Espace vectoriel normé - Normed vector space

Hiérarchie des espaces mathématiques. Les espaces vectoriels normés sont un sur-ensemble d' espaces produits internes et un sous-ensemble d' espaces métriques , qui à son tour est un sous-ensemble d' espaces topologiques .

En mathématiques , un espace vectoriel normé ou espace normé est un espace vectoriel sur les nombres réels ou complexes , sur lequel une norme est définie. Une norme est la formalisation et la généralisation aux espaces vectoriels réels de la notion intuitive de « longueur » dans le monde réel. Une norme est une fonction à valeur réelle définie sur l'espace vectoriel qui est communément notée et a les propriétés suivantes :

  1. Elle est non négative, c'est-à-dire que pour tout vecteur x , on a
  2. Elle est positive sur les vecteurs non nuls, c'est-à-dire
  3. Pour chaque vecteur x , et chaque scalaire a
  4. L' inégalité triangulaire est vraie ; c'est-à-dire que pour tout vecteur x et y , on a

Une norme induit une distance , appelée sa (norme) métrique induite , par la formule

qui font de tout espace vectoriel normé un espace métrique et un espace vectoriel topologique . Si cette métrique est complète alors l'espace normé est un espace de Banach . Chaque espace vectoriel normé peut être "uniquement étendu" à un espace de Banach, ce qui rend les espaces normés intimement liés aux espaces de Banach. Tout espace de Banach est un espace normé mais l'inverse n'est pas vrai. Par exemple, l'ensemble des suites finies de nombres réels peut être normé avec la norme euclidienne , mais il n'est pas complet pour cette norme.

Un espace produit scalaire est un espace vectoriel normé dont la norme est la racine carrée du produit scalaire d'un vecteur et de lui-même. La norme euclidienne d'un espace vectoriel euclidien est un cas particulier qui permet de définir la distance euclidienne par la formule

L'étude des espaces normés et des espaces de Banach est une partie fondamentale de l'analyse fonctionnelle , qui est un sous-domaine majeur des mathématiques.

Définition

Un espace vectoriel normé est un espace vectoriel muni d'une norme . Un espace vectoriel semi-normé est un espace vectoriel muni d'une semi - norme .

Une variation utile de l'inégalité triangulaire est

pour tous les vecteurs x et y .

Cela montre également qu'une norme vectorielle est une fonction continue .

La propriété 2 dépend d'un choix de norme sur le champ de scalaires. Lorsque le champ scalaire est (ou plus généralement un sous-ensemble de ), il s'agit généralement de la valeur absolue ordinaire , mais d'autres choix sont possibles. Par exemple, pour un espace vectoriel sur un pourrait être la norme p- adique .

Structure topologique

Si ( V , ‖·‖) est un espace vectoriel normé, la norme ‖·‖ induit une métrique (une notion de distance ) et donc une topologie sur V . Cette métrique est définie de façon naturelle : la distance entre deux vecteurs u et v est donnée par ‖ u  −  v ‖. Cette topologie est précisément la topologie la plus faible qui rend ‖·‖ continue et qui est compatible avec la structure linéaire de V au sens suivant :

  1. L'addition vectorielle + : V × VV est conjointement continue par rapport à cette topologie. Cela découle directement de l' inégalité triangulaire .
  2. La multiplication scalaire · : K  ×  V  →  V , où K est le champ scalaire sous-jacent de V , est conjointement continue. Cela découle de l'inégalité triangulaire et de l'homogénéité de la norme.

De même, pour tout espace vectoriel semi-normé, nous pouvons définir la distance entre deux vecteurs u et v comme ‖ u  −  v ‖. Cela transforme l'espace semi-normé en un espace pseudométrique (notez que c'est plus faible qu'une métrique) et permet la définition de notions telles que continuité et convergence . Pour le dire plus abstraitement, tout espace vectoriel semi-normé est un espace vectoriel topologique et porte donc une structure topologique qui est induite par la semi-norme.

Intérêt particulier sont complets espaces normés appelés espaces de Banach . Chaque espace vectoriel normé V se trouve comme un sous-espace dense à l'intérieur d'un espace de Banach ; cet espace de Banach est essentiellement défini de manière unique par V et est appelé l' achèvement de V .

Deux normes sur le même espace vectoriel sont dites équivalentes si elles définissent la même topologie . Sur un espace vectoriel de dimension finie, toutes les normes sont équivalentes mais ce n'est pas vrai pour les espaces vectoriels de dimension infinie.

Toutes les normes sur un espace vectoriel de dimension finie sont équivalentes d'un point de vue topologique car elles induisent la même topologie (bien que les espaces métriques résultants n'aient pas besoin d'être les mêmes). Et puisque tout espace euclidien est complet, on peut donc conclure que tous les espaces vectoriels normés de dimension finie sont des espaces de Banach. Un espace vectoriel normé V est localement compact si et seulement si la boule unité B  = { x  : ‖ x ‖ ≤ 1} est compacte , ce qui est le cas si et seulement si V est de dimension finie ; c'est une conséquence du lemme de Riesz . (En fait, un résultat plus général est vrai : un espace vectoriel topologique est localement compact si et seulement s'il est de dimension finie. Le point ici est que nous ne supposons pas que la topologie vient d'une norme.)

