Analyse non standard - Nonstandard analysis

Gottfried Wilhelm Leibniz a soutenu que des nombres idéalisés contenant des infinitésimaux devaient être introduits.

L' histoire du calcul est semée de débats philosophiques sur la signification et la validité logique des fluxions ou des nombres infinitésimaux . La manière standard de résoudre ces débats est de définir les opérations de calcul en utilisant des procédures epsilon-delta plutôt que des infinitésimaux. L'analyse non standard reformule plutôt le calcul en utilisant une notion logiquement rigoureuse de nombres infinitésimaux .

L'analyse non standard a été créée au début des années 1960 par le mathématicien Abraham Robinson . Il a écrit:

... l'idée de quantités infiniment petites ou infinitésimales semble faire appel naturellement à notre intuition. En tout cas, l'utilisation des infinitésimaux était répandue pendant les étapes de formation du calcul différentiel et intégral. Quant à l'objection... que la distance entre deux nombres réels distincts ne peut pas être infiniment petite, Gottfried Wilhelm Leibniz a soutenu que la théorie des infinitésimaux implique l'introduction de nombres idéaux qui pourraient être infiniment petits ou infiniment grands par rapport aux nombres réels mais qui devaient posséder les mêmes propriétés que ces derniers.

Robinson a soutenu que cette loi de continuité de Leibniz est un précurseur du principe de transfert . Robinson continua :

Cependant, ni lui ni ses disciples et successeurs n'ont été en mesure de donner un développement rationnel menant à un système de ce genre. En conséquence, la théorie des infinitésimaux est progressivement tombée en discrédit et a finalement été remplacée par la théorie classique des limites.

Robinson poursuit :

... Les idées de Leibniz peuvent être pleinement justifiées et ... elles conduisent à une approche nouvelle et fructueuse de l'Analyse classique et de nombreuses autres branches des mathématiques. La clé de notre méthode est fournie par l'analyse détaillée de la relation entre langages mathématiques et structures mathématiques qui est à la base de la théorie des modèles contemporaine .

En 1973, l' intuitionniste Arend Heyting a loué l'analyse non standard comme « un modèle standard de recherche mathématique importante ».

introduction

Un élément non nul d'un champ ordonné est infinitésimal si et seulement si sa valeur absolue est inférieure à n'importe quel élément de la forme , pour un nombre naturel standard. Les champs ordonnés qui ont des éléments infinitésimaux sont également appelés non archimédiens . Plus généralement, l' analyse non standard est toute forme de mathématiques qui repose sur des modèles non standard et le principe de transfert . Un champ qui satisfait le principe de transfert pour les nombres réels est un champ hyperréel , et l'analyse réelle non standard utilise ces champs comme modèles non standard des nombres réels. $\mathbb {F}$ $\mathbb {F}$ ${\frac {1}{n}}$ ${\style d'affichage n}$

L'approche originale de Robinson était basée sur ces modèles non standard du domaine des nombres réels. Son livre fondateur classique sur le sujet Analyse non standard a été publié en 1966 et est toujours sous presse. À la page 88, Robinson écrit :

L'existence de modèles arithmétiques non standard a été découverte par Thoralf Skolem (1934). La méthode de Skolem préfigure la construction ultrapuissante [...]

Plusieurs problèmes techniques doivent être résolus pour développer un calcul des infinitésimaux. Par exemple, il ne suffit pas de construire un champ ordonné avec des infinitésimaux. Voir l'article sur les nombres hyperréels pour une discussion de certaines des idées pertinentes.

Définitions basiques

Dans cette section, nous décrivons l'une des approches les plus simples pour définir un champ hyperréel . Soit le corps des nombres réels, et soit le demi - anneau des nombres naturels. Désignons par l'ensemble des suites de nombres réels. Un champ est défini comme un quotient approprié de , comme suit. Prenez un ultrafiltre non principal . En particulier, contient le filtre Fréchet . Considérons une paire de séquences $^{*}\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {N}$ $\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }$ $^{*}\mathbb {R}$ $\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }$ $F\subseteq P(\mathbb {N} )$ ${\style d'affichage F}$

u=(u_{n}),v=(v_{n})\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }

On dit que et sont équivalents s'ils coïncident sur un ensemble d'indices membre de l'ultrafiltre, ou dans des formules : $u$ ${\style d'affichage v}$

\{n\in \mathbb {N} :u_{n}=v_{n}\}\in F

Le quotient de par la relation d'équivalence résultante est un champ hyperréel , une situation résumée par la formule . $\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }$ $^{*}\mathbb {R}$ $^{*}\mathbb {R} ={\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}/{F}$

Motivation

Il y a au moins trois raisons d'envisager une analyse non standard : historique, pédagogique et technique.

