Théorème de Noether - Noether's theorem

Première page de l'article d' Emmy Noether "Invariante Variationsprobleme" (1918), où elle a prouvé son théorème.

Le théorème de Noether ou le premier théorème de Noether stipule que chaque symétrie différentiable de l' action d'un système physique avec des forces conservatrices a une loi de conservation correspondante . Le théorème a été prouvé par le mathématicien Emmy Noether en 1915 et publié en 1918, après qu'un cas particulier ait été prouvé par E. Cosserat et F. Cosserat en 1909. L'action d'un système physique est l' intégrale dans le temps d'une fonction lagrangienne , à partir de laquelle le comportement du système peut être déterminé par le principe de moindre action . Ce théorème ne s'applique qu'aux symétries continues et lisses sur l'espace physique .

Le théorème de Noether est utilisé en physique théorique et en calcul des variations . Une généralisation des formulations sur les constantes de mouvement en mécanique lagrangienne et hamiltonienne (développées en 1788 et 1833, respectivement), elle ne s'applique pas aux systèmes qui ne peuvent pas être modélisés avec un lagrangien seul (par exemple, les systèmes avec une fonction de dissipation de Rayleigh ). En particulier, les systèmes dissipatifs à symétries continues n'ont pas besoin d'avoir une loi de conservation correspondante.

Illustrations de base et arrière-plan

A titre d'illustration, si un système physique se comporte de la même façon quelle que soit son orientation dans l'espace, son lagrangien est symétrique sous des rotations continues : à partir de cette symétrie, le théorème de Noether dicte que le moment cinétique du système soit conservé, conséquence de son lois du mouvement. Le système physique lui-même n'a pas besoin d'être symétrique ; un astéroïde déchiqueté dégringolant dans l'espace conserve son moment angulaire malgré son asymétrie. Ce sont les lois de son mouvement qui sont symétriques.

Comme autre exemple, si un processus physique présente les mêmes résultats quel que soit le lieu ou le temps, alors son lagrangien est symétrique sous des translations continues dans l'espace et le temps respectivement : par le théorème de Noether, ces symétries expliquent les lois de conservation de la quantité de mouvement linéaire et de l' énergie dans ce système, respectivement.

Le théorème de Noether est important, à la fois en raison de la compréhension qu'il donne des lois de conservation, mais aussi en tant qu'outil de calcul pratique. Il permet aux chercheurs de déterminer les quantités conservées (invariants) à partir des symétries observées d'un système physique. Inversement, cela permet aux chercheurs de considérer des classes entières de Lagrangiens hypothétiques avec des invariants donnés, pour décrire un système physique. A titre d'illustration, supposons que l'on propose une théorie physique qui conserve une quantité X . Un chercheur peut calculer les types de Lagrangiens qui conservent X grâce à une symétrie continue. En raison du théorème de Noether, les propriétés de ces lagrangiens fournissent des critères supplémentaires pour comprendre les implications et juger de l'adéquation de la nouvelle théorie.

Il existe de nombreuses versions du théorème de Noether, avec divers degrés de généralité. Il existe des contreparties quantiques naturelles de ce théorème, exprimées dans les identités Ward-Takahashi . Des généralisations du théorème de Noether aux superespaces existent également.

Énoncé informel du théorème

Tous les points techniques mis à part, le théorème de Noether peut être énoncé de manière informelle

Si un système a une propriété de symétrie continue, alors il existe des quantités correspondantes dont les valeurs sont conservées dans le temps.

Une version plus sophistiquée du théorème impliquant des champs déclare que :

A chaque symétrie différentiable engendrée par les actions locales correspond un courant conservé .

Le mot « symétrie » dans l'énoncé ci-dessus se réfère plus précisément à la covariance de la forme que prend une loi physique par rapport à un groupe de Lie unidimensionnel de transformations satisfaisant certains critères techniques. La loi de conservation d'une grandeur physique est généralement exprimée sous la forme d'une équation de continuité .

