Statistiques photoniques - Photon statistics

La statistique des photons est l'étude théorique et expérimentale des distributions statistiques produites dans les expériences de comptage de photons , qui utilisent des photodétecteurs pour analyser la nature statistique intrinsèque des photons dans une source lumineuse. Dans ces expériences, la lumière incidente sur le photodétecteur génère des photoélectrons et un compteur enregistre des impulsions électriques générant une distribution statistique des comptages de photons. Les sources lumineuses disparates de faible intensité peuvent être différenciées par les distributions statistiques correspondantes produites dans le processus de détection.

Trois régimes de distributions statistiques peuvent être obtenus en fonction des propriétés de la source lumineuse: poissonien , super-poissonien et sous-poissonien. Les régimes sont définis par la relation entre la variance et le nombre moyen de comptages de photons pour la distribution correspondante. La lumière poissonienne et super-poissonienne peut être décrite par une théorie semi-classique dans laquelle la source de lumière est modélisée comme une onde électromagnétique et l'atome est modélisé selon la mécanique quantique. En revanche, la lumière sous-poissonienne nécessite la quantification du champ électromagnétique pour une description correcte et constitue donc une mesure directe de la nature particulaire de la lumière.

Lumière de Poissonian

Dans la théorie électromagnétique classique, une source idéale de lumière d'intensité constante peut être modélisée par une onde électromagnétique spatialement et temporellement cohérente d'une seule fréquence. Une telle source lumineuse peut être modélisée par,

${\ displaystyle E (x, t) = E_ {0} \ sin (kx- \ omega t + \ phi)}$

où est la fréquence du champ et est un déphasage indépendant du temps. ${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle \ phi}$

L'analogue en mécanique quantique est l' état cohérent

${\ displaystyle | \ alpha \ rangle = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {{\ alpha} ^ {n}} {\ sqrt {n!}}} e ^ {\ frac { {- \ left \ vert {\ alpha} \ right \ vert} ^ {2}} {2}} | n \ rangle}$

En projetant l'état cohérent sur l' état de Fock , on peut trouver la probabilité de trouver des photons en utilisant la règle de Born , ce qui donne ${\ displaystyle | n \ rangle}$${\ displaystyle P_ {n}}$${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle P_ {n} = {\ frac {{\ left \ vert \ alpha \ right \ vert} ^ {2n}} {n!}} e ^ {{- \ left \ vert \ alpha \ right \ vert} ^ {2}} = {\ frac {{\ langle n \ rangle} ^ {n}} {n!}} E ^ {- \ langle n \ rangle}}$

Le résultat ci-dessus est une distribution poissonienne avec laquelle est une caractéristique distincte de l'état cohérent. ${\ displaystyle {\ Delta n} ^ {2} = \ langle n \ rangle}$

Lumière super-poissonienne

La lumière qui est régie par des statistiques super-poissoniennes présente une distribution statistique avec variance . Un exemple de lumière qui présente des statistiques super-poissoniennes est la lumière thermique . L'intensité de la lumière thermique fluctue de manière aléatoire et les fluctuations donnent lieu à des statistiques super-poissoniennes, comme illustré ci-dessous en calculant la distribution des fluctuations d'intensité. En utilisant la distribution d'intensité avec la formule de Mandel qui décrit la probabilité du nombre de comptages de photons enregistrés par un photodétecteur, la distribution statistique des photons dans la lumière thermique peut être obtenue. ${\ displaystyle {\ Delta n} ^ {2}> \ langle n \ rangle}$

La lumière thermique peut être modélisée comme une collection d' oscillateurs harmoniques. Supposons que le -ème oscillateur émette un champ électromagnétique avec phase . En utilisant la théorie de la superposition des champs, le champ total produit par les oscillateurs est ${\ displaystyle N}$${\ displaystyle j}$${\ displaystyle E_ {j} (t) = E_ {0} e ^ {- i \ omega t} e ^ {i \ phi _ {j} (t)}}$${\ displaystyle \ phi _ {j} (t)}$${\ displaystyle N}$

${\ displaystyle E (t) = \ sum _ {j = 1} ^ {N} E_ {j} (t) = \ sum _ {j = 1} ^ {N} E_ {0} e ^ {- i \ oméga t} e ^ {i \ phi _ {j} (t)}}$

Après avoir extrait toutes les variables indépendantes de l'indice de sommation , une amplitude complexe aléatoire peut être définie par ${\ displaystyle j}$