Historique

Une grande partie du premier développement du calcul infinitésimal par Newton et Leibniz a été formulée à l'aide d'expressions telles que nombre infinitésimal et quantité évanouissante . Comme indiqué dans l'article sur les nombres hyperréels , ces formulations ont été largement critiquées par George Berkeley et d'autres. Le défi de développer une théorie d'analyse cohérente et satisfaisante en utilisant des infinitésimaux a été relevé pour la première fois par Abraham Robinson.

En 1958, Curt Schmieden et Detlef Laugwitz ont publié un article "Eine Erweiterung der Infinitesimalrechnung" ("Une extension du calcul infinitésimal") qui proposait la construction d'un anneau contenant des infinitésimaux. L'anneau a été construit à partir de séquences de nombres réels. Deux séquences étaient considérées comme équivalentes si elles ne différaient que par un nombre fini d'éléments. Les opérations arithmétiques ont été définies par élément. Cependant, l'anneau ainsi construit contient des diviseurs nuls et ne peut donc pas être un champ.

Pédagogique

H. Jerome Keisler , David Tall , et d'autres éducateurs soutiennent que l'utilisation des infinitésimaux est plus intuitive et plus facile à saisir par les étudiants que l' approche « epsilon-delta » des concepts analytiques. Cette approche peut parfois fournir des preuves de résultats plus faciles que la formulation epsilon-delta correspondante de la preuve. Une grande partie de la simplification provient de l'application de règles très simples d'arithmétique non standard, comme suit :

infinitésimal × fini = infinitésimal

infinitésimal + infinitésimal = infinitésimal

ainsi que le principe de transfert mentionné ci-dessous.

Une autre application pédagogique de l'analyse non standard est le traitement par Edward Nelson de la théorie des processus stochastiques .

Technique

Certains travaux récents ont été réalisés en analyse en utilisant des concepts d'analyse non standard, en particulier en étudiant les processus limitants de la statistique et de la physique mathématique. Sergio Albeverio et al. discuter de certaines de ces applications.

Approches de l'analyse non standard

Il existe deux principales approches différentes de l'analyse non standard : l' approche sémantique ou théorique des modèles et l'approche syntaxique. Ces deux approches s'appliquent à d'autres domaines des mathématiques au-delà de l'analyse, notamment la théorie des nombres, l'algèbre et la topologie.

La formulation originale de Robinson de l'analyse non standard tombe dans la catégorie de l' approche sémantique . Telle que développée par lui dans ses articles, elle repose sur l'étude de modèles (en particulier de modèles saturés ) d'une théorie . Depuis les premiers travaux de Robinson, une approche sémantique plus simple (due à Elias Zakon) a été développée en utilisant des objets purement théoriques appelés superstructures . Dans cette approche, un modèle de théorie est remplacé par un objet appelé superstructure $V (S)$ sur un ensemble $S$ . A partir d'une superstructure $V (S)$ on construit un autre objet $* V (S) en$ utilisant la construction ultrapuissance avec une application $V (S)\to* V (S)$ qui satisfait le principe de transfert . L'application * relie les propriétés formelles de $V (S)$ et $* V (S)$ . De plus, il est possible d'envisager une forme plus simple de saturation appelée saturation dénombrable . Cette approche simplifiée est également plus adaptée à une utilisation par des mathématiciens qui ne sont pas des spécialistes de la théorie des modèles ou de la logique.

L' approche syntaxique nécessite beaucoup moins de logique et de théorie des modèles à comprendre et à utiliser. Cette approche a été développée au milieu des années 1970 par le mathématicien Edward Nelson . Nelson a introduit une formulation entièrement axiomatique de l'analyse non standard qu'il a appelée théorie des ensembles internes (IST). IST est une extension de la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel (ZF) en ce qu'à côté de la relation d'appartenance binaire de base ∈, il introduit une nouvelle norme de prédicat unaire , qui peut être appliquée aux éléments de l'univers mathématique avec quelques axiomes pour raisonner avec ce nouveau prédicat.