La preuve formelle du théorème utilise la condition d'invariance pour dériver une expression pour un courant associé à une quantité physique conservée. Dans la terminologie moderne (depuis environ 1980), la quantité conservée est appelée charge de Noether , tandis que le flux portant cette charge est appelé courant de Noether . Le courant de Noether est défini jusqu'à un champ vectoriel solénoïdal (sans divergence).

Dans le contexte de la gravitation, l' énoncé de Felix Klein du théorème de Noether pour l'action I stipule pour les invariants :

Si une intégrale I est invariante sous un groupe continu G ρ avec ρ paramètres, alors ρ combinaisons linéairement indépendantes des expressions lagrangiennes sont des divergences.

Brève illustration et aperçu du concept

Tracé illustrant le théorème de Noether pour une symétrie en coordonnées.

L'idée principale derrière le théorème de Noether est plus facilement illustrée par un système avec une coordonnée et une symétrie continue (flèches grises sur le diagramme). Considérez n'importe quelle trajectoire (en gras sur le diagramme) qui satisfait les lois du mouvement du système . C'est-à-dire que l' action régissant ce système est stationnaire sur cette trajectoire, c'est-à-dire ne change pas sous aucune variation locale de la trajectoire. En particulier, il ne changerait pas sous une variation qui applique le flux de symétrie sur un segment de temps [ t 0 , t 1 ] et est immobile en dehors de ce segment. Pour garder la trajectoire continue, nous utilisons des périodes de « tamponnage » de petit temps pour passer progressivement entre les segments.

Le changement total dans l'action comprend désormais les changements apportés par chaque intervalle de jeu. Les parties, où la variation elle-même s'évanouit, n'apportent aucun . La partie médiane ne change pas non plus l'action, car sa transformation est une symétrie et préserve donc le lagrangien et l'action . Les seules parties restantes sont les pièces "tampon". Grosso modo, ils y contribuent surtout par leur « biais » .

Cela change le Lagrangien par , qui s'intègre à

Ces derniers termes, évalués autour des points finaux et , devraient s'annuler afin que le changement total de l'action soit nul, comme on pourrait s'y attendre si la trajectoire est une solution. C'est-à-dire

ce qui signifie que la quantité est conservée, ce qui est la conclusion du théorème de Noether. Par exemple, si les translations pures de par une constante sont la symétrie, alors la quantité conservée devient juste , la quantité de mouvement canonique.

Des cas plus généraux suivent la même idée :

  • Lorsque plusieurs coordonnées subissent une transformation de symétrie , leurs effets s'additionnent par linéarité à une quantité conservée .
  • Lorsqu'il y a des transformations temporelles , elles amènent les segments "buffering" à apporter les deux termes suivants à :
    le premier terme étant dû à l'étirement en dimension temporelle du segment "tampon" (qui modifie la taille du domaine d'intégration), et le second est dû à son "inclinaison" comme dans le cas exemplaire. Ensemble, ils ajoutent une somme à la quantité conservée.
  • Enfin, lorsqu'au lieu d'une trajectoire des champs entiers sont considérés, l'argument remplace
    • l'intervalle avec une région bornée du -domaine,
    • les extrémités et avec la limite de la région,
    • et sa contribution à est interprétée comme un flux d'un courant conservé , qui se construit d'une manière analogue à la définition antérieure d'une quantité conservée.
    Maintenant, la contribution nulle du "tampon" à est interprétée comme la disparition du flux total du courant à travers le . C'est en ce sens qu'elle est conservée : combien « afflue » autant qu'elle « s'écoule ».

