Opérateur d'agrégation de moyenne pondérée ordonnée - Ordered weighted averaging aggregation operator

En mathématiques appliquées - en particulier en logique floue - les opérateurs de moyenne pondérée ordonnée (OWA) fournissent une classe paramétrée d'opérateurs d'agrégation de type moyenne. Ils ont été présentés par Ronald R. Yager . De nombreux opérateurs de moyenne notables tels que max, moyenne arithmétique , médiane et min font partie de cette classe. Ils ont été largement utilisés dans l' intelligence informatique en raison de leur capacité à modéliser des instructions d'agrégation exprimées de manière linguistique.

Définition

Formellement, un opérateur OWA de dimension est un mappage qui a une collection associée de poids se trouvant dans l'intervalle unitaire et additionnant à un et avec ${\ Displaystyle \ n}$${\ displaystyle F: R_ {n} \ rightarrow R}$${\ displaystyle \ W = [w_ {1}, \ ldots, w_ {n}]}$

${\ displaystyle F (a_ {1}, \ ldots, a_ {n}) = \ sum _ {j = 1} ^ {n} w_ {j} b_ {j}}$

où est le j ^ème plus grand des . ${\ displaystyle b_ {j}}$${\ displaystyle a_ {i}}$

En choisissant différents W, on peut implémenter différents opérateurs d'agrégation. L'opérateur OWA est un opérateur non linéaire résultant du processus de détermination de b _j .

Propriétés

L'opérateur OWA est un opérateur moyen. Il est borné , monotone , symétrique et idempotent , comme défini ci-dessous.

Délimité	${\ displaystyle \ min (a_ {1}, \ ldots, a_ {n}) \ leq F (a_ {1}, \ ldots, a_ {n}) \ leq \ max (a_ {1}, \ ldots, a_ {n})}$
Monotone	${\ displaystyle F (a_ {1}, \ ldots, a_ {n}) \ geq F (g_ {1}, \ ldots, g_ {n})}$si pour${\ displaystyle a_ {i} \ geq g_ {i}}$${\ displaystyle \ i = 1,2, \ ldots, n}$
Symétrique	${\ displaystyle F (a_ {1}, \ ldots, a_ {n}) = F (a _ {\ boldsymbol {\ pi (1)}}, \ ldots, a _ {\ boldsymbol {\ pi (n)}}) }$si est une carte de permutation ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ pi}}}$
Idempotent	${\ displaystyle \ F (a_ {1}, \ ldots, a_ {n}) = a}$ je tombe ${\ displaystyle \ a_ {i} = a}$

Opérateurs OWA notables

${\ displaystyle \ F (a_ {1}, \ ldots, a_ {n}) = \ max (a_ {1}, \ ldots, a_ {n})}$si et pour${\ displaystyle \ w_ {1} = 1}$${\ displaystyle \ w_ {j} = 0}$${\ displaystyle j \ neq 1}$

${\ displaystyle \ F (a_ {1}, \ ldots, a_ {n}) = \ min (a_ {1}, \ ldots, a_ {n})}$si et pour${\ displaystyle \ w_ {n} = 1}$${\ displaystyle \ w_ {j} = 0}$${\ displaystyle j \ neq n}$

${\ displaystyle \ F (a_ {1}, \ ldots, a_ {n}) = \ mathrm {average} (a_ {1}, \ ldots, a_ {n})}$si pour tous${\ displaystyle \ w_ {j} = {\ frac {1} {n}}}$${\ displaystyle j \ in [1, n]}$

Caractéristiques caractéristiques

Deux fonctionnalités ont été utilisées pour caractériser les opérateurs OWA. Le premier est le caractère attitudinal (orness).

Ceci est défini comme

${\ displaystyle AC (W) = {\ frac {1} {n-1}} \ sum _ {j = 1} ^ {n} (nj) w_ {j}.}$

On le sait . ${\ displaystyle AC (W) \ in [0,1]}$

De plus A  -  C (max) = 1, A - C (ave) = A - C (med) = 0.5 et A - C (min) = 0. Ainsi le A - C passe de 1 à 0 au fur et à mesure qu'on passe de Agrégation Max à Min. Le caractère attitudinal caractérise la similitude de l'agrégation avec l'opération OR (OR est défini comme le Max).

