Papyrus mathématique de Moscou - Moscow Mathematical Papyrus

Papyrus mathématique de Moscou
Papyrus mathématique de Moscou
Musée national des beaux-arts Pouchkine à Moscou
	14ème problème du Papyrus mathématique de Moscou (V. Struve, 1930)
Date	XIIIe dynastie , deuxième période intermédiaire d'Égypte
Lieu d'origine	Thèbes
Langue(s)	Hiératique
Taille	Longueur : 5,5 mètres (18 pieds) ; Largeur : 3,8 à 7,6 cm (1,5 à 3 pouces)

Le papyrus mathématique de Moscou , également nommé papyrus mathématique Golenishchev d' après son premier propriétaire non égyptien, l' égyptologue Vladimir Golenishchev , est un ancien papyrus mathématique égyptien contenant plusieurs problèmes d'arithmétique, de géométrie et d'algèbre. Golenishchev a acheté le papyrus en 1892 ou 1893 à Thèbes . Il entra plus tard dans la collection du Musée national des beaux-arts Pouchkine à Moscou, où il se trouve aujourd'hui.

Basé sur la paléographie et l'orthographe du texte hiératique , le texte a très probablement été écrit à la 13e dynastie et basé sur des documents plus anciens datant probablement de la douzième dynastie d'Égypte , vers 1850 av. Long d'environ 5 ½ m (18 pi) et variant entre 3,8 et 7,6 cm (1,5 et 3 po) de large, son format a été divisé par l' orientaliste soviétique Vasily Vasilievich Struve en 1930 en 25 problèmes avec des solutions.

C'est un papyrus mathématique bien connu, généralement référencé avec le papyrus mathématique de Rhind . Le papyrus mathématique de Moscou est plus ancien que le papyrus mathématique de Rhind, tandis que ce dernier est le plus grand des deux.

Exercices contenus dans le papyrus de Moscou

Les problèmes du papyrus de Moscou ne suivent aucun ordre particulier, et les solutions des problèmes fournissent beaucoup moins de détails que celles du papyrus mathématique de Rhind . Le papyrus est bien connu pour certains de ses problèmes de géométrie. Les problèmes 10 et 14 calculent respectivement une surface et le volume d'un tronc de cône . Les problèmes restants sont de nature plus courante.

Problèmes de pièces de navire

Les problèmes 2 et 3 sont des problèmes de pièces de navire. L'un des problèmes calcule la longueur du gouvernail d'un navire et l'autre calcule la longueur du mât d'un navire étant donné qu'il est 1/3 + 1/5 de la longueur d'une bille de cèdre de 30 coudées à l' origine .

Ah les problèmes

Ahah

Epoque : Nouvel Empire
(1550-1069 av. J.-C.)

Hiéroglyphes égyptiens

Les problèmes Aha impliquent de trouver des quantités inconnues (appelées Aha) si la somme de la quantité et d'une partie de celle-ci est donnée. Le Rhind Mathematical Papyrus contient également quatre de ces types de problèmes. Les problèmes 1, 19 et 25 du papyrus de Moscou sont des problèmes Aha. Par exemple, le problème 19 demande de calculer une quantité prise 1 fois et ½ et ajoutée à 4 pour faire 10. En d'autres termes, en notation mathématique moderne, on demande de résoudre . ${\style d'affichage {\frac {3}{2}}x+4=10}$

Problèmes de Pefsu

La plupart des problèmes sont des problèmes de pefsu (voir : algèbre égyptienne ) : 10 des 25 problèmes. Un pefsu mesure la force de la bière faite à partir d'un hekat de grain

{\mbox{pefsu}}={\frac {\mbox{nombre de miches de pain (ou de cruches de bière)}}{\mbox{nombre d'heqats de céréales}}}

Un nombre de pefsu plus élevé signifie un pain ou une bière plus faible. Le numéro pefsu est mentionné dans de nombreuses listes d'offres. Par exemple, le problème 8 se traduit par :