Contexte historique

Une loi de conservation stipule qu'une certaine quantité X dans la description mathématique de l'évolution d'un système reste constante tout au long de son mouvement - c'est un invariant . Mathématiquement, le taux de variation de X (sa dérivée par rapport au temps ) est nul,

De telles quantités sont dites conservées ; elles sont souvent appelées constantes de mouvement (bien que le mouvement en soi n'ait pas besoin d'être impliqué, juste l'évolution dans le temps). Par exemple, si l'énergie d'un système est conservée, son énergie est invariante à tout moment, ce qui impose une contrainte sur le mouvement du système et peut aider à le résoudre. Outre les informations que de telles constantes de mouvement donnent sur la nature d'un système, elles constituent un outil de calcul utile ; par exemple, une solution approximative peut être corrigée en trouvant l'état le plus proche qui satisfait les lois de conservation appropriées.

Les premières constantes de mouvement découvertes étaient la quantité de mouvement et l'énergie cinétique , qui ont été proposées au 17ème siècle par René Descartes et Gottfried Leibniz sur la base d' expériences de collision , et affinées par des chercheurs ultérieurs. Isaac Newton a été le premier à énoncer la conservation de la quantité de mouvement sous sa forme moderne et a montré qu'elle était une conséquence de la troisième loi de Newton . Selon la relativité générale , les lois de conservation du moment linéaire, de l'énergie et du moment angulaire ne sont exactement vraies globalement qu'en termes de somme du tenseur contrainte-énergie ( contrainte non gravitationnelle-énergie) et de la contrainte-énergie de Landau-Lifshitz –pseudotenseur impulsionnel (contrainte gravitationnelle–énergie). La conservation locale de la quantité de mouvement linéaire non gravitationnelle et de l'énergie dans un référentiel en chute libre est exprimée par la disparition de la divergence covariante du tenseur contrainte-énergie . Une autre quantité conservée importante, découverte dans les études de la mécanique céleste des corps astronomiques, est le vecteur de Laplace-Runge-Lenz .

À la fin du XVIIIe et au début du XIXe siècle, les physiciens ont développé des méthodes plus systématiques pour découvrir les invariants. Une avancée majeure est venue en 1788 avec le développement de la mécanique lagrangienne , qui est liée au principe de moindre action . Dans cette approche, l'état du système peut être décrit par tout type de coordonnées généralisées q ; les lois du mouvement n'ont pas besoin d'être exprimées dans un système de coordonnées cartésiennes , comme c'était l'usage en mécanique newtonienne. L' action est définie comme l'intégrale de temps I d'une fonction connue sous le nom de Lagrangien  L

où le point sur q signifie le taux de changement des coordonnées q ,

Le principe de Hamilton stipule que le chemin physique q ( t ) - celui effectivement emprunté par le système - est un chemin pour lequel des variations infinitésimales de ce chemin ne provoquent aucun changement dans I , au moins jusqu'au premier ordre. Ce principe se traduit par les équations d'Euler-Lagrange ,

Ainsi, si l'une des coordonnées, disons q k , n'apparaît pas dans le lagrangien, le côté droit de l'équation est zéro, et le côté gauche exige que

où l'élan

est conservée tout au long du mouvement (sur le chemin physique).

Ainsi, l'absence de la coordonnée ignorable q k du lagrangien implique que le lagrangien n'est pas affecté par les changements ou les transformations de q k ; le Lagrangien est invariant, et on dit qu'il présente une symétrie sous de telles transformations. C'est l'idée de germe généralisée dans le théorème de Noether.

Plusieurs méthodes alternatives pour trouver des quantités conservées ont été développées au 19ème siècle, en particulier par William Rowan Hamilton . Par exemple, il a développé une théorie des transformations canoniques qui a permis de changer les coordonnées de sorte que certaines coordonnées ont disparu du lagrangien, comme ci-dessus, résultant en des moments canoniques conservés. Une autre approche, et peut-être la plus efficace pour trouver des quantités conservées, est l' équation de Hamilton-Jacobi .

Expression mathématique

Forme simple utilisant des perturbations

L'essence du théorème de Noether est de généraliser les coordonnées ignorables décrites.