La topologie d'un espace vectoriel semi-normé a de nombreuses propriétés intéressantes. Étant donné un système de voisinage autour de 0, nous pouvons construire tous les autres systèmes de voisinage comme

avec

.

De plus, il existe une base de voisinage pour 0 constituée d'ensembles absorbants et convexes . Cette propriété étant très utile en analyse fonctionnelle , les généralisations d'espaces vectoriels normés avec cette propriété sont étudiées sous le nom d' espaces localement convexes .

Des espaces normés

Un espace vectoriel topologique est dit normable s'il existe une norme sur X telle que la métrique canonique induit la topologie sur X . Le théorème suivant est dû à Kolmogorov :

Théorème Un espace vectoriel topologique de Hausdorff est normable si et seulement s'il existe un voisinage convexe borné de von Neumann de .

Un produit d'une famille d'espaces normables est normable si et seulement si seulement un nombre fini d'espaces sont non triviaux (c'est-à-dire ). De plus, le quotient d'un espace normable X par un sous-espace vectoriel fermé C est normable et si en plus la topologie de X est donnée par une norme alors l'application donnée par est une norme bien définie sur X/C qui induit la topologie quotient sur X/C .

Si X est un espace vectoriel topologique localement convexe de Hausdorff , alors les éléments suivants sont équivalents :

  1. X est normable.
  2. X a un voisinage borné de l'origine.
  3. le dual fort de X est normable.
  4. le dual fort de X est métrisable .

De plus, X est de dimension finie si et seulement si est normable ( dénote ici doté de la topologie faible-* ).

Cartes linéaires et espaces doubles

Les applications les plus importantes entre deux espaces vectoriels normés sont les applications linéaires continues . Avec ces cartes, les espaces vectoriels normés forment une catégorie .

La norme est une fonction continue sur son espace vectoriel. Toutes les applications linéaires entre les espaces vectoriels de dimension finie sont également continues.

Une isométrie entre deux espaces vectoriels normés est une application linéaire f qui préserve la norme (c'est-à-dire ‖ f ( v )‖ = ‖ v ‖ pour tous les vecteurs v ). Les isométries sont toujours continues et injectives . Une isométrie surjective entre les espaces vectoriels normés V et W est appelée isomorphisme isométrique , et V et W sont appelés isométriquement isomorphes . Les espaces vectoriels normés isométriquement isomorphes sont identiques à toutes fins pratiques.

Lorsqu'on parle d'espaces vectoriels normés, on augmente la notion d' espace dual pour prendre en compte la norme. Le dual V  ' d'un espace vectoriel normé V est l'espace de toutes les applications linéaires continues de V au champ de base (les complexes ou les réels) — de telles applications linéaires sont appelées « fonctionnelles ». La norme d'une fonctionnelle φ est définie comme le supremum de |φ( v )| où v s'étend sur tous les vecteurs unitaires (c'est-à-dire les vecteurs de norme 1) dans V . Cela transforme V  ' en un espace vectoriel normé. Un théorème important sur les fonctionnelles linéaires continues sur les espaces vectoriels normés est le théorème de Hahn-Banach .

Espaces normés comme espaces quotients d'espaces semi-normés

La définition de nombreux espaces normés (en particulier les espaces de Banach ) fait intervenir une semi-norme définie sur un espace vectoriel puis l'espace normé est défini comme l' espace quotient par le sous-espace des éléments de semi-norme zéro. Par exemple, avec les espaces L p , la fonction définie par

est une semi-norme sur l'espace vectoriel de toutes les fonctions sur lesquelles l' intégrale de Lebesgue du membre de droite est définie et finie. Cependant, la semi-norme est égale à zéro pour toute fonction supportée sur un ensemble de Lebesgue mesure zéro. Ces fonctions forment un sous-espace que nous "quotient", ce qui les rend équivalentes à la fonction zéro.

Espaces de produits finis

Étant donné n espaces semi-normés X i avec des semi-normes q i, nous pouvons définir l' espace produit comme

avec une addition vectorielle définie comme

et multiplication scalaire définie comme

.

On définit une nouvelle fonction q

par exemple comme

.

qui est une semi-norme sur X . La fonction q est une norme si et seulement si tous les q i sont des normes.

Plus généralement, pour chaque réel p ≥1 on a la semi-norme :

Pour chaque p cela définit le même espace topologique.

Un argument simple impliquant l'algèbre linéaire élémentaire montre que les seuls espaces semi-normés de dimension finie sont ceux apparaissant comme l'espace produit d'un espace normé et d'un espace à semi-norme trivial. Par conséquent, bon nombre des exemples et applications les plus intéressants des espaces semi-normés se produisent pour les espaces vectoriels de dimension infinie.

Voir également

Les références

  1. ^ Callier, Frank M. (1991). Théorie des systèmes linéaires . New York : Springer-Verlag. ISBN 0-387-97573-X.
  2. ^ Rudin 1991 , p. 3-4.
  3. ^ Kedlaya, Kiran S. (2010),Équations différentielles p- adiques , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 125 , Cambridge University Press , CiteSeerX  10.1.1.165.270 , ISBN 978-0-521-76879-5, Théorème 1.3.6
  4. ^ un b Schaefer 1999 , p. 41.
  5. ^ Schaefer 1999 , p. 42.
  6. ^ un b Trèves 2006 , pp. 136-149, 195-201, 240-252, 335-390, 420-433.

Bibliographie

Liens externes