Théorie des ensembles Morse-Kelley - Morse–Kelley set theory

Dans les fondements des mathématiques , la théorie des ensembles de Morse-Kelley ( MK ), la théorie des ensembles de Kelley-Morse ( KM ), la théorie des ensembles de Morse-Tarski ( MT ), la théorie des ensembles de Quine-Morse ( QM ) ou le système de Quine et Morse est un théorie des ensembles axiomatique du premier ordre qui est étroitement liée à la théorie des ensembles de von Neumann-Bernays-Gödel (NBG). Alors que la théorie des ensembles de von Neumann-Bernays-Gödel restreint les variables liées dans la formule schématique apparaissant dans le schéma d'axiome de la compréhension des classes à des ensembles uniquement, la théorie des ensembles de Morse-Kelley permet à ces variables liées de s'étendre sur des classes appropriées ainsi que sur des ensembles, comme suggéré pour la première fois par Quine en 1940 pour son système ML .

La théorie des ensembles Morse-Kelley porte le nom des mathématiciens John L. Kelley et Anthony Morse et a été présentée pour la première fois par Wang (1949) et plus tard dans une annexe au manuel de Kelley General Topology (1955), une introduction à la topologie de niveau universitaire . Kelley a déclaré que le système dans son livre était une variante des systèmes dus à Thoralf Skolem et Morse. La propre version de Morse est apparue plus tard dans son livre A Theory of Sets (1965).

Alors que la théorie des ensembles de von Neumann-Bernays-Gödel est une extension conservatrice de la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel (ZFC, la théorie des ensembles canonique) dans le sens où une déclaration dans le langage de ZFC est prouvable en NBG si et seulement si elle est prouvable en ZFC, la théorie des ensembles Morse-Kelley est une extension appropriée de ZFC. Contrairement à la théorie des ensembles de von Neumann-Bernays-Gödel, où le schéma d'axiome de la compréhension des classes peut être remplacé par un nombre fini de ses instances, la théorie des ensembles de Morse-Kelley ne peut pas être axiomatisée de manière finie.

Axiomes MK et ontologie

NBG et MK partagent une ontologie commune . L' univers du discours se compose de classes . Les classes qui sont membres d'autres classes sont appelées ensembles . Une classe qui n'est pas un ensemble est une classe propre . Les phrases atomiques primitives impliquent l'appartenance ou l'égalité.

À l'exception de la compréhension de classe, les axiomes suivants sont les mêmes que ceux de NBG , détails non essentiels mis à part. Les versions symboliques des axiomes utilisent les dispositifs de notation suivants :

  • Les lettres majuscules autres que M , apparaissant dans Extensionality, Class Comprehension et Foundation, désignent des variables s'étendant sur des classes. Une lettre minuscule indique une variable qui ne peut pas être une classe appropriée , car elle apparaît à gauche d'un . Comme MK est une théorie à un tri, cette convention de notation n'est que mnémotechnique .
  • Le prédicat monadique dont la lecture voulue est « la classe x est un ensemble », abrège
  • L' ensemble vide est défini par
  • La classe V , la classe universelle ayant tous les ensembles possibles comme membres, est définie par V est aussi l' univers de von Neumann .

Extensionality : Les classes ayant les mêmes membres sont la même classe.

Un ensemble et une classe ayant la même extension sont identiques. MK n'est donc pas une théorie à deux volets, malgré les apparences contraires.

Fondation : Chaque classe A non videest disjointe d'au moins un de ses membres.

Compréhension de classe : Soit φ( x ) n'importe quelle formule du langage MK dans laquelle x est une variable libre et Y n'est pas libre. ( x ) peut contenir des paramètres qui sont soit des ensembles, soit des classes appropriées. Plus conséquent, les variables quantifiées dans φ( x ) peuvent s'étendre sur toutes les classes et pas seulement sur tous les ensembles ; c'est la seule façon dont MK diffère de NBG . Alors il existe une classe dont les membres sont exactement ces ensembles x tels que cela se vérifie. Formellement, si Y n'est pas libre dans φ :

Appariement : Pour tout ensemble x et y , il existe un ensembledont les membres sont exactement x et y .

L'appariement autorise la paire non ordonnée en fonction de laquelle la paire ordonnée , , peut être définie de la manière habituelle, comme . Avec des paires ordonnées en main, Class Comprehension permet de définir des relations et des fonctions sur des ensembles comme des ensembles de paires ordonnées, rendant possible l'axiome suivant :

Limitation de taille : C est une classe appropriée si et seulement si V peut être mappé un à un dans C .