On peut supposer que le lagrangien L défini ci-dessus est invariant sous de petites perturbations (warpings) de la variable temps t et des coordonnées généralisées q . On peut écrire

où les perturbations ôt et δ q sont à la fois petite, mais variable. Pour la généralité, supposons qu'il y ait (disons) N telles transformations de symétrie de l'action, c'est-à-dire des transformations laissant l'action inchangée ; étiqueté par un indice r  = 1, 2, 3, ...,  N .

Ensuite, la perturbation résultante peut être écrite comme une somme linéaire des types individuels de perturbations,

ε r sont infinitésimales coefficients de paramètres correspondant à chacune:

Pour les translations, Q r est une constante avec des unités de longueur ; pour les rotations, c'est une expression linéaire dans les composantes de q , et les paramètres forment un angle .

En utilisant ces définitions, Noether a montré que les N quantités

(qui ont les dimensions [énergie]·[temps] + [impulsion]·[longueur] = [action]) sont conservées ( constantes de mouvement ).

Exemples

Invariance temporelle

A titre d'illustration, considérons un Lagrangien qui ne dépend pas du temps, c'est-à-dire qui est invariant (symétrique) sous des changements tt + t , sans aucun changement dans les coordonnées q . Dans ce cas, N  = 1, T  = 1 et Q  = 0 ; la quantité conservée correspondante est l' énergie totale H

Invariance translationnelle

Considérons un lagrangien qui ne dépend pas d'une coordonnée ("ignorable", comme ci-dessus) q k ; il est donc invariant (symétrique) sous les changements q kq k + δq k . Dans ce cas, N  = 1, T  = 0 et Q k  = 1 ; la quantité conservée est la quantité de mouvement linéaire correspondante p k

En relativité restreinte et générale , ces lois de conservation apparemment distinctes sont des aspects d'une seule loi de conservation, celle du tenseur contrainte-énergie , qui est dérivée dans la section suivante.

Invariance rotationnelle

La conservation du moment cinétique L = r × p est analogue à sa contrepartie en moment linéaire. On suppose que la symétrie du Lagrangien est rotationnelle, c'est-à-dire que le Lagrangien ne dépend pas de l'orientation absolue du système physique dans l'espace. Pour être concret, supposons que le Lagrangien ne change pas sous de petites rotations d'un angle δθ autour d'un axe n ; une telle rotation transforme les coordonnées cartésiennes par l'équation

Étant donné que le temps ne soit pas en cours de transformation, T = 0. Prenant δθ comme le ε paramètre et les coordonnées cartésiennes r comme coordonnées généralisées q , les correspondants Q variables sont donnés par

Alors le théorème de Noether énonce que la quantité suivante est conservée,

En d'autres termes, la composante du moment cinétique L le long de l' axe n est conservée.

Si n est arbitraire, c'est-à-dire si le système est insensible à toute rotation, alors toute composante de L est conservée ; en bref, le moment cinétique est conservé.

Version théorie des champs

Bien qu'utile en soi, la version du théorème de Noether qui vient d'être donnée est un cas particulier de la version générale dérivée en 1915. Pour donner la saveur du théorème général, une version du théorème de Noether pour les champs continus dans l' espace-temps à quatre dimensions est maintenant donné. Étant donné que les problèmes de théorie des champs sont plus courants en physique moderne que les problèmes de mécanique , cette version de la théorie des champs est la version la plus couramment utilisée (ou la plus souvent mise en œuvre) du théorème de Noether.

Soit un ensemble de champs différenciables définis dans tout l'espace et le temps ; par exemple, la température serait représentative d'un tel champ, étant un nombre défini à chaque endroit et à chaque instant. Le principe de moindre action peut s'appliquer à de tels champs, mais l'action est désormais intégrale dans l'espace et le temps

(le théorème peut encore être généralisée au cas où le lagrangien dépend jusqu'à la n ième dérivée, et peut également être formulé en utilisant des faisceaux de jet ).