L'analyse syntaxique non standard nécessite beaucoup de soin dans l'application du principe de formation d'ensembles (formellement connu sous le nom d' axiome de compréhension ), que les mathématiciens tiennent généralement pour acquis. Comme Nelson le souligne, une erreur de raisonnement dans IST est celle de la formation illégale d'ensembles . Par exemple, il n'y a pas d'ensemble dans IST dont les éléments sont précisément les entiers standard (ici standard est compris au sens du nouveau prédicat). Pour éviter la formation illégale d'ensembles, il faut uniquement utiliser des prédicats de ZFC pour définir des sous-ensembles.

Un autre exemple de l'approche syntaxique est la théorie des ensembles alternative introduite par Petr Vopěnka , essayant de trouver des axiomes de la théorie des ensembles plus compatibles avec l'analyse non standard que les axiomes de ZF.

En 2018 Abdeljalil Saghe a proposé une approche explicite pour construire le domaine de l'analyse non standard sans utiliser les ultrafiltres.

La même année 2018, une autre approche a été introduite par Anggha Nugraha pour créer ce qu'il appelle l'analyse infinitésimale naïve. Son approche se situe en quelque sorte entre les deux approches évoquées plus haut (approches sémantique et syntaxique). Sémantiquement, il a proposé un modèle, , qui est en quelque sorte une version simplifiée de . Cependant, il n'a pas laissé cela entraver l'objectif d'utiliser un langage commun pour parler à la fois de et . Axiomatiquement, il a également parlé de syntaxe. Il a également utilisé certains principes qui rappellent ceux de Bell – la microstabilité et autres. Néanmoins, il n'a pas eu besoin de faire la distinction entre les ensembles "internes" et "externes" car sa stratégie est Chunk & Permeate , il n'a donc pas eu à s'inquiéter des incohérences résultant de la fusion des deux. Un autre avantage de l'utilisation de son approche est qu'elle fonctionne de manière raisonnablement intuitive sans s'enliser (trop) dans des complications techniques. $\mathbb {R^{Z_{<}}}$ $\mathbb {^{*}R}$ $\mathbb {R^{Z_{<}}}$ $\mathbb {R}$

Le livre de Robinson

Le livre d'Abraham Robinson Nonstandard analysis a été publié en 1966. Certains des sujets développés dans le livre étaient déjà présents dans son article de 1961 du même titre (Robinson 1961). En plus de contenir le premier traitement complet de l'analyse non standard, le livre contient une section historique détaillée où Robinson conteste certaines des opinions reçues sur l'histoire des mathématiques sur la base de la perception de l'analyse pré-non standard des infinitésimaux en tant qu'entités incohérentes. Ainsi, Robinson conteste l'idée que le « théorème de la somme » d' Augustin-Louis Cauchy dans le Cours d'analyse concernant la convergence d'une série de fonctions continues était incorrect, et propose une interprétation infinitésimale de son hypothèse qui aboutit à un théorème correct .

Problème de sous-espace invariant

Abraham Robinson et Allen Bernstein ont utilisé une analyse non standard pour prouver que chaque opérateur linéaire polynomialement compact sur un espace de Hilbert a un sous-espace invariant .

Étant donné un opérateur $T$ sur l'espace de Hilbert $H$ , considérons l'orbite d'un point $v$ dans $H$ sous les itérations de $T$ . En appliquant Gram-Schmidt on obtient une base orthonormée $(e i)$ pour $H$ . Soit $(H i)$ la séquence emboîtée correspondante de sous-espaces "coordonnés" de $H$ . La matrice $a i,j$ exprimant $T$ par rapport à $(e i)$ est presque triangulaire supérieure, en ce sens que les coefficients $a i +1, i$ sont les seuls coefficients sous-diagonaux non nuls. Bernstein et Robinson montrent que si $T$ est polynomialement compact, alors il existe un indice hyperfini $w$ tel que le coefficient matriciel $a w +1, w$ est infinitésimal. Ensuite, considérons le sous-espace $H w$ de $* H$ . Si $y$ dans $H w$ est de norme finie, alors $T (y)$ est infiniment proche de $H w$ .