La version formelle de cet axiome ressemble au schéma axiome de remplacement et incarne la fonction de classe F . La section suivante explique comment la limitation de taille est plus forte que les formes habituelles de l' axiome du choix .

Ensemble de puissance : Soit p une classe dont les membres sont tous des sous - ensembles possiblesde l'ensemble a . Alors p est un ensemble.

Union : Soitla classe somme de l'ensemble a , à savoir l' union de tous les membres d' a . Alors s est un ensemble.

Infini : Il existe un ensemble inductif y , signifiant que (i) l' ensemble vide est membre de y ; (ii) si x est un membre de y , alors.

Notez que p et s dans Power Set et Union sont quantifiés universellement, et non existentiellement, car la compréhension de classe suffit à établir l'existence de p et s . Power Set et Union servent uniquement à établir que p et s ne peuvent pas être des classes appropriées.

Les axiomes ci-dessus sont partagés avec d'autres théories des ensembles comme suit :

  • ZFC et NBG : Couplage, Power Set, Union, Infinity ;
  • NBG (et ZFC, si les variables quantifiées étaient restreintes à des ensembles) : Extensionality, Foundation ;
  • NBG : Limitation de Taille.

Discussion

Monk (1980) et Rubin (1967) sont des textes de théorie des ensembles construits autour de MK ; L' ontologie de Rubin comprend des urelements . Ces auteurs et Mendelson (1997 : 287) soutiennent que MK fait ce qu'on attend d'une théorie des ensembles tout en étant moins encombrant que ZFC et NBG .

MK est strictement plus fort que ZFC et son extension conservatrice NBG, l'autre théorie des ensembles bien connue avec des classes appropriées . En fait, NBG - et donc ZFC - peut être prouvé cohérent dans MK. La force de MK provient de son schéma d'axiome selon lequel la compréhension des classes est imprédicative , ce qui signifie que ( x ) peut contenir des variables quantifiées s'étendant sur des classes. Les variables quantifiées dans le schéma d'axiome de NBG de Class Comprehension sont restreintes à des ensembles ; par conséquent, la compréhension de classe dans NBG doit être prédicative . (La séparation par rapport aux ensembles est toujours imprédicative dans NBG, car les quantificateurs dans ( x ) peuvent s'étendre sur tous les ensembles.) Le schéma d'axiome NBG de la compréhension de classe peut être remplacé par un nombre fini de ses instances ; ce n'est pas possible dans MK. MK est cohérent par rapport à ZFC augmenté d'un axiome affirmant l'existence de cardinaux fortement inaccessibles .

Le seul avantage de l' axiome de limitation de taille est qu'il implique l' axiome de choix global . La limitation de la taille n'apparaît pas dans Rubin (1967), Monk (1980) ou Mendelson (1997). Au lieu de cela, ces auteurs invoquent une forme habituelle de l' axiome local de choix , et un « axiome de remplacement », affirmant que si le domaine d'une fonction de classe est un ensemble, sa plage est également un ensemble. Le remplacement peut prouver tout ce que prouve la limitation de la taille, sauf prouver une certaine forme de l' axiome du choix .

La limitation de la taille plus I étant un ensemble (donc l'univers n'est pas vide) rend prouvable le caractère sédentaire de l'ensemble vide ; donc pas besoin d'un axiome d'ensemble vide . Un tel axiome pourrait être ajouté, bien sûr, et des perturbations mineures des axiomes ci-dessus nécessiteraient cet ajout. L'ensemble I n'est pas identifié avec l' ordinal limite car I pourrait être un ensemble plus grand que Dans ce cas, l'existence de découlerait de l'une ou l'autre forme de limitation de taille.

La classe des ordinaux de von Neumann peut être bien ordonnée . Ce ne peut pas être un ensemble (sous peine de paradoxe) ; donc cette classe est une classe propre, et toutes les classes propres ont la même taille que V . Par conséquent, V peut aussi être bien ordonné.

MK peut être confondu avec ZFC de second ordre, ZFC avec une logique de second ordre (représentant des objets de second ordre dans un langage d'ensemble plutôt qu'un langage de prédicat) comme logique d'arrière-plan. Le langage de ZFC de second ordre est similaire à celui de MK (bien qu'un ensemble et une classe ayant la même extension ne puissent plus être identifiés), et leurs ressources syntaxiques pour la preuve pratique sont presque identiques (et sont identiques si MK inclut le fort forme de limitation de taille). Mais la sémantique de ZFC de second ordre est assez différente de celle de MK. Par exemple, si MK est cohérent, il a un modèle de premier ordre dénombrable, tandis que ZFC de deuxième ordre n'a pas de modèles dénombrables.