Une transformation continue des champs peut s'écrire infiniment comme

où est en général une fonction qui peut dépendre à la fois de et . La condition pour générer une symétrie physique est que l'action soit laissée invariante. Ce sera certainement vrai si la densité lagrangienne est laissée invariante, mais ce sera aussi vrai si le lagrangien change d'une divergence,

puisque l'intégrale d'une divergence devient un terme frontière selon le théorème de divergence . Un système décrit par une action donnée peut avoir plusieurs symétries indépendantes de ce type, indexées par de sorte que la transformation de symétrie la plus générale serait écrite comme

avec la conséquence

Pour de tels systèmes, le théorème de Noether stipule qu'il existe des densités de courant conservées

(où le produit scalaire est censé contracter les indices de champ , pas l' indice ou l' indice).

Dans de tels cas, la loi de conservation est exprimée d'une manière à quatre dimensions

qui exprime l'idée que la quantité d'une quantité conservée dans une sphère ne peut pas changer à moins qu'une partie ne s'écoule de la sphère. Par exemple, la charge électrique est conservée ; la quantité de charge dans une sphère ne peut pas changer à moins qu'une partie de la charge ne quitte la sphère.

À titre d'illustration, considérons un système physique de champs qui se comporte de la même manière sous les translations dans le temps et dans l'espace, comme indiqué ci-dessus ; en d'autres termes, est constant dans son troisième argument. Dans ce cas, N  = 4, un pour chaque dimension de l'espace et du temps. Une translation infinitésimale dans l'espace, (en dénotant le delta de Kronecker ), affecte les champs comme suit : sa valeur en chaque point avec la valeur au point "derrière" elle qui serait mappée sur le déplacement infinitésimal considéré. Puisque c'est infinitésimal, nous pouvons écrire cette transformation comme

La densité lagrangienne se transforme de la même manière, , donc

et donc les correspond théorème de Noether à la loi de conservation du tenseur contrainte d'énergie T u v , où nous avons utilisé à la place . A savoir, en utilisant l'expression donnée précédemment, et en collectant les quatre courants conservés (un pour chaque ) dans un tenseur , le théorème de Noether donne

avec

(nous avons réétiqueté comme à une étape intermédiaire pour éviter les conflits). (Cependant, le obtenu de cette manière peut différer du tenseur symétrique utilisé comme terme source en relativité générale ; voir Canonical stress-energie tensor .)

La conservation de la charge électrique , en revanche, peut être déduite en considérant Ψ linéaire dans les champs φ plutôt que dans les dérivées. En mécanique quantique , l' amplitude de probabilité ψ ( x ) de trouver une particule en un point x est un champ complexe φ , car il attribue un nombre complexe à chaque point de l'espace et du temps. L'amplitude de probabilité elle-même est physiquement non mesurable ; seule la probabilité p = | ψ | 2 peut être déduit d'un ensemble de mesures. Par conséquent, le système est invariant sous les transformations du champ ψ et de son champ conjugué complexe ψ * qui laissent | ψ | 2 inchangé, comme

une rotation complexe. Dans la limite lorsque la phase θ devient infinitésimale, δθ , il peut être considéré comme le paramètre ε , alors que le Ψ sont égaux à et - *, respectivement. Un exemple spécifique est l' équation de Klein-Gordon , la version relativistement correcte de l' équation de Schrödinger pour les particules sans spin , qui a la densité lagrangienne

Dans ce cas, le théorème de Noether stipule que le  courant conservé (∂ ⋅  j = 0) est égal à

qui, multipliée par la charge sur cette espèce de particule, est égale à la densité de courant électrique due à ce type de particule. Cette « invariance de jauge » a été notée pour la première fois par Hermann Weyl , et est l'un des prototypes de symétries de jauge de la physique.

Dérivations

Une variable indépendante

Considérons le cas le plus simple, un système avec une variable indépendante, le temps. Supposons que les variables dépendantes q soient telles que l'intégrale d'action

est invariant sous de brèves variations infinitésimales des variables dépendantes. En d'autres termes, ils satisfont les équations d'Euler-Lagrange

Et supposons que l'intégrale soit invariante sous une symétrie continue. Mathématiquement , une telle symétrie est représentée par un écoulement , φ , qui agit sur les variables de la manière suivante

ε est une variable réelle indiquant la quantité de flux, et T est une constante réelle (qui peut être égal à zéro) , indiquant à quel point le temps des changements de débit.