La deuxième caractéristique est la dispersion. Ceci défini comme

${\ displaystyle H (W) = - \ sum _ {j = 1} ^ {n} w_ {j} \ ln (w_ {j}).}$

Une autre définition est La dispersion caractérise la façon dont les arguments sont utilisés àĚ ${\ displaystyle E (W) = \ sum _ {j = 1} ^ {n} w_ {j} ^ {2}.}$

Opérateurs d'agrégation OWA de type 1

Les opérateurs OWA de Yager ci-dessus sont utilisés pour agréger les valeurs nettes. Peut-on agréger des ensembles flous dans le mécanisme OWA? Les opérateurs OWA de type 1 ont été proposés à cet effet. Ainsi, les opérateurs OWA de type 1 nous fournissent une nouvelle technique pour agréger directement des informations incertaines avec des poids incertains via le mécanisme OWA dans la prise de décision souple et l'exploration de données, où ces objets incertains sont modélisés par des ensembles flous.

L' opérateur OWA de type 1 est défini selon les coupes alpha des ensembles flous comme suit:

Etant donné les n poids linguistiques sous forme d'ensembles flous définis sur le domaine du discours , alors pour chacun , un opérateur OWA -niveau type-1 avec -niveaux ensembles pour agréger les -cuts d'ensembles flous est donné comme ${\ displaystyle \ left \ {{W ^ {i}} \ right \} _ {i = 1} ^ {n}}$${\ displaystyle U = [0, \; \; 1]}$${\ displaystyle \ alpha \ in [0, \; 1]}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ left \ {{W _ {\ alpha} ^ {i}} \ right \} _ {i = 1} ^ {n}}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ left \ {{A ^ {i}} \ right \} _ {i = 1} ^ {n}}$

${\ displaystyle \ Phi _ {\ alpha} \ left ({A _ {\ alpha} ^ {1}, \ ldots, A _ {\ alpha} ^ {n}} \ right) = \ left \ {{{\ frac { \ sum \ limits _ {i = 1} ^ {n} {w_ {i} a _ {\ sigma (i)}}} {\ sum \ limits _ {i = 1} ^ {n} {w_ {i}} }} \ left | {w_ {i} \ in W _ {\ alpha} ^ {i}, \; a_ {i}} \ right. \ in A _ {\ alpha} ^ {i}, \; i = 1, \ ldots, n} \ right \}}$

où , et est une fonction de permutation telle que , c'est-à-dire, est le ème plus grand élément de l'ensemble . ${\ displaystyle W _ {\ alpha} ^ {i} = \ {w | \ mu _ {W_ {i}} (w) \ geq \ alpha \}, A _ {\ alpha} ^ {i} = \ {x | \ mu _ {A_ {i}} (x) \ geq \ alpha \}}$${\ displaystyle \ sigma: \ {\; 1, \ ldots, n \; \} \ à \ {\; 1, \ ldots, n \; \}}$${\ displaystyle a _ {\ sigma (i)} \ geq a _ {\ sigma (i + 1)}, \; \ forall \; i = 1, \ ldots, n-1}$${\ displaystyle a _ {\ sigma (i)}}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle \ left \ {{a_ {1}, \ ldots, a_ {n}} \ right \}}$

Le calcul de la sortie OWA de type 1 est implémenté en calculant les extrémités gauche et droite des intervalles : et où . Alors la fonction d'appartenance de l'ensemble flou d'agrégation résultant est: ${\ displaystyle \ Phi _ {\ alpha} \ left ({A _ {\ alpha} ^ {1}, \ ldots, A _ {\ alpha} ^ {n}} \ right)}$${\ displaystyle \ Phi _ {\ alpha} \ left ({A _ {\ alpha} ^ {1}, \ ldots, A _ {\ alpha} ^ {n}} \ right) _ {-}}$${\ displaystyle \ Phi _ {\ alpha} \ left ({A _ {\ alpha} ^ {1}, \ ldots, A _ {\ alpha} ^ {n}} \ right) _ {+},}$${\ displaystyle A _ {\ alpha} ^ {i} = [A _ {\ alpha -} ^ {i}, A _ {\ alpha +} ^ {i}], W _ {\ alpha} ^ {i} = [W_ { \ alpha -} ^ {i}, W _ {\ alpha +} ^ {i}]}$