Soit maintenant $T w$ l'opérateur agissant sur $H$ $w$ , où $P$ $w$ est la projection orthogonale à $H$ $w$ . Notons $q$ le polynôme tel que $q$ $($ $T$ $)$ est compact. Le sous-espace $H$ $w$ est interne de dimension hyperfinie. En transférant la triangularisation supérieure des opérateurs de l'espace vectoriel complexe de dimension finie, il existe une base d'espace de Hilbert orthonormée interne $($ $e$ $k$ $)$ pour $H$ $w$ où $k$ va de $1$ à $w$ , tel que chacun des sous-espaces de dimension $k$ correspondants $E$ $k$ est $T$ -invariant. Notons $Π$ $k$ la projection dans le sous-espace $E$ $k$ . Pour un vecteur $x$ non nul de norme finie dans $H$ , on peut supposer que $q$ $($ $T$ $)($ $x$ $)$ est non nul, ou $|$ $q$ $($ $T$ $)($ $x$ $)|$ $> 1$ pour fixer des idées. Puisque $q$ $($ $T$ $)$ est un opérateur compact, $($ $q$ $($ $T$ $w$ $))($ $x$ $)$ est infiniment proche de $q$ $($ $T$ $)($ $x$ $)$ et donc on a aussi $|$ $q$ $($ $T$ $w$ $)($ $x$ $)|$ $> 1$ . Soit maintenant $j$ le plus grand indice tel que . Alors l'espace de tous les éléments standards infiniment proches de $E$ $j$ est le sous-espace invariant désiré. $P_{w}\circ T$ $|q(T_{w})\left(\Pi _{j}(x)\right)|<{\tfrac {1}{2}}$

Après avoir lu une préimpression de l'article de Bernstein et Robinson, Paul Halmos a réinterprété leur preuve en utilisant des techniques standard. Les deux articles ont paru dos à dos dans le même numéro du Pacific Journal of Mathematics . Certaines des idées utilisées dans la preuve de Halmos sont réapparues de nombreuses années plus tard dans les propres travaux de Halmos sur les opérateurs quasi-triangulaires.

Autres applications

D'autres résultats ont été reçus dans le sens d'une réinterprétation ou d'une réprobation de résultats connus auparavant. D'un intérêt particulier est la preuve de Teturo Kamae du théorème ergodique individuel ou le traitement de L. van den Dries et Alex Wilkie du théorème de Gromov sur les groupes de croissance polynomiale . L'analyse non standard a été utilisée par Larry Manevitz et Shmuel Weinberger pour prouver un résultat en topologie algébrique.

Les véritables contributions de l'analyse non standard résident cependant dans les concepts et les théorèmes qui utilisent le nouveau langage étendu de la théorie des ensembles non standard. Parmi la liste des nouvelles applications en mathématiques, il y a de nouvelles approches des probabilités, de l'hydrodynamique, de la théorie de la mesure, de l'analyse non lisse et harmonique, etc.

Il existe également des applications de l'analyse non standard à la théorie des processus stochastiques, en particulier les constructions du mouvement brownien sous forme de marches aléatoires . Albeverio et al. ont une excellente introduction à ce domaine de recherche.

Applications au calcul

Comme application à l'enseignement des mathématiques , H. Jerome Keisler a écrit Elementary Calculus: An Infinitesimal Approach . Couvrant le calcul non standard , il développe le calcul différentiel et intégral en utilisant les nombres hyperréels, qui incluent des éléments infinitésimaux. Ces applications de l'analyse non standard dépendent de l'existence de la partie standard d'un $r$ hyperréel fini . La partie standard de $r$ , notée $st(r)$ , est un nombre réel standard infiniment proche de $r$ . L'un des dispositifs de visualisation utilisés par Keisler est celui d'un microscope imaginaire à grossissement infini pour distinguer des points infiniment proches les uns des autres. Le livre de Keisler est maintenant épuisé, mais est disponible gratuitement sur son site Web ; voir les références ci-dessous.

La critique

Malgré l'élégance et l'attrait de certains aspects de l'analyse non standard, des critiques ont également été exprimées, telles que celles d' Errett Bishop , d' Alain Connes et de Paul Halmos , comme documentées dans la critique de l'analyse non standard .

Cadre logique

Etant donné tout ensemble $S$ , la superstructure sur un ensemble $S$ est l' ensemble $V (S)$ défini par les conditions

{\style d'affichage V_{0}(S)=S,}

V_{n+1}(S)=V_{n}(S)\cup \wp (V_{n}(S)),

V(S)=\bigcup _{n\in \mathbf {N} }V_{n}(S).

