Fonction multiplicative - Multiplicative function

En théorie des nombres , une fonction multiplicative est une fonction arithmétique f ( n ) d'un entier positif n avec la propriété que f (1) = 1 et

{\style d'affichage f(ab)=f(a)f(b)}

chaque fois que a et b sont premiers entre eux .

Une fonction arithmétique f ( n ) est dite complètement multiplicative (ou totalement multiplicative ) si f (1) = 1 et f ( ab ) = f ( a ) f ( b ) est vraie pour tous les entiers positifs a et b , même lorsque ils ne sont pas premiers entre eux.

Exemples

Certaines fonctions multiplicatives sont définies pour faciliter l'écriture des formules :

1( n ) : la fonction constante, définie par 1( n ) = 1 (complètement multiplicative)
Id( n ) : fonction identité , définie par Id( n ) = n (complètement multiplicatif)
Id _k ( n ) : les fonctions puissance, définies par Id _k ( n ) = n ^k pour tout nombre complexe k (complètement multiplicatif). Comme cas particuliers, nous avons
- Id ₀ ( n ) = 1( n ) et
- Id ₁ ( n ) = Id( n ).
ε ( n ) : la fonction définie par ε ( n ) = 1 si n = 1 et 0 sinon, parfois appelée unité de multiplication pour la convolution de Dirichlet ou simplement la fonction unitaire (complètement multiplicative). Parfois écrit comme u ( n ), mais à ne pas confondre avec μ ( n ) .
1 _C ( n ), la fonction d'indicateur de l'ensemble C ⊂ Z , pour certains ensembles C . La fonction indicatrice 1 _C ( n ) est multiplicative précisément lorsque l' ensemble C a la propriété suivante pour tout nombre premier a et b : le produit ab est dans C si et seulement si les nombres a et b sont tous deux eux - mêmes dans C . C'est le cas si C est l'ensemble des carrés, cubes ou puissances k , ou si C est l'ensemble des nombres sans carré .

D'autres exemples de fonctions multiplicatives incluent de nombreuses fonctions importantes en théorie des nombres, telles que :

pgcd( n , k ) : le plus grand commun diviseur de n et k , en fonction de n , où k est un entier fixe.
${\style d'affichage \varphi (n)}$ : fonction totient d'Euler , comptant les nombres entiers positifs premiers entre eux (mais pas plus grands que) n $\varphi$
μ ( n ): la fonction de Möbius , la parité (-1 pour impair, pour une même) du nombre de facteurs premiers de libres carrés nombres; 0 si n n'est pas sans carré
σ _k ( n ): la fonction diviseur , qui est la somme des puissances k -ième de tous les diviseurs positifs de n (où k peut être n'importe quel nombre complexe ). Cas particuliers que nous avons
- σ ₀ ( n ) = d ( n ) le nombre de diviseurs positifs de n ,
- σ ₁ ( n ) = σ ( n ), la somme de tous les diviseurs positifs de n .
a ( n ) : le nombre de groupes abéliens non isomorphes d'ordre n .
λ ( n ) : la fonction de Liouville , λ ( n ) = (−1) ^{Ω( n )} où Ω( n ) est le nombre total de nombres premiers (comptés avec multiplicité) divisant n . (complètement multiplicatif).
γ ( n ), défini par γ ( n ) = (−1) ^{ω (n)} , où la fonction additive ω ( n ) est le nombre de nombres premiers distincts divisant n .
τ ( n ): la fonction de la protéine tau Ramanujan .
Tous les caractères de Dirichlet sont des fonctions complètement multiplicatives. Par exemple
- ( n / p ), le symbole de Legendre , considéré en fonction de n où p est un nombre premier fixe .

Un exemple d'une fonction non multiplicative est la fonction arithmétique r ₂ ( n ) - le nombre de représentations de n comme somme des carrés de deux nombres entiers, positifs , négatifs ou zéro , où en comptant le nombre de façons, l'inversion de la commande est autorisée. Par exemple:

1 = 1 ² + 0 ² = (−1) ² + 0 ² = 0 ² + 1 ² = 0 ² + (−1) ²

et donc r ₂ (1) = 4 1. Cela montre que la fonction n'est pas multiplicative. Cependant, r ₂ ( n )/4 est multiplicatif.

Dans l' Encyclopédie en ligne des séquences entières , les séquences de valeurs d'une fonction multiplicative ont le mot-clé "mult".

Voir fonction arithmétique pour d'autres exemples de fonctions non multiplicatives.

Propriétés

Une fonction multiplicative est entièrement déterminée par ses valeurs aux puissances des nombres premiers , conséquence du théorème fondamental de l'arithmétique . Ainsi, si n est un produit de puissances de nombres premiers distincts, disons n = p ^a q ^b ..., alors f ( n ) = f ( p ^a ) f ( q ^b ) ...

Cette propriété des fonctions multiplicatives réduit considérablement le besoin de calcul, comme dans les exemples suivants pour n = 144 = 2 ⁴ · 3 ² :

d (144) = σ ₀ (144) = σ ₀ (2 ⁴ ) σ ₀ (3 ² ) = (1 ⁰ + 2 ⁰ + 4 ⁰ + 8 ⁰ + 16 ⁰ ) (1 ⁰ + 3 ⁰ + 9 ⁰ ) = 5 · 3 = 15,

σ (144) = σ ₁ (144) = σ ₁ (2 ⁴ ) σ ₁ (3 ² ) = (1 ¹ + 2 ¹ + 4 ¹ + 8 ¹ + 16 ¹ ) (1 ¹ + 3 ¹ + 9 ¹ ) = 31 · 13 = 403,

σ ^* (144) = σ ^* (2 ⁴ ) σ ^* (3 ² ) = (1 ¹ + 16 ¹ ) (1 ¹ + 9 ¹ ) = 17 x 10 = 170.