L'intégrale d'action s'écoule vers

qui peut être considérée comme une fonction de ε . En calculant la dérivée à ' = 0 et en utilisant la règle de Leibniz , on obtient

Notez que les équations d'Euler-Lagrange impliquent

En substituant cela dans l'équation précédente, on obtient

En utilisant à nouveau les équations d'Euler-Lagrange, nous obtenons

En substituant cela dans l'équation précédente, on obtient

D'où l'on peut voir que

est une constante du mouvement, c'est-à-dire une quantité conservée. Puisque φ[ q , 0] = q , on obtient et donc la quantité conservée se simplifie en

Pour éviter une complication excessive des formules, cette dérivation suppose que le flux ne change pas avec le temps. Le même résultat peut être obtenu dans le cas plus général.

Dérivation de la théorie des champs

Le théorème de Noether peut également être calculée pour tenseur des champs de l'A où l'indice A gammes sur les différentes composantes des différents champs de tenseurs. Ces grandeurs de champ sont des fonctions définies sur un espace à quatre dimensions dont les points sont étiquetés par des coordonnées x μ où l'indice μ varie dans le temps ( μ  = 0) et trois dimensions spatiales ( μ  = 1, 2, 3). Ces quatre coordonnées sont les variables indépendantes ; et les valeurs des champs à chaque événement sont les variables dépendantes. Sous une transformation infinitésimale, la variation des coordonnées s'écrit

alors que la transformation des variables de champ est exprimée comme

Par cette définition, les variations de champ δφ A résultent de deux facteurs : des changements intrinsèques du champ lui-même et des changements de coordonnées, puisque le champ transformé α A dépend des coordonnées transformées ξ μ . Pour isoler les changements intrinsèques, la variation de champ en un seul point x μ peut être définie

Si les coordonnées sont modifiées, la limite de la région de l'espace-temps sur laquelle le lagrangien est en cours d'intégration change également ; la frontière d'origine et sa version transformée sont notées respectivement Ω et '.

Le théorème de Noether part de l'hypothèse qu'une transformation spécifique des coordonnées et des variables de champ ne modifie pas l' action , qui est définie comme l'intégrale de la densité lagrangienne sur la région donnée de l'espace-temps. Exprimée mathématiquement, cette hypothèse peut s'écrire sous la forme

où l'indice de la virgule indique une dérivée partielle par rapport à la ou aux coordonnées qui suivent la virgule, par exemple

Puisque ξ est une variable muette d'intégration, et puisque le changement de la frontière est infinitésimal par hypothèse, les deux intégrales peuvent être combinées en utilisant la version à quatre dimensions du théorème de divergence sous la forme suivante

La différence dans les lagrangiens peut être écrite au premier ordre dans les variations infinitésimales comme

Cependant, comme les variations sont définies au même point que décrit ci-dessus, la variation et la dérivée peuvent être effectuées dans l'ordre inverse ; ils font la navette

Utilisation des équations de champ d'Euler-Lagrange

la différence dans les lagrangiens peut être écrite proprement comme

Ainsi, le changement dans l'action peut être écrit comme

Puisque cela est valable pour toute région , l'intégrande doit être nul

Pour toute combinaison des diverses transformations de symétrie , la perturbation peut être écrite

où est la dérivée de Lie de φ A dans la direction X μ . Lorsque φ A est un scalaire ou ,

Ces équations impliquent que la variation de champ prise en un point est égale à

Différencier la divergence ci - dessus par rapport à ε à ε  = 0 et changer le signe donne la loi de conservation

où le courant conservé est égal

Dérivation du collecteur/faisceau de fibres

Supposons que nous ayons une variété riemannienne orientée à n dimensions , M et une variété cible T . Soit l' espace de configuration des fonctions lisses de M à T . (Plus généralement, nous pouvons avoir des sections lisses d'un faisceau de fibres sur M .)

