Avion de Moulton - Moulton plane

L' avion Moulton . Les lignes en pente vers le bas et vers la droite sont pliées là où elles croisent l' axe y .

En géométrie d'incidence , le plan de Moulton est un exemple de plan affine dans lequel le théorème de Desargues ne tient pas. Il porte le nom de l'astronome américain Forest Ray Moulton . Les points du plan de Moulton sont simplement les points dans le plan réel R ² et les droites sont aussi les droites régulières à l'exception que pour les droites à pente négative , la pente double quand elles passent l' axe y .

Définition formelle

Le plan de Moulton est une structure d'incidence , où désigne l'ensemble des points, l'ensemble des lignes et la relation d'incidence «se trouve sur»: ${\ displaystyle {\ mathfrak {M}} = \ langle P, G, {\ textrm {I}} \ rangle}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle {\ textrm {I}}}$

${\ displaystyle P: = \ mathbb {R} ^ {2} \,}$

${\ displaystyle G: = (\ mathbb {R} \ cup \ {\ infty \}) \ times \ mathbb {R},}$

${\ displaystyle \ infty}$est juste un symbole formel pour un élément . Il est utilisé pour décrire les lignes verticales, que vous pouvez considérer comme des lignes avec une pente infiniment grande. ${\ displaystyle \ not \ in \ mathbb {R}}$

La relation d'incidence est définie comme suit:

Car et nous avons ${\ displaystyle p = (x, y) \ dans P}$${\ displaystyle g = (m, b) \ in G}$

${\ displaystyle p \, {\ textrm {I}} \, g \ iff {\ begin {cases} x = b & {\ text {if}} m = \ infty \\ y = {\ frac {1} {2 }} mx + b & {\ text {if}} m \ leq 0, x \ leq 0 \\ y = mx + b & {\ text {if}} m \ geq 0 {\ text {ou}} x \ geq 0 . \ end {cas}}}$

Application

Le plan de Moulton est un plan affine dans lequel le théorème de Desargues ne tient pas. Le plan projectif associé est par conséquent également non desarguesien. Cela signifie qu'il existe des plans projectifs qui ne sont pas isomorphes pour un champ F (de biais) . Voici le plan projectif déterminé par un espace vectoriel de dimension 3 sur le corps (skew) F . ${\ displaystyle PG (2, F)}$ ${\ displaystyle PG (2, F)}$ ${\ displaystyle P (F ^ {3})}$

Remarques

Les références

• Beutelspacher, Albrecht ; Rosenbaum, Ute (1998), Géométrie projective: des fondations aux applications , Cambridge University Press, pp.  76–78 , ISBN 978-0-521-48364-3
• Moulton, Forest Ray (1902), "A Simple Non-Desarguesian Plane Geometry", Transactions of the American Mathematical Society , Providence, RI: American Mathematical Society , 3 (2): 192–195, doi : 10.2307 / 1986419 , ISSN  0002 -9947 , JSTOR  1986419
• Richard S. Millman, George D. Parker: Géométrie: une approche métrique avec des modèles . Springer 1991, ISBN  9780387974125 , pp. 97-104