De même, on a :

\varphi (144)=\varphi (2^{4})\,\varphi (3^{2})=8\cdot 6=48

En général, si f ( n ) est une fonction multiplicative et a , b sont deux entiers positifs quelconques, alors

f ( a ) · f ( b ) = f ( pgcd ( a , b )) · f ( lcm ( a , b )).

Toute fonction complètement multiplicative est un homomorphisme de monoïdes et est complètement déterminée par sa restriction aux nombres premiers.

Convolution

Si f et g sont deux fonctions multiplicatives, on définit une nouvelle fonction multiplicative f * g , la convolution de Dirichlet de f et g , par

(f\,*\,g)(n)=\sum _{d|n}f(d)\,g\left({\frac {n}{d}}\right)

où la somme s'étend sur tous les diviseurs positifs d de n . Avec cette opération, l'ensemble de toutes les fonctions multiplicatives se transforme en un groupe abélien ; l' élément d'identité est ε . La convolution est commutative, associative et distributive sur l'addition.

Les relations entre les fonctions multiplicatives discutées ci-dessus comprennent :

μ * 1 = ε (la formule d'inversion de Möbius )
( μ Id _k ) * Id _k = ε (inversion de Möbius généralisée)
$\varphi$ * 1 = Identifiant
d = 1 * 1
σ = Id * = 1 * d $\varphi$
σ _k = Id _k * 1
Id = * 1 = σ * μ $\varphi$
Id _k = σ _k * μ

La convolution de Dirichlet peut être définie pour des fonctions arithmétiques générales et donne une structure en anneau, l' anneau de Dirichlet .

La convolution de Dirichlet de deux fonctions multiplicatives est encore multiplicative. Une preuve de ce fait est donnée par le développement suivant pour relativement premier : $a,b\in \mathbb {Z} ^{+}$

{\begin{aligned}(f\ast g)(ab)&=\sum _{d|ab}f(d)g\left({\frac {ab}{d}}\right)\ \&=\sum _{d_{1}|a}\sum _{d_{2}|b}f(d_{1}d_{2})g\left({\frac {ab}{d_{1 }d_{2}}}\right)\\&=\sum _{d_{1}|a}f(d_{1})g\left({\frac {a}{d_{1}}}\ right)\times \sum _{d_{2}|b}f(d_{2})g\left({\frac {b}{d_{2}}}\right)\\&=(f\ast g)(a)\cdot (f\ast g)(b).\end{aligned}}

Série de Dirichlet pour certaines fonctions multiplicatives

$\sum _{n\geq 1}{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}={\frac {1}{\zeta (s)}}$
$\sum _{n\geq 1}{\frac {\varphi (n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s-1)}{\zeta (s)} }$
$\sum _{n\geq 1}{\frac {d(n)^{2}}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)^{4}}{\ zêta (2s)}}$
$\sum _{n\geq 1}{\frac {2^{\omega (n)}}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)^{2}}{ \zeta (2s)}}$

D'autres exemples sont présentés dans l'article sur la série Dirichlet .

Fonction multiplicative sur $F q [X]$

Soit $A = F q [X]$ , l'anneau polynomial sur le corps fini avec q éléments. A est un domaine idéal principal et donc A est un domaine de factorisation unique .

Une fonction à valeurs complexes sur A est dite multiplicative si chaque fois que f et g sont relativement premiers . ${\style d'affichage \lambda }$ $\lambda (fg)=\lambda (f)\lambda (g)$

Fonction Zeta et série de Dirichlet dans $F q [X]$

Soit h une fonction arithmétique polynomiale (c'est-à-dire une fonction sur un ensemble de polynômes moniques sur A ). Sa série de Dirichlet correspondante est définie comme étant

D_{h}(s)=\sum _{f{\text{ monic}}}h(f)|f|^{-s},

où pour définir si et autrement. $g\in A,$ $|g|=q^{\deg(g)}$ $g\neq 0,$ ${\style d'affichage |g|=0}$

La fonction polynomiale zêta est alors

\zeta _{A}(s)=\sum _{f{\text{ monic}}}|f|^{-s}.

Similaire à la situation dans $N$ , toute série de Dirichlet d'une fonction multiplicative h a une représentation de produit (produit d'Euler) :

D_{h}(s)=\prod _{P}\left(\sum _{n\mathop {=} 0}^{\infty }h(P^{n})|P|^{ -sn}\droit),

où le produit parcourt tous les polynômes irréductibles moniques P . Par exemple, la représentation produit de la fonction zêta est la même que pour les entiers :

\zeta _{A}(s)=\prod _{P}(1-|P|^{-s})^{-1}.

Contrairement à la fonction zêta classique , est une fonction rationnelle simple : $\zeta _{A}(s)$

\zeta _{A}(s)=\sum _{f}|f|^{-s}=\sum _{n}\sum _{\deg(f)=n}q^{- sn}=\sum _{n}(q^{n-sn})=(1-q^{1-s})^{-1}.

De même, si f et g sont deux fonctions arithmétiques polynomiales, on définit f * g , la convolution de Dirichlet de f et g , par

{\begin{aligned}(f*g)(m)&=\sum _{d\mid m}f(d)g\left({\frac {m}{d}}\right)\ \&=\sum _{ab=m}f(a)g(b),\end{aligned}}

où la somme est sur tous les diviseurs moniques d de m , ou de manière équivalente sur toutes les paires ( a , b ) de polynômes moniques dont le produit est m . L'identité tient toujours. $D_{h}D_{g}=D_{h*g}$

Voir également

Les références

Voir le chapitre 2 d' Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytique des nombres , Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg : Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR 0434929 , Zbl 0335.10001

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Convolution

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