Pentagone - Pentagon

Pentagone
Pentagone équilatéral.SVG
Un pentagone équilatéral, c'est-à-dire un pentagone dont les cinq côtés ont tous la même longueur
Arêtes et sommets 5
Angle interne ( degrés ) 108° (si équiangulaire, y compris régulier)

En géométrie , un pentagone (du grec πέντε pente qui signifie cinq et γωνία gonia sens angle ) est tout à cinq côtés polygone ou 5-gon. La somme des angles internes d'un pentagone simple est de 540°.

Un pentagone peut être simple ou auto-sécant . Un pentagone régulier qui se coupe (ou pentagone en étoile ) s'appelle un pentagramme .

Pentagones réguliers

Pentagone régulier
Polygone régulier 5 annoté.svg
Un pentagone régulier
Taper Polygone régulier
Arêtes et sommets 5
Symbole Schläfli {5}
Diagramme de Coxeter Nœud CDel 1.pngCDel 5.pngCDel node.png
Groupe Symétrie Dièdre (D 5 ), ordre 2×5
Angle interne ( degrés ) 108°
Double polygone Soi
Propriétés Convexe , cyclique , équilatéral , isogonal , isotoxal
Côté ( ), rayon du cercle circonscrit ( ), rayon du cercle inscrit ( ), hauteur ( ) , largeur/diagonale ( )

Un pentagone régulier a le symbole de Schläfli {5} et des angles intérieurs de 108°.

Un pentagone régulier a cinq axes de symétrie de réflexion et de symétrie de rotation d'ordre 5 (par 72°, 144°, 216° et 288°). Les diagonales d'un pentagone régulier convexe sont dans le nombre d' or de ses côtés. Sa hauteur (distance d'un côté au sommet opposé) et sa largeur (distance entre les deux points les plus éloignés les uns des autres, qui est égale à la longueur de la diagonale) sont données par

R est le rayon du cercle circonscrit .

L'aire d'un pentagone régulier convexe de côté t est donnée par

Un pentagramme ou pentangle est un pentagone en étoile régulier . Son symbole Schläfli est {5/2}. Ses côtés forment les diagonales d'un pentagone convexe régulier - dans cet arrangement, les côtés des deux pentagones sont dans le nombre d' or .

Lorsqu'un pentagone régulier est circonscrit par un cercle de rayon R , sa longueur d'arête t est donnée par l'expression

et sa superficie est

puisque l'aire du cercle circonscrit est le pentagone régulier remplit environ 0,7568 de son cercle circonscrit.

Dérivation de la formule de surface

L'aire d'un polygone régulier est :

P est le périmètre du polygone, et r est l' inrayus (équivalent à l' apothème ). La substitution des valeurs du pentagone régulier pour P et r donne la formule

avec la longueur de côté t .

rayon d'action

Semblable à tout polygone convexe régulier, le pentagone convexe régulier a un cercle inscrit . L' apothème , qui est le rayon r du cercle inscrit, d'un pentagone régulier est lié à la longueur du côté t par

Accords du cercle circonscrit aux sommets

Comme tout polygone convexe régulier, le pentagone convexe régulier a un cercle circonscrit . Pour un pentagone régulier avec des sommets successifs A, B, C, D, E, si P est un point quelconque du cercle circonscrit entre les points B et C, alors PA + PD = PB + PC + PE.

Point dans le plan

Pour un point arbitraire dans le plan d'un pentagone régulier de circonférence , dont les distances au centre de gravité du pentagone régulier et de ses cinq sommets sont et respectivement, nous avons

Si sont les distances des sommets d'un pentagone régulier à n'importe quel point de son cercle circonscrit, alors

Construction d'un pentagone régulier

Le pentagone régulier est constructible au compas et à la règle , car 5 est un nombre premier de Fermat . Diverses méthodes sont connues pour construire un pentagone régulier. Certains sont discutés ci-dessous.

La méthode de Richmond

Pentagone de Richmond 1.PNG
Pentagone de Richmond 2.PNG

Une méthode pour construire un pentagone régulier dans un cercle donné est décrite par Richmond et discutée plus en détail dans Cromwell's Polyhedra .