(1) Exemple de calcul de 100 miches de pain de pefsu 20

(2) Si quelqu'un vous dit : « Vous avez 100 pains de pefsu 20

(3) à échanger contre de la bière de pefsu 4

(4) comme 1/2 1/4 bière de malt"

(5) Calculez d'abord le grain requis pour les 100 miches de pain de pefsu 20

(6) Le résultat est de 5 heqats. Ensuite, comptez ce dont vous avez besoin pour un des-cruche de bière comme la bière appelée 1/2 1/4 bière de malt

(7) Le résultat est la moitié de la mesure d'heqat nécessaire pour des-jug de bière à base de grain de Haute-Égypte.

(8) Calculez 1/2 de 5 heqat, le résultat sera 2 1/2

(9) Prenez ce 2 1/2 quatre fois

(10) Le résultat est 10. Alors tu lui dis :

(11) « Voici ! La quantité de bière est correcte. »

Problèmes de Bakou

Les problèmes 11 et 23 sont des problèmes de Bakou. Ceux-ci calculent la production des travailleurs. Le problème 11 demande si quelqu'un apporte 100 journaux mesurant 5 par 5, alors à combien de journaux mesurant 4 par 4 cela correspond-il ? Le problème 23 trouve la sortie d'un cordonnier étant donné qu'il doit couper et décorer des sandales.

Problèmes de géométrie

Sept des vingt-cinq problèmes sont des problèmes de géométrie et vont du calcul des aires de triangles à la recherche de la surface d'un hémisphère (problème 10) et à la recherche du volume d'un tronc de cône (une pyramide tronquée).

Deux problèmes de géométrie

Problème 10

Le dixième problème du papyrus mathématique de Moscou demande un calcul de l'aire d'un hémisphère (Struve, Gillings) ou éventuellement l'aire d'un demi-cylindre (Peet). Ci-dessous, nous supposons que le problème se réfère à l'aire d'un hémisphère.

Le texte du problème 10 se présente ainsi : « Exemple de calcul d'un panier. On vous donne un panier avec une bouche de 4 1/2. Quelle est sa surface ? Prenez 1/9 sur 9 (puisque) le panier est un demi-œuf -shell. Vous obtenez 1. Calculez le reste qui est 8. Calculez 1/9 de 8. Vous obtenez 2/3 + 1/6 + 1/18. Trouvez le reste de ce 8 après avoir soustrait 2/3 + 1/6 + 1/18. Vous obtenez 7 + 1/9. Multipliez 7 + 1/9 par 4 + 1/2. Vous obtenez 32. Voici sa superficie. Vous l'avez trouvé correctement. "

La solution revient à calculer l'aire comme

{\text{Zone}}=\left({\frac {2\times 8}{9}}\right)^{2}\times ({\text{diameter}})^{2}= {\frac {256}{81}}({\text{diameter}})^{2}

Cela signifie que le scribe du papyrus de Moscou avait l'habitude d' approcher π . ${\style d'affichage {\frac {256}{81}}\environ 3.16049}$

Problème 14 : Volume du tronc de pyramide carrée

Le quatorzième problème des mathématiques de Moscou calcule le volume d'un tronc de cône .

Le problème 14 indique qu'une pyramide a été tronquée de telle sorte que la zone supérieure soit un carré de 2 unités de longueur, la partie inférieure un carré de 4 unités de longueur et la hauteur 6 unités, comme illustré. Le volume est de 56 unités cubes, ce qui est correct.

