Paul Cohen - Paul Cohen

Paul J. Cohen
Née ( 1934-04-02 )2 avril 1934
Décédés 23 mars 2007 (2007-03-23)(72 ans)
Stanford, Californie , États-Unis
mère nourricière Université de Chicago ( MS , PhD )
Connu pour Cohen forçant l'
hypothèse du continu
Récompenses Prix ​​Bôcher (1964)
Médaille Fields (1966)
Médaille nationale des sciences (1967)
Carrière scientifique
Des champs Mathématiques
Établissements Université de Stanford
Conseiller de doctorat Antoni Zygmund
Doctorants Pierre Sarnak
Influences Georg Cantor , Kurt Gödel

Paul Joseph Cohen (2 avril 1934 - 23 mars 2007) était un mathématicien américain . Il est surtout connu pour ses preuves que l' hypothèse du continu et l' axiome du choix sont indépendants de la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel , pour laquelle il a reçu une médaille Fields .

Première vie et éducation

Cohen est né à Long Branch, New Jersey , dans une famille juive qui avait immigré aux États-Unis de ce qui est maintenant la Pologne ; il a grandi à Brooklyn . Il est diplômé en 1950, à l'âge de 16 ans, de la Stuyvesant High School à New York .

Cohen a ensuite étudié au Brooklyn College de 1950 à 1953, mais il est parti sans avoir obtenu son baccalauréat lorsqu'il a appris qu'il pouvait commencer ses études supérieures à l' Université de Chicago avec seulement deux ans d'université. À Chicago , Cohen a obtenu sa maîtrise en mathématiques en 1954 et son doctorat en philosophie en 1958, sous la direction d' Antoni Zygmund . Le titre de sa thèse de doctorat était Topics in the Theory of Unicité of Trigonometrical Series .

En 1957, avant l'obtention de son doctorat, Cohen a été nommé instructeur de mathématiques à l'Université de Rochester pendant un an. Il a ensuite passé l'année universitaire 1958-1959 au Massachusetts Institute of Technology avant de passer 1959-1961 en tant que boursier à l'Institute for Advanced Study de Princeton. Ce sont des années au cours desquelles Cohen a fait un certain nombre de percées mathématiques importantes. Dans Factorization in group algebras (1959), il a montré que toute fonction intégrable sur un groupe localement compact est la convolution de deux de ces fonctions, résolvant un problème posé par Walter Rudin . Dans Sur une conjecture de Littlewood et des mesures idempotentes (1960), Cohen a fait une percée significative dans la résolution de la conjecture de Littlewood.

Le 2 juin 1995, Cohen a reçu un doctorat honorifique de la Faculté des sciences et technologies de l'Université d'Uppsala , en Suède .

Carrière

Cohen est connu pour avoir développé une technique mathématique appelée forçage , qu'il a utilisée pour prouver que ni l' hypothèse du continu (CH) ni l' axiome de choix ne peuvent être prouvés à partir des axiomes standard de Zermelo-Fraenkel (ZF) de la théorie des ensembles . En conjonction avec les travaux antérieurs de Gödel , cela a montré que ces deux déclarations sont logiquement indépendantes des axiomes ZF : ces déclarations ne peuvent être ni prouvées ni réfutées à partir de ces axiomes. En ce sens, l'hypothèse du continu est indécidable et c'est l'exemple le plus connu d'un énoncé naturel indépendant des axiomes ZF standard de la théorie des ensembles.

Pour son résultat sur l'hypothèse du continuum, Cohen a remporté la médaille Fields en mathématiques en 1966, ainsi que la médaille nationale des sciences en 1967. La médaille Fields que Cohen a remportée continue d'être la seule médaille Fields à être décernée pour un travail en logique mathématique. , à partir de 2018.

Outre ses travaux sur la théorie des ensembles, Cohen a également apporté de nombreuses contributions précieuses à l'analyse. Il a reçu le prix commémoratif Bôcher en analyse mathématique en 1964 pour son article « Sur une conjecture de Littlewood et des mesures idempotentes », et prête son nom au théorème de factorisation de Cohen-Hewitt .