Le panneau supérieur montre la construction utilisée dans la méthode de Richmond pour créer le côté du pentagone inscrit. Le cercle définissant le pentagone a un rayon unitaire. Son centre est situé au point C et un milieu M est marqué à mi-chemin le long de son rayon. Ce point est joint à la périphérie verticalement au-dessus du centre au point D . L'angle CMD est coupé en deux et la bissectrice coupe l'axe vertical au point Q . Une ligne horizontale passant par Q coupe le cercle au point P et la corde PD est le côté requis du pentagone inscrit.

Pour déterminer la longueur de ce côté, les deux triangles rectangles DCM et QCM sont représentés sous le cercle. En utilisant le théorème de Pythagore et les deux côtés, l'hypoténuse du plus grand triangle se trouve sous la forme . Le côté h du plus petit triangle se trouve alors en utilisant la formule du demi-angle :

où le cosinus et le sinus de ϕ sont connus à partir du plus grand triangle. Le résultat est:

Avec ce côté connu, l'attention se tourne vers le diagramme inférieur pour trouver le côté s du pentagone régulier. Tout d'abord, le côté a du triangle de droite est trouvé en utilisant à nouveau le théorème de Pythagore :

Alors s est trouvé en utilisant le théorème de Pythagore et le triangle de gauche comme :

Le côté s est donc :

ce qui est un résultat bien établi.

cercles de Carlyle

Méthode utilisant les cercles de Carlyle

Le cercle de Carlyle a été inventé comme méthode géométrique pour trouver les racines d'une équation quadratique . Cette méthodologie conduit à une procédure de construction d'un pentagone régulier. Les étapes sont les suivantes:

  1. Tracez un cercle dans lequel inscrire le pentagone et marquez le point central O .
  2. Tracez une ligne horizontale passant par le centre du cercle. Marquez l'intersection gauche avec le cercle comme point B .
  3. Construisez une ligne verticale passant par le centre. Marquez une intersection avec le cercle comme point A .
  4. Construire le point M comme le milieu de O et B .
  5. Tracez un cercle de centre M passant par le point A . Marquez son intersection avec la ligne horizontale (à l'intérieur du cercle d'origine) comme le point W et son intersection à l'extérieur du cercle comme le point V .
  6. Tracez un cercle de rayon OA et de centre W . Il coupe le cercle d'origine à deux des sommets du pentagone.
  7. Tracez un cercle de rayon OA et de centre V . Il coupe le cercle d'origine à deux des sommets du pentagone.
  8. Le cinquième sommet est l'intersection la plus à droite de la ligne horizontale avec le cercle d'origine.

Les étapes 6 à 8 sont équivalentes à la version suivante, illustrée dans l'animation :

6a. Construire le point F comme milieu de O et W.
7a. Construisez une ligne verticale passant par F. Elle coupe le cercle d'origine à deux des sommets du pentagone. Le troisième sommet est l'intersection la plus à droite de la ligne horizontale avec le cercle d'origine.
8a. Construisez les deux autres sommets à l'aide de la boussole et de la longueur du sommet trouvé à l'étape 7a.

Utilisation de la trigonométrie et du théorème de Pythagore

Utiliser la trigonométrie et le théorème de Pythagore pour construire un pentagone régulier.
La construction
  1. Notons tout d'abord qu'un pentagone régulier peut être divisé en 10 triangles congrus comme indiqué dans l' Observation . Aussi, cos 36° = . ??
  2. Dans l' étape 1 , on utilise quatre unités (en bleu) et un angle droit de construire un segment de longueur 1 + 5 , notamment par la création d' un 1-2- 5 triangle rectangle, puis l' extension de la hypoténuse de 5 par un longueur de 1. Nous coupons ensuite ce segment en deux - puis à nouveau en deux - pour créer un segment de longueur (indiqué en rouge.)
  3. À l' étape 2 , nous construisons deux cercles concentriques centrés en O avec des rayons de longueur 1 et de longueur . Nous plaçons ensuite P arbitrairement sur le plus petit cercle, comme indiqué. En construisant une droite perpendiculaire à OP passant par P , on construit le premier côté du pentagone en utilisant les points créés à l'intersection de la tangente et du cercle unité. Copier cette longueur quatre fois le long du bord extérieur des cercles unitaires nous donne notre pentagone régulier.