Théorie des modèles

ZFC, NBG et MK ont chacun des modèles descriptibles en termes de V , l' univers des ensembles de von Neumann dans ZFC . Soit le cardinal inaccessible κ un membre de V . Soit également Def( X ) les Δ 0 sous - ensembles définissables de X (voir univers constructible ). Puis:

  • V κ est le modèle de ZFC ;
  • Def ( V κ ) est un modèle de la version de Mendelson de NBG , qui exclut le choix global, en remplacement de la limitation de la taille par le remplacement et le choix ordinaire;
  • V +1 , l' ensemble des puissances de V κ , est un modèle de MK.

Histoire

MK a été présenté pour la première fois dans Wang (1949) et popularisé dans un appendice à la Topologie générale de JL Kelley (1955) , en utilisant les axiomes donnés dans la section suivante. Le système d'Anthony Morse (1965) A Theory of Sets est équivalent à celui de Kelley, mais formulé dans un langage formel idiosyncratique plutôt que, comme c'est le cas ici, dans la logique standard du premier ordre . La première théorie des ensembles à inclure la compréhension de classe imprédicative était la ML de Quine , qui reposait sur de nouvelles fondations plutôt que sur ZFC . La compréhension de classe imprédicative a également été proposée dans Mostowski (1951) et Lewis (1991).

Les axiomes de la topologie générale de Kelley

Les axiomes et les définitions de cette section sont, à quelques détails non essentiels, tirés de l'Appendice de Kelley (1955). Les remarques explicatives ci-dessous ne sont pas les siennes. L'annexe énonce 181 théorèmes et définitions, et mérite une lecture attentive en tant qu'exposé abrégé de la théorie des ensembles axiomatiques par un mathématicien de premier ordre. Kelley a introduit ses axiomes progressivement, au besoin pour développer les sujets énumérés après chaque instance de Développer ci-dessous.

Les notations apparaissant ci-dessous et maintenant bien connues ne sont pas définies. Les particularités de la notation de Kelley comprennent :

  • Il ne distinguait pas les variables s'étendant sur des classes de celles s'étendant sur des ensembles ;
  • domaine f et intervalle f désignent le domaine et l'intervalle de la fonction f ; cette particularité a été soigneusement respectée ci-dessous ;
  • Son langage logique primitif inclut des résumés de classe de la forme « la classe de tous les ensembles x satisfaisant A ( x ) ».

Définition : x est un ensemble (et donc pas une classe propre ) si, pour certains y , .

I. Etendue : Pour chaque x et chaque y , x=y si et seulement si pour chaque z , quand et seulement quand

Identique à l' extensionnalité ci-dessus. I serait identique à l' axiome d'extensionnalité dans ZFC , sauf que la portée de I inclut les classes appropriées ainsi que les ensembles.

II. Classification (schéma) : Un axiome résulte si dans

Pour chaque , si et seulement si est un ensemble et

'α' et 'β' sont remplacés par des variables, ' A ' par une formule Æ, et ' B ' par la formule obtenue à partir de Æ en remplaçant chaque occurrence de la variable qui a remplacé α par la variable qui a remplacé β à condition que la variable qui a remplacé β n'apparaît pas lié dans A .

Développer : Algèbre booléenne des ensembles . Existence de la classe nulle et de la classe universelle V .

III. Sous-ensembles : Si x est un ensemble, il existe un ensemble y tel que pour chaque z , si , alors

L'importation de III est celle de Power Set ci-dessus. Esquisse de la preuve de l'ensemble de puissance de III : pour toute classe z qui est une sous-classe de l'ensemble x , la classe z est membre de l'ensemble y dont l'existence III affirme. Donc z est un ensemble.

Développer : V n'est pas un ensemble. Existence de singletons . Séparation prouvable.

IV. Union : si x et y sont tous deux des ensembles, alors est un ensemble.

L'importation de IV est celle de Pairing ci-dessus. Esquisse de la preuve d'appariement à partir de IV : le singleton d'un ensemble x est un ensemble car c'est une sous-classe de l'ensemble puissance de x (par deux applications de III ). Alors IV implique que est un ensemble si x et y sont des ensembles.