Le texte de l'exemple se présente ainsi : « Si on vous dit : une pyramide tronquée de 6 pour la hauteur verticale par 4 sur la base par 2 sur le dessus : Vous devez carrér le 4 ; résultat 16. Vous devez doubler 4 résultat 8. Vous devez mettre ce 2 au carré, résultat 4. Vous devez additionner le 16 et le 8 et le 4, résultat 28. Vous devez prendre 1/3 de 6, résultat 2. Vous devez prendre 28 deux fois; résultat 56. Voyez, c'est du 56. Vous le trouverez juste"

La solution du problème indique que les Egyptiens connaissaient la bonne formule pour obtenir le volume d'une pyramide tronquée :

V={\frac {1}{3}}h(a^{2}+ab+b^{2})

où a et b sont les longueurs de la base et du côté supérieur de la pyramide tronquée et h est la hauteur. Les chercheurs ont spéculé sur la façon dont les Égyptiens auraient pu arriver à la formule du volume d'un tronc de cône, mais la dérivation de cette formule n'est pas indiquée dans le papyrus.

Sommaire

Richard J. Gillings a donné un bref résumé du contenu du Papyrus. Les nombres surlignés indiquent la fraction unitaire ayant ce nombre comme dénominateur , par exemple ; les fractions unitaires étaient des objets d'étude courants dans les mathématiques égyptiennes antiques. ${\bar {4}}={\frac {1}{4}}$

Le contenu du papyrus mathématique de Moscou
Non.	Détail.
1	Endommagé et illisible.
2	Endommagé et illisible.
3	Un mât de cèdre. de . Pas clair. ${\bar {3}}\;{\bar {5}}$ ${\style d'affichage 30=16}$
4	Aire d'un triangle. de . ${\bar {2}}$ ${\style d'affichage 4\fois 10=20}$
5	Pesus de pains et de pain. Identique au n° 8.
6	Rectangle, aire . Trouvez et . $=12,b={\bar {2}}\;{\bar {4}}l$ ${\style d'affichage l}$ ${\style d'affichage b}$
7	Triangle, aire . Trouvez et . $=20,h=2\;{\bar {2}}b$ ${\style d'affichage h}$ ${\style d'affichage b}$
8	Pesus de pains et de pain.
9	Pesus de pains et de pain.
dix	Aire de la surface courbe d'un hémisphère (ou cylindre).
11	Pains et panier. Pas clair.
12	Pesu de bière. Pas clair.
13	Pesus de pains et de bière. Identique au n° 9.
14	Volume d'une pyramide tronquée. . $V=(h/3)(a^{2}+ab+b^{2})$
15	Pesu de bière.
16	Pesu de bière. Similaire au n°15.
17	Triangle, aire . Trouvez et . $=20,b=({\bar {3}}\;{\bar {15}})h$ ${\style d'affichage h}$ ${\style d'affichage b}$
18	Chiffon à mesurer en coudées et paumes. Pas clair.
19	Résoudre l'équation, . Dégager. ${\style d'affichage 1\;{\bar {2}}x+4=10}$
20	Pesu de pains. Fractions de l'œil d'Horus. ${\style d'affichage 1 000}$
21	Mélange de pain sacrificiel.
22	Pesus de pains et de bière. Échanger.
23	Calculer le travail d'un cordonnier. Pas clair. Peet dit très difficile.
24	Échange de pains et de bière.
25	Résoudre l'équation, . Élémentaire et clair. ${\style d'affichage 2x+x=9}$

Autres papyrus

D'autres textes mathématiques de l'Egypte ancienne comprennent :

Papyrus généraux :

Pour les tableaux 2/n voir :

