Élément d'identité -Identity element

En mathématiques , un élément d' identité , ou élément neutre , d'une opération binaire opérant sur un ensemble est un élément de l'ensemble qui laisse inchangé chaque élément de l'ensemble lorsque l'opération est appliquée. Ce concept est utilisé dans les structures algébriques telles que les groupes et les anneaux . Le terme élément d'identité est souvent abrégé en identité (comme dans le cas de l'identité additive et de l'identité multiplicative) lorsqu'il n'y a aucune possibilité de confusion, mais l'identité dépend implicitement de l'opération binaire à laquelle elle est associée.

Définitions

Soit ( S , ∗) un ensemble  S muni d'une opération binaire ∗. Alors un élément  e de  S est appelé identité gauche si ea = a pour tout  a dans  S , et identité droite si ae = a pour tout  a dans  S . Si e est à la fois une identité gauche et une identité droite, alors on l'appelle une identité bilatérale , ou simplement une identité .

Une identité par rapport à l'addition est appelée identité additive (souvent notée 0) et une identité par rapport à la multiplication est appelée identité multiplicative (souvent notée 1). Il n'est pas nécessaire qu'il s'agisse d'additions et de multiplications ordinaires, car l'opération sous-jacente pourrait être plutôt arbitraire. Dans le cas d'un groupe par exemple, l'élément identitaire est parfois simplement désigné par le symbole . La distinction entre identité additive et multiplicative est utilisée le plus souvent pour les ensembles qui prennent en charge les opérations binaires, telles que les anneaux , les domaines intégraux et les champs . L'identité multiplicative est souvent appelée unité dans ce dernier contexte (un anneau avec unité). Cela ne doit pas être confondu avec une unité dans la théorie des anneaux, qui est tout élément ayant un inverse multiplicatif . Par sa propre définition, l'unité elle-même est nécessairement une unité.

Exemples

Régler Opération Identité
Nombres réels + ( ajout ) 0
Nombres réels · ( multiplication ) 1
Nombres complexes + (ajout) 0
Nombres complexes · (multiplication) 1
Entiers positifs Multiple moins commun 1
Entiers non négatifs Plus grand diviseur commun 0 (selon la plupart des définitions de GCD)
matrices m -par- n Ajout de matrice Matrice zéro
n -par- n matrices carrées Multiplication matricielle I n ( matrice identité )
matrices m -par- n ○ ( produit Hadamard ) J m ,  n ( matrice des uns )
Toutes les fonctions d'un ensemble,  M , à lui-même ∘ ( composition de la fonction ) Fonction d'identité
Toutes les distributions sur un groupeG ∗ ( convolution ) δ ( delta de Dirac )
Nombres réels étendus Minimum /inférieur +∞
Nombres réels étendus Maximum /suprême −∞
Sous-ensembles d'un ensemble  M ∩ ( intersection ) M
Ensembles ∪ ( union ) ∅ ( ensemble vide )
Chaînes , listes Enchaînement Chaîne vide, liste vide
Une algèbre booléenne ∧ ( logique et ) ⊤ (vérité)
Une algèbre booléenne ↔ ( biconditionnel logique ) ⊤ (vérité)
Une algèbre booléenne ∨ ( ou logique ) ⊥ (fausseté)
Une algèbre booléenne ⊕ ( exclusif ou ) ⊥ (fausseté)
Noeuds Noeud somme Dénouer
Surfaces compactes # ( somme connexe ) S 2
Groupes Produit direct Groupe trivial
Deux éléments, { e ,  f }  ∗ défini par
ee = fe = e et
ff = ef = f
e et f sont des identités gauches, mais
il n'y a pas d'identité droite
et pas d'identité bilatérale
Relations homogènes sur un ensemble X Produit relatif Relation d'identité

Propriétés

Dans l'exemple S = { e,f } avec les égalités données, S est un semi -groupe . Elle démontre la possibilité pour ( S , ∗) d'avoir plusieurs identités à gauche. En fait, chaque élément peut être une identité de gauche. De la même manière, il peut y avoir plusieurs identités justes. Mais s'il existe à la fois une identité de droite et une identité de gauche, alors elles doivent être égales, ce qui donne une seule identité à deux faces.

Pour voir cela, notez que si l est une identité gauche et r est une identité droite, alors l = lr = r . En particulier, il ne peut jamais y avoir plus d'une identité bilatérale : s'il y en avait deux, disons e et f , alors ef devrait être égal à la fois à e et f .

Il est également tout à fait possible que ( S , ∗) n'ait pas d'élément d'identité, comme dans le cas des entiers pairs sous l'opération de multiplication. Un autre exemple courant est le produit croisé des vecteurs , où l'absence d'un élément d'identité est liée au fait que la direction de tout produit croisé non nul est toujours orthogonale à tout élément multiplié. C'est-à-dire qu'il n'est pas possible d'obtenir un vecteur non nul dans la même direction que l'original. Encore un autre exemple de structure sans élément d'identité implique le semi -groupe additif des nombres naturels positifs .

Voir également

Notes et références

Bibliographie

Lectures complémentaires

  • M. Kilp, U. Knauer, AV Mikhalev, Monoïdes, actes et catégories avec applications aux produits en couronne et aux graphes , De Gruyter Expositions in Mathematics vol. 29, Walter de Gruyter, 2000, ISBN  3-11-015248-7 , p. 14–15