Théorème de la cartographie ouverte (analyse fonctionnelle) - Open mapping theorem (functional analysis)

En analyse fonctionnelle , le théorème d'application ouverte , également connu sous le nom de théorème de Banach-Schauder (du nom de Stefan Banach et Juliusz Schauder ), est un résultat fondamental qui indique que si un opérateur linéaire continu entre les espaces de Banach est surjectif, il s'agit d'une application ouverte. .

Forme classique (espace Banach)

Théorème des applications ouvertes pour les espaces de Banach  ( Rudin 1973 , Théorème 2.11)  —  Si X et Y sont des espaces de Banach et A  : XY est un opérateur linéaire continu surjectif, alors A est une application ouverte (c'est-à-dire si U est un ouvert dans X , alors A ( U ) est ouvert dans Y ).

Une preuve utilise le théorème des catégories de Baire et la complétude de X et Y est essentielle au théorème. L'énoncé du théorème n'est plus vrai si l'un ou l'autre des espaces est simplement supposé être un espace normé , mais est vrai si X et Y sont considérés comme des espaces de Fréchet .

Preuve

Supposons A  : XY est un opérateur linéaire continu surjectif. Pour prouver que A est une application ouverte, il suffit de montrer que A applique la boule unité ouverte de X à un voisinage de l'origine de Y .

Laissez alors

Puisque A est surjectif :

Mais Y est Banach donc par le théorème des catégories de Baire

.

C'est-à-dire que nous avons cY et r > 0 tels que

.

Laissez vV , puis

Par continuité d'addition et linéarité, la différence rv satisfait

et par linéarité encore,

où nous avons posé L =2 k / r . Il s'ensuit que pour tout yY et tout > 0 , il existe un certain xX tel que

Notre prochain objectif est de montrer que VA (2 LU ) .

Laissez - yV . D'après (1), il existe un x 1 avec || x 1 || < L et || yAxe 1 || < 1/2 . Définissez une séquence ( x n ) inductivement comme suit. Présumer:

Alors par (1) nous pouvons choisir x n +1 de sorte que :

donc (2) est satisfait pour x n +1 . Laisser

.

D'après la première inégalité de (2), { s n } est une suite de Cauchy , et puisque X est complet, s n converge vers un certain xX . D'après (2), la suite As n tend vers y , et donc Ax = y par continuité de A . Aussi,

Cela montre que y appartient à A (2 LU ) , de sorte que VA (2 LU ) telle que revendiquée. Ainsi l'image A ( U ) de la boule unité en X contient la boule ouverte V /2 L de Y . Par conséquent, A ( U ) est un voisinage de l'origine dans Y , et ceci conclut la preuve.

Résultats associés

Théorème  —  Soit X et Y des espaces de Banach, soit B X et B Y leurs boules unités ouvertes, et soit T  : XY un opérateur linéaire borné. Si δ > 0 alors parmi les quatre énoncés suivants nous avons (avec le même δ )

  1. pour tous ;
  2. ;
  3. ;
  4. Im T = Y (c'est-à-dire que T est surjectif).

De plus, si T est surjectif alors (1) est vrai pour un certain δ > 0

Conséquences

Le théorème de mappage ouvert a plusieurs conséquences importantes :

  • Si A  : XY est un opérateur linéaire continu bijectif entre les espaces de Banach X et Y , alors l' opérateur inverse A −1  : YX est également continu (c'est ce qu'on appelle le théorème inverse borné ).
  • Si A  : XY est un opérateur linéaire entre les espaces de Banach X et Y , et si pour toute suite ( x n ) dans X avec x n → 0 et Ax ny il s'ensuit que y = 0, alors A est continue (le théorème du graphe fermé ).

Généralisations

La convexité locale de X  ou Y  n'est pas indispensable à la démonstration, mais la complétude l'est : le théorème reste vrai dans le cas où X et Y sont des F-espaces . De plus, le théorème peut être combiné avec le théorème des catégories de Baire de la manière suivante :

Théorème  (( Rudin 1991 , Théorème 2.11))  —  Soit X un espace F et Y un espace vectoriel topologique . Si A  : XY est un opérateur linéaire continu, alors soit A ( X ) est un maigre ensemble dans  Y , soit A ( X ) = Y . Dans ce dernier cas, A est une application ouverte et Y est également un F-espace.

De plus, dans ce dernier cas si N est le noyau de A , alors il existe une factorisation canonique de A sous la forme

X /  N est l' espace quotient (également un espace F) de X par le sous- espace fermé N . L'application quotient XX /  N est ouverte, et l'application α est un isomorphisme d' espaces vectoriels topologiques .

Théorème d'application ouvert  ()  —  Si A  : XY est un opérateur linéaire fermé surjectif d'un TVS complet pseudométrisable X dans un espace vectoriel topologique Y et si au moins une des conditions suivantes est satisfaite :

  1. Y est un espace de Baire , ou
  2. X est localement convexe et Y est un espace en tonneau ,

soit A ( X ) est un maigre ensemble dans  Y , soit A ( X ) = Y . alors A est une application ouverte.

Théorème d'application ouvert pour les applications continues  ()  —  Soit A  : XY un opérateur linéaire continu d'un TVS complet pseudométrisable X dans un espace vectoriel topologique de Hausdorff Y . Si Im A est non maigre dans Y alors A  : XY est une application ouverte surjective et Y est une TVS pseudométrisable complète.

Le théorème de mappage ouvert peut également être énoncé comme

Théorème  —  Soit X et Y deux F-espaces. Alors toute application linéaire continue de X sur Y est un homomorphisme TVS , où une application linéaire u  : XY est un homomorphisme d'espace vectoriel topologique (TVS) si l'application induite est un isomorphisme TVS sur son image.

Conséquences

Théorème  —  Si A  : XY est une bijection linéaire continue d'un espace vectoriel topologique (TVS) pseudométrisable complet sur un TVS de Hausdorff qui est un espace de Baire , alors A  : XY est un homéomorphisme (et donc un isomorphisme de TVS) .

Espaces palmés

Les espaces palmés sont une classe d' espaces vectoriels topologiques pour lesquels le théorème de mappage ouvert et le théorème de graphe fermé sont vérifiés .

Voir également

Les références

Bibliographie

Cet article incorpore du matériel de Preuve du théorème de cartographie ouverte sur PlanetMath , qui est sous licence Creative Commons Attribution/Share-Alike License .