Développer : Paires non ordonnées et ordonnées , relations , fonctions , domaine , plage , composition de fonctions .

V. Substitution : Si f est une fonction [classe] et le domaine f est un ensemble, alors la plage f est un ensemble.

L'import de V est celui du schéma axiome de remplacement dans NBG et ZFC .

VI. Fusion : si x est un ensemble, alors est un ensemble.

L'importation de VI est celle de Union ci-dessus. IV et VI peuvent être combinés en un seul axiome.

Développer : Produit cartésien , injection , surjection , bijection , théorie de l' ordre .

VII. Régularité : S'il existe un membre y de x tel que

L'importation de VII est celle de la Fondation ci-dessus.

Développer : Nombres ordinaux , induction transfinie .

VIII. Infini : Il existe un ensemble y , tel que et à chaque fois

Cet axiome, ou ses équivalents, sont inclus dans ZFC et NBG. VIII affirme l'existence inconditionnelle de deux ensembles, l' ensemble inductif infini y , et l'ensemble nul est un ensemble simplement parce qu'il est membre de y . Jusqu'à présent, tout ce qui a été prouvé exister est une classe, et la discussion de Kelley sur les ensembles était entièrement hypothétique.

Développer : nombres naturels , N est un ensemble , axiomes de Peano , entiers , nombres rationnels , nombres réels .

Définition : c est une fonction de choix si c est une fonction et pour chaque membre x du domaine c .

IX. Choix : Il existe une fonction de choix c dont le domaine est .

IX est très similaire à l' axiome de choix global dérivé de la limitation de taille ci-dessus.

Développer : Équivalents de l'axiome du choix. Comme c'est le cas avec ZFC , le développement des nombres cardinaux nécessite une forme de choix.

Si la portée de toutes les variables quantifiées dans les axiomes ci-dessus est limitée aux ensembles, tous les axiomes sauf III et le schéma IV sont des axiomes ZFC. IV est prouvable dans ZFC. Par conséquent, le traitement Kelley de MK montre très clairement que tout ce qui distingue MK de ZFC sont des variables s'étendant sur des classes appropriées ainsi que sur des ensembles, et le schéma de classification.

Remarques

  1. ^ Voir, par exemple, Mendelson (1997), p. 239, axiome R.
  2. ^ Le locus citandum pour ML est l'éditeur de 1951. de la logique mathématique de Quine . Cependant, le résumé de ML donné dans Mendelson (1997), p. 296, est plus facile à suivre. Le schéma d'axiome de Mendelson ML2 est identique au schéma d'axiome ci-dessus de Class Comprehension.
  3. ^ Kelley (1955), p. 261, note de bas de page .

Les références

  • John L. Kelley 1975 (1955) Topologie générale . Springer. Édition précédente, Van Nostrand. Annexe, « Théorie des ensembles élémentaires ».
  • Lemmon, EJ (1986) Introduction à la théorie des ensembles axiomatiques . Routledge & Kegan Paul.
  • David K. Lewis (1991) Parties de cours . Oxford : Basil Blackwell.
  • Mendelson, Elliott (1997). Introduction à la logique mathématique . Chapman & Hall. ISBN 0-534-06624-0.Le traitement définitif de la théorie des ensembles étroitement liée NBG , suivi d'une page sur MK. Plus dur que Monk ou Rubin.
  • Monk, J. Donald (1980) Introduction à la théorie des ensembles . Krieger. Plus facile et moins complet que Rubin.
  • Morse, AP, (1965) Une théorie des ensembles . Presse académique.
  • Mostowski, Andrzej (1950), "Some impredicative definitions in the axiomatic set theory" (PDF) , Fundamenta Mathematicae , 37 : 111–124, doi : 10.4064/fm-37-1-111-124.
  • Rubin, Jean E. (1967) Théorie des ensembles pour le mathématicien . San Francisco : Holden Day. Plus minutieux que Monk ; l'ontologie comprend des urelements .
  • Wang, Hao (1949), "Sur les axiomes de Zermelo et de von Neumann pour la théorie des ensembles", Proc. Natl. Acad. Sci. États - Unis , 35 (3) : 150-155, doi : 10.1073/pnas.35.3.150 , JSTOR  88430 , MR  0029850 , PMC  1062986 , PMID  16588874.

Liens externes

Du groupe de discussion Foundations of Mathematics (FOM) :