Ainsi, la superstructure sur $S$ est obtenue en partant de $S$ et en itérant l'opération d'adjonction de l' ensemble de puissance de $S$ et en prenant l'union de la séquence résultante. La superstructure sur les nombres réels comprend une multitude de structures mathématiques : par exemple, elle contient des copies isomorphes de tous les espaces métriques séparables et des espaces vectoriels topologiques métrisables. Pratiquement toutes les mathématiques qui intéressent un analyste se déroulent dans $V (R)$ .

La vue de travail de l'analyse non standard est un ensemble $* R$ et une application $* : V (R) \to V (* R)$ qui satisfait certaines propriétés supplémentaires. Pour formuler ces principes, nous énonçons d'abord quelques définitions.

Une formule a une quantification bornée si et seulement si les seuls quantificateurs qui apparaissent dans la formule ont une plage restreinte sur des ensembles, c'est-à-dire qu'ils sont tous de la forme :

\forall x\in A,\Phi (x,\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})

\exists x\in A,\Phi (x,\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})

Par exemple, la formule

\forall x\in A,\ \exists y\in 2^{B},\quad x\in y

a une quantification bornée, la variable universellement quantifiée $x$ s'étend sur $A$ , la variable existentiellement quantifiée $y$ s'étend sur l'ensemble de puissance de $B$ . D'autre part,

\forall x\in A,\ \exists y,\quad x\in y

n'a pas de quantification bornée car la quantification de y est illimitée.

Ensembles internes

Un ensemble x est interne si et seulement si x est un élément de * A pour un élément A de $V (R)$ . * A lui-même est interne si A appartient à $V (R)$ .

Nous formulons maintenant le cadre logique de base de l'analyse non standard :

Principe d'extension : L'application * est l'identité sur $R$ .
Principe de transfert : Pour toute formule $P (x 1, ..., x n)$ à quantification bornée et à variables libres $x 1, ..., x n$ , et pour tout élément $A 1, ..., A n$ de $V (R)$ , l'équivalence suivante est vérifiée :

{\style d'affichage P(A_{1},\ldots ,A_{n})\iff P(*A_{1},\ldots ,*A_{n})}

Saturation dénombrable : Si { A _k } _{k ∈ N} est une suite décroissante d'ensembles internes non vides, avec k allant sur les nombres naturels, puis

\bigcap _{k}A_{k}\neq \emptyset

On peut montrer à l'aide d'ultraproducts qu'une telle carte * existe. Les éléments de $V (R)$ sont appelés standard . Les éléments de $* R$ sont appelés nombres hyperréels .

Premières conséquences

Le symbole $* N$ désigne les nombres naturels non standard. Par le principe d'extension, il s'agit d'un sur-ensemble de $N$ . L'ensemble $* N - N$ est non vide. Pour voir cela, appliquez une saturation dénombrable à la séquence d'ensembles internes

A_{n}=\{k\in {^{*}\mathbf {N} }:k\geq n\}

La séquence ${A n} n \in N$ a une intersection non vide, ce qui prouve le résultat.

Commençons par quelques définitions : Les hyperréels r , s sont infiniment proches si et seulement si

r\cong s\iff \forall \theta \in \mathbf {R} ^{+},\ |rs|\leq \theta

Un hyperréel $r$ est infinitésimal si et seulement s'il est infiniment proche de 0. Par exemple, si $n$ est un hyperentier , c'est-à-dire un élément de $* N - N$ , alors $1/ n$ est un infinitésimal. Un $r$ hyperréel est limité (ou fini ) si et seulement si sa valeur absolue est dominée par (inférieure à) un entier standard. Les hyperréels limités forment un sous-anneau de $* R$ contenant les réels. Dans cet anneau, les hyperréels infinitésimaux sont un idéal .

L'ensemble des hyperréels limités ou l'ensemble des hyperréels infinitésimaux sont des sous-ensembles externes de $V (* R)$ ; ce que cela signifie en pratique, c'est que la quantification bornée, où la borne est un ensemble interne, ne s'étend jamais sur ces ensembles.

Exemple : Le plan $(x, y)$ avec $x$ et $y$ s'étendant sur $* R$ est interne, et est un modèle de géométrie euclidienne plane. Le plan avec $x$ et $y$ restreint à des valeurs limitées (analogue au plan de Dehn ) est externe, et dans ce plan limité le postulat parallèle est violé. Par exemple, toute ligne passant par le point $(0, 1)$ sur l' axe des $y$ et ayant une pente infinitésimale est parallèle à l' axe des $x$ .