Cohen était professeur titulaire de mathématiques à l'université de Stanford . Il a été conférencier invité à l' ICM en 1962 à Stockholm et en 1966 à Moscou.

Angus MacIntyre de l' Université Queen Mary de Londres a déclaré à propos de Cohen: "Il était d'une intelligence redoutable, et il aurait fallu être naïf ou exceptionnellement altruiste pour soumettre son" problème le plus difficile "au Paul que j'ai connu dans les années 60." Il a ensuite comparé Cohen à Kurt Gödel , en déclarant: "Rien de plus dramatique que leur travail ne s'est produit dans l'histoire du sujet." Gödel lui-même écrivit une lettre à Cohen en 1963, dont un brouillon déclarait : « Laissez-moi répéter que c'est vraiment un plaisir de lire votre preuve de l'indépendance de l'hypothèse continue. Je pense que à tous égards essentiels, vous avez donné la meilleure preuve possible et cela n'arrive pas fréquemment. La lecture de votre preuve a eu un effet tout aussi agréable sur moi que de voir une très bonne pièce."

Hypothèse du continu

Alors qu'il étudiait l'hypothèse du continu, Cohen aurait déclaré en 1985 qu'il avait "le sentiment que les gens pensaient que le problème était sans espoir, puisqu'il n'y avait pas de nouvelle façon de construire des modèles de théorie des ensembles. En effet, ils pensaient qu'il fallait être légèrement fou même de penser au problème."

"Un point de vue qui, selon l'auteur [Cohen] pourrait éventuellement être accepté, est que CH est manifestement faux. La principale raison pour laquelle on accepte l' axiome de l'infini est probablement que nous pensons qu'il est absurde de penser que le processus d'ajout d'un seul ensemble à la fois peut épuiser l'univers entier. De même avec les axiomes supérieurs de l'infini. Maintenant est la cardinalité de l'ensemble des ordinaux dénombrables, et c'est simplement une façon spéciale et la plus simple de générer un cardinal supérieur. L'ensemble [le continuum ] est, en revanche, généré par un principe tout à fait nouveau et plus puissant, à savoir l' axiome du jeu de puissance . Il est déraisonnable d'espérer que toute description d'un cardinal plus grand qui tente de construire que le cardinal d'idées découlant de l' axiome de remplacement ne peut jamais atteindre .

Ainsi est supérieur à , où , etc. Ce point de vue est considéré comme un ensemble incroyablement riche qui nous est donné par un nouvel axiome audacieux, qui ne peut jamais être approché par un processus de construction fragmentaire. Peut-être que les générations futures verront le problème plus clairement et s'exprimeront avec plus d'éloquence."

Un "produit durable et puissant" des travaux de Cohen sur l'hypothèse du continuum, et celui qui a été utilisé par "d'innombrables mathématiciens" est connu sous le nom de "forçage" , et il est utilisé pour construire des modèles mathématiques pour tester une hypothèse donnée pour la vérité ou la fausseté .

Peu de temps avant sa mort, Cohen a donné une conférence décrivant sa solution au problème de l'hypothèse du continu lors de la conférence du centenaire de Gödel en 2006 à Vienne .

Décès

Cohen et sa femme, Christina (née Karls), ont eu trois fils. Cohen est décédé le 23 mars 2007 à Stanford, en Californie, des suites d' une maladie pulmonaire .

Publications sélectionnées

  • Cohen, Paul J. (décembre 1963). "L'indépendance de l'hypothèse du continu" . Actes de l'Académie nationale des sciences des États-Unis d'Amérique . 50 (6) : 1143–1148. Bibcode : 1963PNAS ... 50.1143C . doi : 10.1073/pnas.50.6.1143 . PMC  221287 . PMID  16578557 .
  • Cohen, Paul J. (janvier 1964). "L'indépendance de l'hypothèse du continu, II" . Actes de l'Académie nationale des sciences des États-Unis d'Amérique . 51 (1) : 105-110. Bibcode : 1964PNAS ... 51..105C . doi : 10.1073/pnas.51.1.105 . PMC  300611 . PMID  16591132 .

Voir également

Les références

Lectures complémentaires

Liens externes