Estimation optimale - Optimal estimation

En statistique appliquée, l'estimation optimale est une méthode inverse matricielle régularisée basée sur le théorème de Bayes . Il est très couramment utilisé dans les géosciences , notamment pour les sondages atmosphériques . Un problème de matrice inverse ressemble à ceci:

${\ displaystyle \ mathbf {A} {\ vec {x}} = {\ vec {y}}}$

Le concept essentiel est de transformer la matrice, A , en une probabilité conditionnelle et les variables, et en distributions de probabilité en supposant des statistiques gaussiennes et en utilisant des matrices de covariance déterminées empiriquement. ${\ displaystyle {\ vec {x}}}$${\ displaystyle {\ vec {y}}}$

Dérivation

En règle générale, on s'attend à ce que les statistiques de la plupart des mesures soient gaussiennes . Ainsi par exemple pour , on peut écrire: ${\ displaystyle P ({\ vec {y}} | {\ vec {x}})}$

${\ displaystyle P ({\ vec {y}} | {\ vec {x}}) = {\ frac {1} {(2 \ pi) ^ {mn / 2} | {\ boldsymbol {S_ {y}} } |}} \ exp \ left [- {\ frac {1} {2}} ({\ boldsymbol {A}} {\ vec {x}} - {\ vec {y}}) ^ {T} {\ boldsymbol {S_ {y}}} ^ {- 1} ({\ boldsymbol {A}} {\ vec {x}} - {\ vec {y}}) \ right]}$

où m et n sont les nombres d'éléments dans et respectivement est la matrice à résoudre (le modèle direct linéaire ou linéarisé) et est la matrice de covariance du vecteur . Cela peut être fait de la même manière pour : ${\ displaystyle {\ vec {x}}}$${\ displaystyle {\ vec {y}}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {A}}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {S_ {y}}}}$${\ displaystyle {\ vec {y}}}$${\ displaystyle {\ vec {x}}}$

${\ displaystyle P ({\ vec {x}}) = {\ frac {1} {(2 \ pi) ^ {m / 2} | {\ boldsymbol {S_ {x_ {a}}}} |}} \ exp \ left [- {\ frac {1} {2}} ({\ vec {x}} - {\ widehat {x_ {a}}}) ^ {T} {\ boldsymbol {S_ {x_ {a}} }} ^ {- 1} ({\ vec {x}} - {\ widehat {x_ {a}}}) \ right]}$

On considère ici la distribution dite "a-priori": désigne les valeurs a priori car while est sa matrice de covariance. ${\ displaystyle P ({\ vec {x}})}$${\ displaystyle {\ widehat {x_ {a}}}}$${\ displaystyle {\ vec {x}}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {S_ {x_ {a}}}}}$

La bonne chose à propos des distributions gaussiennes est que seuls deux paramètres sont nécessaires pour les décrire et que tout le problème peut donc être converti à nouveau en matrices. En supposant que cela prend la forme suivante: ${\ displaystyle P ({\ vec {x}} | {\ vec {y}})}$

${\ displaystyle P ({\ vec {x}} | {\ vec {y}}) = {\ frac {1} {(2 \ pi) ^ {mn / 2} | {\ boldsymbol {S_ {x}} } |}} \ exp \ left [- {\ frac {1} {2}} ({\ vec {x}} - {\ widehat {x}}) ^ {T} {\ boldsymbol {S_ {x}} } ^ {- 1} ({\ vec {x}} - {\ widehat {x}}) \ right]}$

${\ displaystyle P ({\ vec {y}})}$peut être négligé car, pour une valeur donnée de , il s'agit simplement d'un terme d'échelle constant. Maintenant , il est possible de résoudre à la fois la valeur attendue de , et pour sa matrice de covariance en assimilant et . Cela produit les équations suivantes: ${\ displaystyle {\ vec {x}}}$${\ displaystyle {\ vec {x}}}$${\ displaystyle {\ widehat {x}}}$${\ displaystyle P ({\ vec {x}} | {\ vec {y}})}$${\ displaystyle P ({\ vec {y}} | {\ vec {x}}) P ({\ vec {x}})}$

${\ displaystyle {\ boldsymbol {S_ {x}}} = ({\ boldsymbol {A}} ^ {T} {\ boldsymbol {S_ {y} ^ {- 1}}} {\ boldsymbol {A}} + { \ boldsymbol {S_ {x_ {a}} ^ {- 1}}}) ^ {- 1}}$

${\ displaystyle {\ widehat {x}} = {\ widehat {x_ {a}}} + {\ boldsymbol {S_ {x}}} {\ boldsymbol {A}} ^ {T} {\ boldsymbol {S_ {y }}} ^ {- 1} ({\ vec {y}} - {\ boldsymbol {A}} {\ widehat {x_ {a}}})}$

Parce que nous utilisons des gaussiens, la valeur attendue est équivalente à la valeur maximale probable, et c'est donc aussi une forme d' estimation du maximum de vraisemblance .

En général, avec une estimation optimale, en plus du vecteur des quantités extraites, une matrice supplémentaire est renvoyée avec la matrice de covariance. Ceci est parfois appelé la matrice de résolution ou le noyau de moyennage et est calculé comme suit:

${\ displaystyle {\ boldsymbol {R}} = ({\ boldsymbol {A}} ^ {T} {\ boldsymbol {S_ {y}}} ^ {- 1} {\ boldsymbol {A}} + {\ boldsymbol { S_ {x_ {a}}}} ^ {- 1}) ^ {- 1} {\ boldsymbol {A}} ^ {T} {\ boldsymbol {S_ {y}}} ^ {- 1} {\ boldsymbol { UNE}}}$

Cela nous indique, pour un élément donné du vecteur récupéré, dans quelle proportion les autres éléments du vecteur sont mélangés. Dans le cas d'une récupération d'informations de profil, il indique généralement la résolution d'altitude pour une altitude donnée. Par exemple, si les vecteurs de résolution pour toutes les altitudes contiennent des éléments non nuls (avec une tolérance numérique) dans leurs quatre voisins les plus proches, alors la résolution d'altitude est seulement un quart de celle de la taille réelle de la grille.

Les références

• Clive D. Rodgers (1976). "Récupération de la température atmosphérique et de la composition à partir des mesures à distance du rayonnement thermique". Examens de la géophysique et de la physique spatiale . 14 (4): 609. doi : 10.1029 / RG014i004p00609 .

• Clive D. Rodgers (2000). Méthodes inverses pour le sondage atmosphérique: théorie et pratique . Monde scientifique.

• Clive D. Rodgers (2002). "Télédétection Atmosphérique: Le Problème Inverse". Actes de la quatrième école de printemps d'Oxford / RAL en observation quantitative de la Terre . Université d'Oxford.