Théorème. Pour tout hyperréel limité $r$ il existe un unique réel standard noté $st(r)$ infiniment proche de $r$ . L'application $st$ est un homomorphisme d'anneau de l'anneau des hyperréels limités à $R$ .

Le mapping st est également externe.

Une façon de penser la partie standard d'un hyperréel est en termes de coupes de Dedekind ; tout hyperréel limité $s$ définit une coupure en considérant la paire d'ensembles $(L, U)$ où $L$ est l'ensemble des rationnels standards $a$ inférieur à $s$ et $U$ est l'ensemble des rationnels standards $b$ supérieur à $s$ . Le nombre réel correspondant à $(L, U)$ peut être vu comme satisfaisant à la condition d'être la partie standard de $s$ .

Une caractérisation intuitive de la continuité est la suivante :

Théorème. Une fonction à valeur réelle $f$ sur l'intervalle $[a, b]$ est continue si et seulement si pour chaque hyperréel $x$ dans l'intervalle $*[a, b]$ , nous avons : $* f (x) ≅ * f (st(x) )$ .

(voir microcontinuité pour plus de détails). De la même manière,

Théorème. Une fonction à valeur réelle $f$ est dérivable à la valeur réelle $x$ si et seulement si pour chaque nombre hyperréel infinitésimal $h$ , la valeur

f'(x)=\operatorname {st} \left({\frac {{^{*}f}(x+h)-{^{*}f}(x)}{h}}\ droit)

existe et est indépendant de $h$ . Dans ce cas $f (x)$ est un nombre réel et est la dérivée de $f$ en $x$ .

$κ$ -saturation

Il est possible d'"améliorer" la saturation en permettant d'intersecter des collections de cardinalité supérieure. Un modèle est $κ$ - saturé si chaque fois est une collection d'ensembles internes avec la propriété d'intersection finie et , $\{A_{i}\}_{i\in I}$ $|I|\leq \kappa$

\bigcap _{i\in I}A_{i}\neq \emptyset

Ceci est utile, par exemple, dans un espace topologique $X$ , où l'on peut vouloir $|2 X |$ -saturation pour s'assurer que l'intersection d'une base de voisinage standard n'est pas vide.

Pour tout cardinal $κ$ , une extension $κ$ -saturée peut être construite.

Voir également

Lectures complémentaires

EE Rosinger, [math/0407178]. Brève introduction à l'analyse non standard . arxiv.org.

Les références

Bibliographie

Crowell, Calcul . Un texte utilisant des infinitésimaux.
Robert Goldblatt (1998) Conférences sur les hyperréels . Introduction à l'analyse non standard. Textes d'études supérieures en mathématiques , 188. Springer-Verlag MR 1643950
Hermoso, Analyse non standard et les hyperréels . Une introduction en douceur.
Hurd, AE et Loeb, PA: Une introduction à l'analyse réelle non standard , Londres, Academic Press, 1985. ISBN 0-12-362440-1
Keisler, H. Jerome Elementary Calculus: Une approche utilisant des infinitésimaux . Comprend un traitement axiomatique des hyperréels, et est disponible gratuitement sous une licence Creative Commons
Keisler, H. Jerome : Une approche infinitésimale de l'analyse stochastique , vol. 297 des Mémoires de l'American Mathematical Society, 1984.
Naranong S., Analyse non standard d'un point de vue modèle-théorique . Une introduction simplifiée dans l'esprit de Robinson.
Robinson, A. Analyse non standard. Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Sér. A 64 = Indag. Math. 23 (1961) 432-440.
Robert, A. Analyse non standard , Wiley, New York 1988. ISBN 0-471-91703-6
Skolem, Th. (1934) "Über die Nicht-charakterisierbarkeit der Zahlenreihe mittels endlich oder abzählbar unendlich vieler Aussagen mit ausschliesslich Zahlenvariablen", Fundamenta Mathematicae 23 : 150-161.
Stroyan, K. Une brève introduction au calcul infinitésimal
Gordon E., Kusraev A. et Kutateladze S. . Analyse infinitésimale
Tao, T. Un epsilon de pièce, II. Pages de la troisième année d'un blog mathématique. Société mathématique américaine, Providence, RI, 2010 (pp. 209-229).

Liens externes

Citations liées à l' analyse non standard sur Wikiquote
Les fantômes des quantités disparues par Lindsay Keegan.

Languages

In other projects

Analyse non standard - Nonstandard analysis

Contenu

introduction

Définitions basiques