n -vecteur - n-vector

La représentation n -vector (également appelée normale géodésique ou vecteur normal ellipsoïde) est une représentation non singulière à trois paramètres bien adaptée pour remplacer la latitude et la longitude comme représentation de la position horizontale dans les calculs mathématiques et les algorithmes informatiques.

Géométriquement, le n -vecteur pour une position donnée sur un ellipsoïde est le vecteur unitaire pointant vers l'extérieur qui est normal dans cette position à l'ellipsoïde. Pour représenter les positions horizontales sur Terre, l'ellipsoïde est un ellipsoïde de référence et le vecteur est décomposé en un système de coordonnées terrestres centré sur la Terre . Il se comporte en douceur à toutes les positions de la Terre et détient la propriété mathématique un-à-un .

Plus généralement, le concept peut être appliqué à la représentation de positions sur la frontière d'un sous - ensemble borné strictement convexe de l' espace euclidien k- dimensionnel , à condition que cette frontière soit une variété différentiable . Dans ce cas général, le n -vecteur est constitué de k paramètres.

Les propriétés générales

Un vecteur normal à une surface strictement convexe peut être utilisé pour définir de manière unique une position de surface. n -vector est un vecteur normal pointant vers l'extérieur avec une longueur unitaire utilisée comme représentation de position.

Pour la plupart des applications, la surface est l' ellipsoïde de référence de la Terre, et donc n -vecteur est utilisé pour représenter une position horizontale. Par conséquent, l'angle entre n -vector et le plan équatorial correspond à la latitude géodésique , comme le montre la figure.

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La direction du n -vecteur correspond à la latitude géodésique

Une position de surface a deux degrés de liberté , et donc deux paramètres suffisent pour représenter n'importe quelle position sur la surface. Sur l'ellipsoïde de référence, la latitude et la longitude sont des paramètres communs à cet effet, mais comme toutes les représentations à deux paramètres , elles ont des singularités . Ceci est similaire à l' orientation , qui a trois degrés de liberté, mais toutes les représentations à trois paramètres ont des singularités. Dans les deux cas, les singularités sont évitées en ajoutant un paramètre supplémentaire, c'est-à-dire utiliser n -vector (trois paramètres) pour représenter la position horizontale et un quaternion unitaire (quatre paramètres) pour représenter l'orientation .

n -vector est une représentation un-à-un , ce qui signifie que toute position de surface correspond à un n -vector unique , et tout n -vector correspond à une position de surface unique.

En tant que vecteur 3D euclidien , l' algèbre vectorielle 3D standard peut être utilisée pour les calculs de position, ce qui rend n -vector bien adapté à la plupart des calculs de position horizontale.

Conversion de latitude / longitude en n -vector

Sur la base de la définition du système de coordonnées ECEF , appelé e , il est clair que le passage de la latitude / longitude au n -vecteur, se fait par:

L'exposant e signifie que n -vecteur est décomposé dans le système de coordonnées e (c'est-à-dire que le premier composant est la projection scalaire de n -vecteur sur l' axe x de e , le second sur l' axe y de e etc.). Notez que l'équation est exacte à la fois pour le modèle terrestre sphérique et ellipsoïdal.

Conversion de n -vector en latitude / longitude

A partir des trois composantes de n -vector, , et , la latitude peut être trouvée en utilisant:

L'expression la plus à droite est la mieux adaptée à la mise en œuvre de programmes informatiques.

La longitude est trouvée en utilisant:

Dans ces expressions doivent être implémentées en utilisant un appel à atan2 ( y , x ). La singularité polaire de la longitude est évidente car atan2 (0,0) n'est pas définie. Notez que les équations sont exactes à la fois pour le modèle terrestre sphérique et ellipsoïdal.

Exemple: distance du grand cercle

La recherche de la distance du grand cercle entre deux positions horizontales (en supposant la Terre sphérique) se fait généralement au moyen de la latitude et de la longitude. Trois expressions différentes de cette distance sont communes; le premier est basé sur arccos , le second est basé sur arcsin et le final est basé sur arctan . Les expressions, qui sont successivement plus complexes pour éviter les instabilités numériques , ne sont pas faciles à trouver, et comme elles sont basées sur la latitude et la longitude, les singularités des pôles peuvent devenir un problème. Ils contiennent également des deltas de latitude et de longitude, qui doivent en général être utilisés avec précaution près du méridien ± 180 ° et des pôles.

Résoudre le même problème en utilisant n -vector est plus simple en raison de la possibilité d'utiliser l' algèbre vectorielle . L'expression d'arccos est obtenue à partir du produit scalaire , tandis que l' amplitude du produit croisé donne l'expression d'arcsin. La combinaison des deux donne l'expression arctan:

où et sont les n -vecteurs représentant les deux positions a et b . est la différence angulaire, et donc la distance du grand cercle est obtenue en multipliant par le rayon de la Terre. Cette expression fonctionne également aux pôles et au méridien de ± 180 °.

Il existe plusieurs autres exemples où l'utilisation de l'algèbre vectorielle simplifie les problèmes standards. Pour une comparaison générale des différentes représentations, voir la page des représentations de position horizontale .

Voir également

Les références

Liens externes