† Preuve que cos 36° =

(en utilisant la formule d'addition d'angle pour le cosinus )
(en utilisant des formules à double et demi-angle )
Soit u = cos 36°. Tout d'abord, notez que 0 < u < 1 (ce qui nous aidera à simplifier notre travail). Maintenant,

Cela découle rapidement de la connaissance que deux fois le sinus de 18 degrés est le nombre d'or réciproque, que nous connaissons géométriquement du triangle avec des angles de 72,72,36 degrés. De la trigonométrie, nous savons que le cosinus de deux fois 18 degrés est 1 moins deux fois le carré du sinus de 18 degrés, et cela se réduit au résultat souhaité avec l'arithmétique quadratique simple.

La longueur du côté est donnée

Le pentagone régulier selon le nombre d' or , divisant un segment de ligne par division extérieure

Pentagone à une longueur de côté donnée
  1. Tracez un segment AB dont la longueur est le côté donné du pentagone.
  2. Prolongez le segment BA du point A aux trois quarts environ du segment BA .
  3. Tracez un arc de cercle, centre B , de rayon AB .
  4. Tracez un arc de cercle, centre A , de rayon AB ; il se produit l'intersection F .
  5. Construire une perpendiculaire au segment AB passant par le point F ; il se produit l'intersection G .
  6. Tracez une ligne parallèle au segment FG du point A à l'arc de cercle autour du point A ; il se produit l'intersection H .
  7. Tracez un arc de cercle, centre G de rayon GH jusqu'au prolongement du segment AB ; il se produit l'intersection J .
  8. Tracez un arc de cercle, centre du point B de rayon BJ à la perpendiculaire au point G ; il se produit l'intersection D sur la perpendiculaire, et l'intersection E avec l'arc de cercle qui s'est créé autour du point A .
  9. Tracez un arc de cercle, point central D , de rayon BA jusqu'à ce que cet arc de cercle coupe l'autre arc de cercle autour du point B ; il se produit l'intersection C .
  10. Reliez les points BCDEA . Cela donne le pentagone.
Le nombre d'or

La méthode d'Euclide

Méthode d'Euclide pour le pentagone à un cercle donné, utilisation du triangle d'or , animation 1 min 39 s

Un pentagone régulier est constructible à l' aide d'un compas et d'une règle , soit en en inscrivant un dans un cercle donné, soit en en construisant un sur un bord donné. Ce processus a été décrit par Euclide dans ses Éléments vers 300 av.

Utiliser simplement un rapporteur (pas une construction classique)

Une méthode directe utilisant des degrés suit :

  1. Tracez un cercle et choisissez un point pour être le pentagone (par exemple en haut au centre)
  2. Choisissez un point A sur le cercle qui servira de sommet du pentagone. Tracez une ligne passant par O et A .
  3. Tracez une ligne directrice à travers elle et le centre du cercle
  4. Tracez des lignes à 54° (à partir de la ligne directrice) coupant le point du pentagone
  5. Là où ceux-ci coupent le cercle, tracez des lignes à 18° (des parallèles à la ligne directrice)
  6. Rejoignez où ils coupent le cercle

Après avoir formé un pentagone convexe régulier, si l'on joint les coins non adjacents (en traçant les diagonales du pentagone), on obtient un pentagramme , avec un pentagone régulier plus petit au centre. Ou si l'on prolonge les côtés jusqu'à ce que les côtés non adjacents se rejoignent, on obtient un pentagramme plus grand. La précision de cette méthode dépend de la précision du rapporteur utilisé pour mesurer les angles.

Méthodes physiques

Noeud simple d'une bande de papier
  • Un pentagone régulier peut être créé à partir d'une simple bande de papier en faisant un nœud simple dans la bande et en aplatissant soigneusement le nœud en tirant sur les extrémités de la bande de papier. Replier l'une des extrémités sur le pentagone révélera un pentagramme lorsqu'il est rétro-éclairé.
  • Construisez un hexagone régulier sur du papier rigide ou du carton. Pli le long des trois diamètres entre les sommets opposés. Couper d'un sommet au centre pour faire un lambeau triangulaire équilatéral. Fixez ce volet sous son voisin pour faire une pyramide pentagonale . La base de la pyramide est un pentagone régulier.