Voici des exemples de ce M en physique :

  • En mécanique classique , dans la formulation hamiltonienne , M est la variété unidimensionnelle , représentant le temps et l'espace cible est le fibré cotangent de l' espace des positions généralisées.
  • Dans la théorie des champs , M est la variété espace - temps et l'espace cible est l'ensemble des valeurs que les champs peuvent prendre en un point donné. Par exemple, s'il existe m champs scalaires à valeur réelle , , alors la variété cible est . Si le champ est un champ de vecteurs réel, alors la variété cible est isomorphe à .

Supposons maintenant qu'il existe une fonctionnelle

appelé l' action . (Il prend des valeurs dans , plutôt que ; c'est pour des raisons physiques, et n'est pas important pour cette preuve.)

Pour arriver à la version habituelle du théorème de Noether, nous avons besoin de restrictions supplémentaires sur l' action . On suppose que est l' intégrale sur M d'une fonction

appelé la densité de lagrangien , en fonction de φ , son dérivé et de la position. En d'autres termes, pour φ dans

Supposons que nous donne des conditions aux limites , à savoir, une spécification de la valeur de φ à la limite si M est compact , ou une limite φ comme x approche ∞. Ensuite , le sous - espace de composé de fonctions & phiv de telle sorte que tous les dérivés fonctionnels d' au φ sont nuls, soit:

et que φ satisfait les conditions aux limites données, est le sous-espace des solutions sur coque . (Voir principe d'action stationnaire )

Maintenant, supposons que nous ayons une transformation infinitésimale sur , générée par une dérivation fonctionnelle , Q telle que

pour toutes les sous-variétés compactes N ou en d'autres termes,

pour tout x , où nous posons

Si cela se vérifie sur shell et off shell , nous disons que Q génère une symétrie hors shell. Si cela ne vaut que sur shell , nous disons que Q génère une symétrie sur shell. Ensuite, nous disons que Q est un générateur d'un groupe de Lie à symétrie à un paramètre .

Maintenant, pour tout N , à cause du théorème d' Euler–Lagrange , sur coque (et uniquement sur coque), on a

Comme cela est vrai pour tout N , on a

Mais c'est l' équation de continuité pour le courant définie par :

qui s'appelle le courant de Noether associé à la symétrie . L'équation de continuité nous dit que si nous intégrons ce courant sur une tranche semblable à un espace , nous obtenons une quantité conservée appelée charge de Noether (à condition, bien sûr, que si M est non compact, les courants tombent suffisamment rapidement à l'infini).

commentaires

Le théorème de Noether est un théorème sur coque : il repose sur l'utilisation des équations du mouvement, le chemin classique. Il reflète la relation entre les conditions aux limites et le principe variationnel. En supposant qu'il n'y ait pas de limites dans l'action, le théorème de Noether implique que

Les analogues quantiques du théorème de Noether impliquant des valeurs attendues (par exemple, ) sondant également des quantités de coque sont les identités Ward-Takahashi .

Généralisation aux algèbres de Lie

Supposons que nous ayons deux dérivations de symétrie Q 1 et Q 2 . Alors, [ Q 1Q 2 ] est aussi une dérivation de symétrie. Voyons cela explicitement. Disons

et

Puis,

f 12  =  Q 1 [ f 2 μ ] -  Q 2 [ f 1 μ ]. Donc,

Cela montre que nous pouvons étendre le théorème de Noether à de plus grandes algèbres de Lie de manière naturelle.