${\ displaystyle \ mu _ {G} (x) = \ mathop {\ vee} _ {\ alpha: x \ in \ Phi _ {\ alpha} \ left ({A _ {\ alpha} ^ {1}, \ cdots , A _ {\ alpha} ^ {n}} \ right) _ {\ alpha}} \ alpha}$

Pour les extrémités de gauche, nous devons résoudre le problème de programmation suivant:

${\ displaystyle \ Phi _ {\ alpha} \ left ({A _ {\ alpha} ^ {1}, \ cdots, A _ {\ alpha} ^ {n}} \ right) _ {-} = \ min \ limites _ {\ begin {array} {l} W _ {\ alpha -} ^ {i} \ leq w_ {i} \ leq W _ {\ alpha +} ^ {i} A _ {\ alpha -} ^ {i} \ leq a_ {i} \ leq A _ {\ alpha +} ^ {i} \ end {array}} \ sum \ limits _ {i = 1} ^ {n} {w_ {i} a _ {\ sigma (i)} / \ somme \ limites _ {i = 1} ^ {n} {w_ {i}}}}$

tandis que pour les bons points de terminaison, nous devons résoudre le problème de programmation suivant:

${\ displaystyle \ Phi _ {\ alpha} \ left ({A _ {\ alpha} ^ {1}, \ cdots, A _ {\ alpha} ^ {n}} \ right) _ {+} = \ max \ limits _ {\ begin {array} {l} W _ {\ alpha -} ^ {i} \ leq w_ {i} \ leq W _ {\ alpha +} ^ {i} A _ {\ alpha -} ^ {i} \ leq a_ {i} \ leq A _ {\ alpha +} ^ {i} \ end {array}} \ sum \ limits _ {i = 1} ^ {n} {w_ {i} a _ {\ sigma (i)} / \ somme \ limites _ {i = 1} ^ {n} {w_ {i}}}}$

Cet article a présenté une méthode rapide pour résoudre deux problèmes de programmation afin que l'opération d'agrégation OWA de type 1 puisse être effectuée efficacement.

Les références

• Yager, RR, «Sur les opérateurs d'agrégation de moyenne pondérée ordonnée dans la prise de décision multicritères», IEEE Transactions on Systems, Man and Cybernetics 18, 183-190, 1988.
• Yager, RR et Kacprzyk, J., The Ordered Weighted Averaging Operators: Theory and Applications , Kluwer: Norwell, MA, 1997.
• Liu, X., «La solution d'équivalence des problèmes de disparité minimax et de variance minimale pour les opérateurs OWA», International Journal of Approximate Reasoning 45, 68–81, 2007.
• Torra, V. et Narukawa, Y., Modeling Decisions: Information Fusion and Aggregation Operators, Springer: Berlin, 2007.
• Majlender, P., «Opérateurs OWA avec entropie de Rényi maximale», Fuzzy Sets and Systems 155, 340–360, 2005.
• Szekely, GJ et Buczolich, Z., "Quand une moyenne pondérée d'éléments d'échantillonnage ordonnés est-elle un estimateur du maximum de vraisemblance du paramètre de localisation?" Advances in Applied Mathematics 10, 1989, 439–456.
• S.-M. Zhou, F. Chiclana, RI John et JM Garibaldi, "Opérateurs OWA de type 1 pour agréger des informations incertaines avec des poids incertains induits par des quantificateurs linguistiques de type 2", Fuzzy Sets and Systems, Vol.159, No.24, pp. 3281 –3296, 2008 [1]
• S.-M. Zhou, F. Chiclana, RI John et JM Garibaldi, «Agrégation au niveau alpha: une approche pratique de l'opération OWA de type 1 pour agréger des informations incertaines avec des applications aux traitements du cancer du sein», IEEE Transactions on Knowledge and Data Engineering, vol. 23, n ° 10, 2011, pp. 1455–1468. [2]
• S.-M. Zhou, RI John, F. Chiclana et JM Garibaldi, «Sur l'agrégation des informations incertaines par les opérateurs OWA de type 2 pour une prise de décision souple», International Journal of Intelligent Systems, vol. 25, n ° 6, pp. 540–558, 2010. [3]