Symétrie

Symétries d'un pentagone régulier. Les sommets sont colorés par leurs positions de symétrie. Des lignes de miroir bleues sont tracées à travers les sommets et les arêtes. Les ordres de giration sont donnés au centre.

Le pentagone régulier a une symétrie Dih 5 , d'ordre 10. Puisque 5 est un nombre premier, il existe un sous-groupe avec une symétrie dièdre : Dih 1 , et 2 groupes de symétries cycliques : Z 5 et Z 1 .

Ces 4 symétries peuvent être vues en 4 symétries distinctes sur le pentagone. John Conway les étiquette par une lettre et une commande groupée. La symétrie complète de la forme régulière est r10 et aucune symétrie n'est étiquetée a1 . Les symétries dièdres sont divisées selon qu'elles passent par des sommets ( d pour diagonale) ou des arêtes ( p pour perpendiculaires), et i lorsque les lignes de réflexion traversent à la fois des arêtes et des sommets. Les symétries cycliques dans la colonne du milieu sont étiquetées g pour leurs ordres de giration centraux.

Chaque symétrie de sous-groupe autorise un ou plusieurs degrés de liberté pour les formes irrégulières. Seul le sous-groupe g5 n'a pas de degrés de liberté mais peut être vu comme des arêtes dirigées .

Pentagones équilatéraux

Pentagone équilatéral construit avec quatre cercles égaux disposés en chaîne.

Un pentagone équilatéral est un polygone à cinq côtés de même longueur. Cependant, ses cinq angles internes peuvent prendre une gamme d'ensembles de valeurs, lui permettant ainsi de former une famille de pentagones. En revanche, le pentagone régulier est unique à similitude près , car il est équilatéral et il est équiangulaire (ses cinq angles sont égaux).

Pentagones cycliques

Un pentagone cyclique est un pentagone pour lequel un cercle appelé cercle circonscrit passe par les cinq sommets. Le pentagone régulier est un exemple de pentagone cyclique. L'aire d'un pentagone cyclique, qu'il soit régulier ou non, peut être exprimée comme un quart de la racine carrée de l'une des racines d'une équation septique dont les coefficients sont fonction des côtés du pentagone.

Il existe des pentagones cycliques à côtés rationnels et à aire rationnelle ; ceux-ci sont appelés pentagones de Robbins . Il a été prouvé que les diagonales d'un pentagone de Robbins doivent être soit toutes rationnelles, soit toutes irrationnelles, et il est conjecturé que toutes les diagonales doivent être rationnelles.

Pentagones convexes généraux

Pour tous les pentagones convexes, la somme des carrés des diagonales est inférieure à 3 fois la somme des carrés des côtés.

Graphiques

Le graphique complet K 5 est souvent dessiné comme un pentagone régulier avec les 10 arêtes connectées. Ce graphique représente également une projection orthographique des 5 sommets et 10 arêtes de la 5-cellule . La 5-cellule rectifiée , avec des sommets aux bords médians de la 5-cellule est projetée à l'intérieur d'un pentagone.

4-simple t0.svg
5 cellules (4D)
4-simple t1.svg
5 cellules rectifiées (4D)

Exemples de pentagones

Les plantes

Animaux

Minéraux

Artificiel

Pentagones en carrelage

L' emballage le plus connu de pentagones réguliers de taille égale sur un plan est une structure à double treillis qui couvre 92,131 % du plan.