Généralisation de la preuve

Ceci s'applique à toute dérivation de symétrie locale Q satisfaisant QS  0, et aussi à des actions différenciables fonctionnelles locales plus générales, y compris celles où le Lagrangien dépend de dérivées supérieures des champs. Soit ε n'importe quelle fonction lisse arbitraire de la variété spatio-temporelle (ou temporelle) telle que la fermeture de son support soit disjointe de la frontière. ε  est une fonction de test . Alors, à cause du principe variationnel (qui ne s'applique pas au bord, soit dit en passant), la distribution de dérivation q générée par q [ ε ][Φ( x )] = ε ( x ) Q [Φ( x )] satisfait q [ ε ][ S ] ≈ 0 pour tout  ε , ou de manière plus compacte, q ( x )[ S ] ≈ 0 pour tout x non sur le bord (mais rappelez-vous que q ( x ) est un raccourci pour une distribution de dérivation , pas une dérivation paramétrée par x en général). C'est la généralisation du théorème de Noether.

Pour voir comment la généralisation est liée à la version donnée ci-dessus, supposons que l'action est l'intégrale d'espace-temps d'un lagrangien qui ne dépend que de φ et de ses premières dérivées. Supposons aussi

Puis,

pour tous .

Plus généralement, si le Lagrangien dépend de dérivées supérieures, alors

Exemples

Exemple 1 : Conservation de l'énergie

En regardant le cas particulier d'une particule newtonienne de masse m , de coordonnée x , se déplaçant sous l'influence d'un potentiel V , coordonné par le temps t . L' action , S , est :

Le premier terme entre parenthèses est l' énergie cinétique de la particule, tandis que le second est son énergie potentielle . Considérons le générateur de traductions temporelles Q = d / dt . En d'autres termes, . La coordonnée x a une dépendance explicite au temps, alors que V n'en a pas ; par conséquent:

afin que nous puissions définir

Puis,

Le membre de droite est l'énergie, et le théorème de Noether stipule que (c'est-à-dire que le principe de conservation de l'énergie est une conséquence de l'invariance sous les translations temporelles).

Plus généralement, si le lagrangien ne dépend pas explicitement du temps, la quantité

(appelé hamiltonien ) est conservé.

Exemple 2 : Conservation du centre de la quantité de mouvement

En considérant toujours le temps à une dimension, soit

ou des particules newtoniennes où le potentiel ne dépend que deux à deux du déplacement relatif.

Pour , considérons le générateur de transformations galiléennes (c'est-à-dire un changement de référentiel). En d'autres termes,

Et

Cela a la forme de donc nous pouvons définir

Puis,

où est la quantité de mouvement totale, M est la masse totale et est le centre de masse. Le théorème de Noether dit :

Exemple 3 : transformation conforme

Les deux exemples 1 et 2 sont sur une variété unidimensionnelle (temps). Un exemple impliquant l'espace-temps est une transformation conforme d'un champ scalaire réel sans masse avec un potentiel quartique dans (3 + 1) -espace-temps de Minkowski .

Pour Q , considérons le générateur d'une remise à l'échelle de l'espace-temps. En d'autres termes,

Le deuxième terme du côté droit est dû au "poids conforme" de . Et

Cela a la forme de

(où nous avons effectué un changement d'indices fictifs) donc définir

Puis

Le théorème de Noether stipule que (comme on peut le vérifier explicitement en substituant les équations d'Euler-Lagrange dans le côté gauche).

Si l'on essaie de trouver l' analogue Ward-Takahashi de cette équation, on se heurte à un problème à cause d' anomalies .

Applications

L'application du théorème de Noether permet aux physiciens d'avoir un aperçu puissant de toute théorie générale de la physique, en analysant simplement les diverses transformations qui rendraient la forme des lois impliquées invariante. Par exemple:

Dans la théorie quantique des champs , l'analogue au théorème de Noether, l' identité Ward-Takahashi , donne d'autres lois de conservation, telles que la conservation de la charge électrique de l'invariance par rapport à un changement dans le facteur de phase du champ complexe de la particule chargée et la jauge associée du potentiel électrique et du potentiel vecteur .

La charge de Noether est également utilisée dans le calcul de l' entropie des trous noirs stationnaires .

Voir également

Remarques

Les références

Liens externes