Tableau RMP 2/n

Voir également

Liste des papyrus égyptiens antiques

Remarques

Les références

^ ^A ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ Clagett, Marshall. 1999. Science égyptienne antique : Un livre de source. Volume 3 : Mathématiques de l'Égypte ancienne. Mémoires de la Société philosophique américaine 232. Philadelphie : Société philosophique américaine. ISBN 0-87169-232-5
^ Struve VV, (1889-1965), orientaliste :: ENCYCLOPÉDIE DE SAINT-PÉTERSBOURG
^ Struve, Vasilij Vasil'evič et Boris Turaev . 1930. Mathematischer Papyrus des Staatlichen Museums der Schönen Künste à Moskau . Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik; Abteilung A : Quellen 1. Berlin : J. Springer
^ Папирусы математические dans la Grande Encyclopédie soviétique , 1969-1978 (en russe)
^ Williams, Scott W. Papyri mathématique égyptien
^ comme indiqué dans Gunn & Peet, Journal of Egyptian Archaeology, 1929, 15 : 176. Voir aussi, Van der Waerden, 1961, Planche 5
^ Gillings, RJ (1964), "Le volume d'une pyramide tronquée dans les papyrus égyptiens anciens", Le professeur de mathématiques , 57 (8) : 552-555, JSTOR 27957144 , Bien qu'il ait été généralement admis que les Égyptiens connaissaient bien la formule du volume de la pyramide carrée complète, il n'a pas été facile d'établir comment ils ont pu déduire la formule de la pyramide tronquée, avec les mathématiques à leur disposition, dans sa forme la plus élégante et loin d'être évidente.
^ Gillings, Richard J. Mathématiques au temps des pharaons . Douvres . p. 246-247. ISBN 9780486243153.

Texte intégral du papyrus mathématique de Moscou

Struve, Vasilij Vasil'evič et Boris Turaev . 1930. Mathematischer Papyrus des Staatlichen Museums der Schönen Künste à Moskau . Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik; Abteilung A : Quellen 1. Berlin : J. Springer

Autres références

Allen, Don. Avril 2001. Le papyrus de Moscou et le résumé des mathématiques égyptiennes .
Imhausen, A. , Ägyptische Algorithmen. Eine Untersuchung zu den mittelägyptischen mathematischen Aufgabentexten, Wiesbaden 2003.
Mathpages.com. La formule prismoïde .
O'Connor et Robertson, 2000. Mathématiques en papyrus égyptien .
Truman State University, Division des mathématiques et de l'informatique. Mathématiques et arts libéraux : l'Egypte ancienne et le papyrus mathématique de Moscou .
Williams, Scott W. Mathematicians of the African Diaspora , contenant une page sur les mathématiques égyptiennes Papyri .
Zahrt, Réflexions de Kim RW sur les mathématiques de l'Égypte ancienne .

[Clagett-1] A ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ Clagett, Marshall. 1999. Science égyptienne antique : Un livre de source. Volume 3 : Mathématiques de l'Égypte ancienne. Mémoires de la Société philosophique américaine 232. Philadelphie : Société philosophique américaine. ISBN 0-87169-232-5

[2] Struve VV, (1889-1965), orientaliste :: ENCYCLOPÉDIE DE SAINT-PÉTERSBOURG

[3] Struve, Vasilij Vasil'evič et Boris Turaev . 1930. Mathematischer Papyrus des Staatlichen Museums der Schönen Künste à Moskau . Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik; Abteilung A : Quellen 1. Berlin : J. Springer

[4] Папирусы математические dans la Grande Encyclopédie soviétique , 1969-1978 (en russe)

[5] Williams, Scott W. Papyri mathématique égyptien

[6] qué dans Gunn & Peet, Journal of Egyptian Archaeology, 1929, 15 : 176. Voir aussi, Van der Waerden, 1961, Planche 5

[7] Gillings, RJ (1964), "Le volume d'une pyramide tronquée dans les papyrus égyptiens anciens", Le professeur de mathématiques , 57 (8) : 552-555, JSTOR 27957144 , Bien qu'il ait été généralement admis que les Égyptiens connaissaient bien la formule du volume de la pyramide carrée complète, il n'a pas été facile d'établir comment ils ont pu déduire la formule de la pyramide tronquée, avec les mathématiques à leur disposition, dans sa forme la plus élégante et loin d'être évidente.

[Gillings-8] Gillings, Richard J. Mathématiques au temps des pharaons . Douvres . p. 246-247. ISBN 9780486243153.

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