Orthogonalisation - Orthogonalization
En algèbre linéaire , l' orthogonalisation est le processus consistant à trouver un ensemble de vecteurs orthogonaux qui s'étendent sur un sous-espace particulier . Formellement, en partant d'un ensemble de vecteurs linéairement indépendants { v 1 , ... , v k } dans un espace produit interne (le plus souvent l' espace euclidien R n ), l'orthogonalisation aboutit à un ensemble de vecteurs orthogonaux { u 1 , .. ., u k } qui génèrent le même sous - espace que les vecteurs v 1 , ..., v k . Chaque vecteur du nouvel ensemble est orthogonal à tous les autres vecteurs du nouvel ensemble ; et le nouvel ensemble et l'ancien ensemble ont la même portée linéaire .
De plus, si nous voulons que les vecteurs résultants soient tous des vecteurs unitaires , nous normalisons chaque vecteur et la procédure est appelée orthonormalisation .
L'orthogonalisation est également possible par rapport à toute forme bilinéaire symétrique (pas nécessairement un produit interne, pas nécessairement sur des nombres réels ), mais les algorithmes standard peuvent rencontrer une division par zéro dans ce cadre plus général.
Algorithmes d'orthogonalisation
Les méthodes pour effectuer l'orthogonalisation comprennent :
- Processus de Gram-Schmidt , qui utilise la projection
- Transformation de chef de famille , qui utilise la réflexion
- Rotation donnée
- Orthogonalisation symétrique, qui utilise la décomposition en valeurs singulières
Lors de l'exécution de l'orthogonalisation sur un ordinateur, la transformation de Householder est généralement préférée au processus de Gram-Schmidt car elle est plus stable numériquement , c'est-à-dire que les erreurs d'arrondi ont tendance à avoir des effets moins graves.
D'autre part, le processus de Gram-Schmidt produit le jième vecteur orthogonalisé après la jième itération, tandis que l'orthogonalisation utilisant les réflexions de Householder ne produit tous les vecteurs qu'à la fin. Cela rend seul le processus de Gram-Schmidt applicable pour les méthodes itératives comme l' itération d'Arnoldi .
La rotation de Givens est plus facilement parallélisée que les transformations de Householder.
L'orthogonalisation symétrique a été formulée par Per-Olov Löwdin .
Orthogonalisation locale
Pour compenser la perte de signal utile dans les approches traditionnelles d'atténuation du bruit en raison d'une sélection de paramètres incorrecte ou de l'inadéquation des hypothèses de débruitage, un opérateur de pondération peut être appliqué sur la section initialement débruitée pour récupérer le signal utile de la section de bruit initiale. Le nouveau processus de débruitage est appelé orthogonalisation locale du signal et du bruit. Il a un large éventail d'applications dans de nombreux domaines du traitement du signal et de l'exploration sismique.
Voir également
Les références
- ^ Löwdin, Per-Olov (1970). "Sur le problème de non-orthogonalité" . Avancées de la chimie quantique . 5 . Elsevier. p. 185–199.
- ^ Chen, Yangkang; Fomel, Sergueï (2015). « Atténuation aléatoire du bruit à l'aide de l'orthogonalisation locale du signal et du bruit ». Géophysique . 80 (6) : WD1–WD9. doi : 10.1190/GEO2014-0227.1 .