Un pentagone régulier ne peut pas apparaître dans un pavage de polygones réguliers. Tout d' abord, afin de prouver un pentagone ne peut pas former un pavage régulier (une dans laquelle toutes les faces sont congruents, ce qui nécessite que tous les polygones soient pentagones), observer que 360 ° / 108 ° = 3 une / 3 (où 108 ° est l'angle intérieur ), qui n'est pas un nombre entier ; par conséquent, il n'existe pas de nombre entier de pentagones partageant un seul sommet et ne laissant aucun espace entre eux. Plus difficile est de prouver qu'un pentagone ne peut pas être dans un pavage bord à bord fait par des polygones réguliers :

La densité de tassement connue maximale d'un pentagone régulier est d'environ 0,921, obtenue par le tassement à double réseau illustré. Dans une préimpression publiée en 2016, Thomas Hales et Wöden Kusner ont annoncé une preuve que le double emballage en treillis du pentagone régulier (qu'ils appellent l'emballage « pentagonal ice-ray », et qu'ils font remonter au travail des artisans chinois en 1900) a la densité optimale parmi tous les empilements de pentagones réguliers dans le plan. En 2020, leur preuve n'a pas encore été arbitrée et publiée.

Il n'y a pas de combinaisons de polygones réguliers avec 4 ou plus se rencontrant à un sommet qui contiennent un pentagone. Pour les combinaisons avec 3, si 3 polygones se rencontrent à un sommet et que l'un a un nombre impair de côtés, les 2 autres doivent être congrus. La raison en est que les polygones qui touchent les bords du pentagone doivent alterner autour du pentagone, ce qui est impossible à cause du nombre impair de côtés du pentagone. Pour le pentagone, cela donne un polygone dont les angles sont tous (360 − 108) / 2 = 126° . Pour trouver le nombre de côtés de ce polygone, le résultat est 360 / (180 − 126) = 6 23 , ce qui n'est pas un nombre entier. Par conséquent, un pentagone ne peut pas apparaître dans un pavage constitué de polygones réguliers.

Il existe 15 classes de pentagones qui peuvent carreler le plan de manière monoédrique . Aucun des pentagones n'a de symétrie en général, bien que certains aient des cas particuliers avec une symétrie miroir.

15 tuiles pentagonales monoédriques
1 2 3 4 5
Prototile p5-type1.png Prototile p5-type2.png Prototile p5-type3.png Prototile p5-type4.png Prototile p5-type5.png
6 7 8 9 dix
Prototile p5-type6.png Prototile p5-type7.png Prototile p5-type8.png Prototile p5-type9.png Prototile p5-type10.png
11 12 13 14 15
Prototile p5-type11.png Prototile p5-type12.png Prototile p5-type13.png Prototile p5-type14.png Prototile p5-type15.png

Pentagones en polyèdres

je h T h T d O je J 5j
Dodécaèdre.jpg Pyritoèdre.png Tétartoïde.png Pentagonalicositetrahedronccw.jpg Pentagonalhexecontaèdreccw.jpg Trapézoèdre tronqué pentagonal.png
Dodécaèdre Pyritoèdre Tétartoïde Icositetraèdre pentagonal Hexécontaèdre pentagonal Trapézoèdre tronqué

Voir également

Notes et références en ligne

Liens externes

Famille Un n B n I 2 (p) / D n E 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2 H n
Polygone régulier Triangle Carré p-gon Hexagone Pentagone
Polyèdre uniforme Tétraèdre OctaèdreCube demi-cube DodécaèdreIcosaèdre
Polychore uniforme Pentachoron 16 cellulesTesseract Demitesseract 24 cellules 120 cellules600 cellules
Uniforme 5-polytope 5-simplex 5 orthoplexes5 cubes 5-demicube
Uniforme 6-polytope 6-simplex 6-orthoplexe6-cube 6-demicube 1 222 21
Uniforme 7-polytope 7-simplex 7 orthoplexes7 cubes 7-demicube 1 322 313 21
Uniforme 8-polytope 8-simplex 8 orthoplexes8 cubes 8-demicube 1 422 414 21
Uniforme 9-polytope 9-simplex 9-orthoplexe9-cube 9 demi-cube
Uniforme 10-polytope 10-simplex 10 orthoplexes10 cubes 10-demicube
Uniforme n - polytope n - simplexe n - orthoplexen - cube n - demi - cube 1 k22 k1k 21 n - polytope pentagonal
Sujets: familles Polytopepolytope régulierListe des polyèdres réguliers et composés