Multicône - Multitaper

Comparaison du périodogramme (noir) et de l'estimation multicône (rouge) d'une mesure de potentiel de champ local d'un seul essai. Cette estimation a utilisé 9 cônes.

En traitement du signal , la méthode multitaper est une technique développée par David J. Thomson pour estimer le spectre de puissance S _X d'un processus aléatoire ergodique stationnaire à variance finie X , étant donné une réalisation contiguë finie de X en tant que données. C'est l'une des nombreuses approches de l' estimation de la densité spectrale .

Motivation

La méthode multitaper surmonte certaines des limites de l'analyse de Fourier conventionnelle . Lors de l'application de la transformée de Fourier pour extraire des informations spectrales d'un signal, nous supposons que chaque coefficient de Fourier est une représentation fiable de l'amplitude et de la phase relative de la fréquence composante correspondante. Cette hypothèse n'est cependant pas toujours valable. Par exemple, un seul essai ne représente qu'une réalisation bruyante du processus d'intérêt sous-jacent. Une situation comparable se présente en statistique lors de l'estimation de mesures de tendance centrale , c'est-à-dire qu'il est de mauvaise pratique d'estimer les qualités d'une population en utilisant des individus ou de très petits échantillons. De même, un seul échantillon d'un processus ne fournit pas nécessairement une estimation fiable de ses propriétés spectrales. De plus, la densité spectrale de puissance naïve obtenue à partir de la transformée de Fourier du signal est une estimation biaisée du vrai contenu spectral.

Ces problèmes sont souvent surmontés en faisant la moyenne de plusieurs réalisations du même événement. Cependant, cette méthode n'est pas fiable avec de petits ensembles de données et n'est pas souhaitable lorsque l'on ne souhaite pas atténuer les composantes du signal qui varient d'un essai à l'autre. Au lieu d' une moyenne d'ensemble , la méthode multitaper réduit le biais d'estimation en obtenant plusieurs estimations indépendantes à partir du même échantillon. Chaque conicité de données est multipliée élément par élément par le signal pour fournir un essai fenêtré à partir duquel on estime la puissance à chaque fréquence composante. Comme chaque cône est orthogonal par paire à tous les autres cônes, les signaux fenêtrés fournissent des estimations statistiquement indépendantes du spectre sous-jacent. Le spectre final est obtenu en faisant la moyenne sur tous les spectres effilés. Thomson a choisi les séquences Slepian ou sphéroïdales allongées discrètes comme effilées car ces vecteurs sont mutuellement orthogonaux et possèdent des propriétés de concentration spectrale souhaitables (voir la section sur les séquences Slepian). En pratique, une moyenne pondérée est souvent utilisée pour compenser l'augmentation de la perte d'énergie lors des conicités d'ordre supérieur.

La méthode

Considérons un processus stochastique stationnaire à moyenne nulle de dimension p

${\displaystyle \mathbf {X} (t)={\lbrack X(1,t),X(2,t),\dots ,X(p,t)\rbrack }^{T}}$

Ici, T désigne la transposition matricielle. En neurophysiologie par exemple, p fait référence au nombre total de canaux et peut donc représenter une mesure simultanée de l'activité électrique de ces canaux p . Soit l'intervalle d'échantillonnage entre les observations , de sorte que la fréquence de Nyquist soit . ${\displaystyle \mathbf {X} (t)}$${\style d'affichage \Delta t}$${\displaystyle f_{N}=1/(2\Delta t)}$

L'estimateur spectral à plusieurs cônes utilise plusieurs cônes de données différents qui sont orthogonaux les uns aux autres. L'estimateur multi-spectral croisé entre les canaux l et m est la moyenne de K estimateurs croisés directs entre la même paire de canaux ( l et m ) et prend donc la forme

${\displaystyle {\hat {S}}^{lm}(f)={\frac {1}{K}}\sum _{k=0}^{K-1}{\hat {S}}_ {k}^{lm}(f).}$

Ici, (pour ) est le k ^ème estimateur spectral croisé direct entre les canaux l et m et est donné par ${\displaystyle {\hat {S}}_{k}^{lm}(f)}$${\style d'affichage 0\leq k\leq K}$

${\displaystyle {\hat {S}}_{k}^{lm}(f)={\frac {1}{N\Delta t}}{\lbrack J_{k}^{l}(f)\ rbrack }^{*}{\lbrack J_{k}^{m}(f)\rbrack },}$

où

${\displaystyle J_{k}^{l}(f)=\sum _{t=1}^{N}h_{t,k}X(l,t)e^{-i2\pi ft\Delta t }.}$

Les trois principales séquences slepiennes pour T=1000 et 2WT=6. Notez que chaque séquence d'ordre supérieur a un passage à zéro supplémentaire.

Les séquences slepiennes

La séquence est la conicité des données pour le k ^e estimateur ^{interspectral} direct et est choisie comme suit : ${\displaystyle \lbrace h_{t,k}\rbrace }$${\displaystyle {\hat {S}}_{k}^{lm}(f)}$

Nous choisissons un ensemble de K cônes de données orthogonaux tels que chacun offre une bonne protection contre les fuites. Celles-ci sont données par les séquences Slepian, d'après David Slepian (également connues dans la littérature sous le nom de séquences sphéroïdales prolates discrètes ou DPSS en abrégé) avec le paramètre W et les ordres k  = 0 à K  − 1. L'ordre maximum K est choisi inférieur au Numéro Shannon . La quantité 2 W définit la largeur de bande de résolution pour le problème de concentration spectrale et . Lorsque l  =  m , nous obtenons l'estimateur multi-cônes pour le spectre automatique du l ^ème canal. Ces dernières années, un dictionnaire basé sur le DPSS modulé a été proposé comme une alternative trop complète au DPSS. ${\displaystyle 2NW\Delta t}$${\displaystyle W\in (0,f_{N})}$

Voir aussi Fonction fenêtre : fenêtre DPSS ou Slepian

Applications de la méthode multicône

Cette technique est actuellement utilisée dans la boîte à outils d' analyse spectrale de Chronux . Un traitement approfondi sur l'application de cette méthode pour analyser les données multi-essais et multi-canaux générées dans les expériences de neurosciences , le génie biomédical et d'autres peuvent être trouvés ici . Non limitée aux séries temporelles, la méthode multitaper peut être reformulée pour l'estimation spectrale sur la sphère en utilisant des fonctions slepiennes construites à partir d' harmoniques sphériques pour des applications en géophysique et cosmologie entre autres.

Voir également

• Périodogramme

Les références

• Appuyez sur, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT ; Flannery, BP (2007), "Section 13.4.3. Méthodes multitaper et fonctions Slepian" , Recettes numériques: L'art de l'informatique scientifique (3e éd.), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8

Liens externes

• [1] Bibliothèques C++/Octave pour la méthode multitaper, y compris la pondération adaptative (hébergée sur GitHub)
• [2] Documentation sur la méthode multitaper issue de la mise en œuvre du SSA-MTM Toolkit
• [3] Bibliothèque Fortran 90 avec des applications multivariées supplémentaires
• [4] Module Python
• [5] R (langage de programmation) paquet multicône
• [6] Script S-Plus pour générer des séquences Slepian (dpss)