Algèbre des opérateurs - Operator algebra

Dans l' analyse fonctionnelle , une branche de mathématiques , une algèbre de l' opérateur est une algèbre de continues opérateurs linéaires sur un espace vectoriel topologique , avec la multiplication donnée par la composition des applications .

Les résultats obtenus dans l'étude des algèbres d'opérateurs sont exprimés en termes algébriques , tandis que les techniques utilisées sont très analytiques . Bien que l'étude des algèbres d'opérateurs soit généralement classée comme une branche de l'analyse fonctionnelle, elle a des applications directes à la théorie des représentations , à la géométrie différentielle , à la mécanique statistique quantique , à l'information quantique et à la théorie quantique des champs .

Aperçu

Les algèbres d'opérateurs peuvent être utilisées pour étudier simultanément des ensembles arbitraires d'opérateurs avec peu de relations algébriques . De ce point de vue, les algèbres d'opérateurs peuvent être considérées comme une généralisation de la théorie spectrale d'un seul opérateur. En général, les algèbres d'opérateurs sont des anneaux non commutatifs .

Une algèbre d'opérateurs doit généralement être fermée dans une topologie d' opérateurs spécifiée à l'intérieur de l'ensemble de l'algèbre d'opérateurs linéaires continus. En particulier, il s'agit d'un ensemble d'opérateurs possédant à la fois des propriétés de fermeture algébriques et topologiques. Dans certaines disciplines, ces propriétés sont axiomisées et les algèbres avec une certaine structure topologique deviennent le sujet de la recherche.

Bien que les algèbres d'opérateurs soient étudiées dans divers contextes (par exemple, les algèbres d' opérateurs pseudo-différentiels agissant sur des espaces de distributions ), le terme algèbre d'opérateurs est généralement utilisé en référence aux algèbres d' opérateurs bornés sur un espace de Banach ou, encore plus spécialement dans référence à des algèbres d'opérateurs sur un espace de Hilbert séparable , doté de la topologie de norme d'opérateur .

Dans le cas des opérateurs sur un espace de Hilbert, l'application hermitienne adjointe sur les opérateurs donne une involution naturelle , qui fournit une structure algébrique supplémentaire qui peut être imposée à l'algèbre. Dans ce contexte, les exemples les mieux étudiés sont les algèbres d'opérateurs auto-adjoints , c'est-à-dire qu'elles sont fermées sous la prise d'adjoints. Ceux - ci comprennent C * -algèbres , algèbres de von Neumann , et AW * -algèbre . Les C*-algèbres peuvent être facilement caractérisées de manière abstraite par une condition liant la norme, l'involution et la multiplication. De telles C*-algèbres définies de manière abstraite peuvent être identifiées à une certaine sous- algèbre fermée de l'algèbre des opérateurs linéaires continus sur un espace de Hilbert approprié. Un résultat similaire est valable pour les algèbres de von Neumann.

Les algèbres commutatives auto-adjointes d'opérateurs peuvent être considérées comme l'algèbre des fonctions continues à valeurs complexes sur un espace localement compact , ou celle des fonctions mesurables sur un espace mesurable standard . Ainsi, les algèbres d'opérateurs généraux sont souvent considérées comme des généralisations non commutatives de ces algèbres, ou la structure de l' espace de base sur lequel les fonctions sont définies. Ce point de vue est élaboré comme la philosophie de la géométrie non commutative , qui essaie d'étudier divers objets non classiques et/ou pathologiques par des algèbres d'opérateurs non commutatives.

Voici des exemples d'algèbres d'opérateurs qui ne sont pas auto-adjointes :

Voir également

Les références

Lectures complémentaires

  • Blackadar, Bruce (2005). Algèbres d'opérateurs : Théorie des C*-Algèbres et Algèbres de von Neumann . Encyclopédie des sciences mathématiques. Springer-Verlag . ISBN 3-540-28486-9.
  • M. Takesaki, Théorie des algèbres d'opérateurs I , Springer, 2001.