\mid \lnot Q)={\frac {\Pr(\lnot Q\mid P)\,a(P)}{\Pr(\lnot Q\mid P)\,a(P)+\Pr(\lpas Q\mid \lpas P)\,a(\lpas P)}}}$

Dans les équations ci-dessus, désigne la probabilité de , et désigne le taux de base (alias probabilité a priori ) de . La probabilité conditionnelle généralise l'énoncé logique , c'est-à-dire qu'en plus d'attribuer VRAI ou FAUX, nous pouvons également attribuer n'importe quelle probabilité à l'énoncé. Supposons que cela équivaut à être VRAI, et cela équivaut à être FAUX. Il est alors facile de voir que quand et . C'est parce que dans la dernière équation. Par conséquent, les termes du produit dans la première équation ont toujours un facteur zéro, ce qui équivaut à FAUX. Par conséquent, la loi de probabilité totale combinée avec le théorème de Bayes représente une généralisation du modus tollens . ${\style d'affichage \Pr(Q)}$${\style d'affichage Q}$${\style d'affichage a(P)}$${\style d'affichage P}$ ${\style d'affichage \Pr(Q\mid P)}$${\style d'affichage P\à Q}$${\style d'affichage \Pr(Q)=1}$${\style d'affichage Q}$${\style d'affichage \Pr(Q)=0}$${\style d'affichage Q}$${\style d'affichage \Pr(P)=0}$${\style d'affichage \Pr(Q\mid P)=1}$${\style d'affichage \Pr(Q)=0}$${\displaystyle \Pr(\lnot Q\mid P)=1-\Pr(Q\mid P)=0}$${\displaystyle \Pr(P\mid \lnot Q)=0}$${\style d'affichage \Pr(P)=0}$${\style d'affichage P}$

Logique subjective

Modus tollens représente une instance de l'opérateur d'enlèvement dans la logique subjective exprimée comme :

${\displaystyle \omega _{P{\tilde {\|}}Q}^{A}=(\omega _{Q|P}^{A},\omega _{Q|\lnot P}^{A }){\widetilde {\circledcirc }}(a_{P},\,\omega _{Q}^{A})\,}$,

où désigne l'opinion subjective sur , et désigne une paire d'opinions conditionnelles binomiales, telles qu'exprimées par la source . Le paramètre désigne le taux de base (alias la probabilité a priori ) de . L'opinion marginale enlevée sur est notée . L'opinion conditionnelle généralise l'énoncé logique , c'est-à-dire qu'en plus d'attribuer VRAI ou FAUX, la source peut attribuer n'importe quelle opinion subjective à l'énoncé. Le cas où est une opinion VRAIE absolue équivaut à dire que la source est VRAIE, et le cas où est une opinion FAUX absolue équivaut à dire que la source est FAUX. L'opérateur d'abduction de la logique subjective produit une opinion abduite absolue FAUX lorsque l'opinion conditionnelle est absolue VRAIE et l'opinion conséquente est absolue FAUX. Par conséquent, l'abduction logique subjective représente une généralisation à la fois du modus tollens et de la loi de probabilité totale combinée avec le théorème de Bayes . ${\displaystyle \omega _{Q}^{A}}$${\style d'affichage Q}$${\displaystyle (\omega _{Q|P}^{A},\omega _{Q|\lnot P}^{A})}$${\style d'affichage A}$${\displaystyle a_{P}}$${\style d'affichage P}$${\style d'affichage P}$${\displaystyle \omega _{P{\tilde {\|}}Q}^{A}}$${\displaystyle \omega _{Q|P}^{A}}$${\style d'affichage P\à Q}$${\style d'affichage A}$${\displaystyle \omega _{Q}^{A}}$${\style d'affichage A}$${\style d'affichage Q}$${\displaystyle \omega _{Q}^{A}}$${\style d'affichage A}$${\style d'affichage Q}$${\displaystyle {\widetilde {\circledcirc }}}$${\displaystyle \omega _{P{\widetilde {\|}}Q}^{A}}$${\displaystyle \omega _{Q|P}^{A}}$${\displaystyle \omega _{Q}^{A}}$

Voir également

• Preuve d'absence  - Preuve de toute nature qui suggère que quelque chose manque ou qu'il n'existe pas
• phrases latines
• Modus operandi  – Habitudes de travail
• Modus ponens  – Règle d'inférence logique
• Modus vivendi  – Arrangement qui permet aux parties en conflit de coexister en paix
• Non sequitur
• Preuve par contradiction  - Forme de preuve indirecte qui établit la vérité ou la validité d'une proposition
• Preuve par contraposée
• Logique stoïcienne  - Système de logique propositionnelle développé par les philosophes stoïciens

Remarques

Sources

• Audun Jøsang, 2016, Logique subjective ; Un formalisme pour le raisonnement sous incertitude Springer, Cham, ISBN  978-3-319-42337-1

Liens externes

• Modus Tollens chez Wolfram MathWorld