${\ displaystyle \ beta (t) = \ sum _ {j = 1} ^ {N} e ^ {i \ phi _ {j} (t)} = b (t) e ^ {i \ Phi (t)} }$

où a été réécrit en fonction de son ampleur et de sa phase . Comme les oscillateurs ne sont pas corrélés, la phase du champ superposé sera aléatoire. Par conséquent, l'amplitude complexe est une variable stochastique. Il représente la somme des phases non corrélées des oscillateurs qui modélise les fluctuations d'intensité de la lumière thermique. Sur le plan complexe, il représente un marcheur aléatoire à deux dimensions représentant les pas effectués. Pour les grands, un marcheur aléatoire a une distribution de probabilité gaussienne . Ainsi, la distribution de probabilité conjointe pour les parties réelle et imaginaire de la variable aléatoire complexe peut être représentée comme suit: ${\ displaystyle \ beta (t)}$${\ displaystyle b (t) = \ left \ vert \ beta \ right \ vert}$${\ Displaystyle e ^ {i \ Phi (t)}}$${\ displaystyle \ beta (t)}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle \ beta (t)}$

${\ displaystyle p (\ beta (t)) = \ left [{\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi \ sigma ^ {2}}}} e ^ {\ frac {- {Re (\ beta ( t))} ^ {2}} {2 \ sigma ^ {2}}} \ right] \ left [{\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi \ sigma ^ {2}}}} e ^ { \ frac {- {Im (\ beta (t))} ^ {2}} {2 \ sigma ^ {2}}} \ right]}$

${\ displaystyle = {\ frac {1} {2 \ pi \ sigma ^ {2}}} e ^ {\ frac {- \ left ({Re (\ beta (t))} ^ {2} + {Im ( \ beta (t))} ^ {2} \ right)} {2 \ sigma ^ {2}}} = {\ frac {1} {2 \ pi \ sigma ^ {2}}} e ^ {\ frac { - {\ left \ vert \ beta (t) \ right \ vert} ^ {2}} {2 \ sigma ^ {2}}}}$

Après les étapes, la valeur espérée du rayon au carré est . La valeur attendue qui peut être considérée comme toutes les directions étant également probables. Réécrire la distribution de probabilité en termes de résultats en ${\ displaystyle N}$${\ displaystyle \ langle {\ left \ vert \ beta (t) \ right \ vert} ^ {2} \ rangle = 2 \ sigma ^ {2} = N}$${\ displaystyle \ langle \ left \ vert \ beta (t) \ right \ vert \ rangle = 0}$${\ displaystyle N}$

${\ displaystyle p (\ beta (t)) = {\ frac {1} {\ pi N}} e ^ {\ frac {- {\ left \ vert \ beta (t) \ right \ vert} ^ {2} } {N}}}$

Avec la distribution de probabilité ci-dessus, nous pouvons maintenant trouver l'intensité moyenne du champ (où plusieurs constantes ont été omises pour plus de clarté)

${\ displaystyle \ langle I (t) \ rangle = \ langle E ^ {*} (t) E (t) \ rangle}$

${\ displaystyle = {E_ {0}} ^ {2} {\ langle \ left \ vert \ beta (t) \ right \ vert} ^ {2} \ rangle = N {E_ {0}} ^ {2}}$

L'intensité instantanée du champ est donnée par ${\ displaystyle I (t)}$

${\ displaystyle I (t) = E ^ {*} (t) E (t) = E_ {0} ^ {2} {\ left \ vert \ beta (t) \ right \ vert} ^ {2}}$

Parce que le champ électrique et donc l'intensité dépendent de la variable complexe stochastique . La probabilité d'obtenir une intensité entre et est ${\ displaystyle \ beta (t)}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle I + dI}$

${\ Displaystyle p (I (t)) dI = p (I (\ beta (t))) d ^ {2} \ beta}$

où est l'élément infinitésimal sur le plan complexe. Cet élément infinitésimal peut être réécrit comme ${\ displaystyle d ^ {2} \ beta}$

${\ displaystyle d ^ {2} \ beta = 2 \ pi \ left \ vert \ beta (t) \ right \ vert d \ left \ vert \ beta (t) \ right \ vert}$

La distribution d'intensité ci-dessus peut maintenant être écrite comme

${\ displaystyle p (I (t)) = p (\ left \ vert \ beta (t) \ right \ vert) 2 \ pi \ left \ vert \ beta (t) \ right \ vert {\ left ({\ frac {dI} {d \ left \ vert \ beta (t) \ right \ vert}} \ right)} ^ {- 1}}$

${\ displaystyle = {\ frac {1} {\ pi N}} e ^ {\ frac {- {\ left \ vert \ beta (t) \ right \ vert} ^ {2}} {N}} 2 \ pi \ left \ vert \ beta (t) \ right \ vert {\ left (2E_ {0} ^ {2} \ left \ vert \ beta (t) \ right \ vert \ right)} ^ {- 1}}$

${\ displaystyle = {\ frac {1} {NE_ {0} ^ {2}}} e ^ {\ frac {-E_ {0} ^ {2} {\ left \ vert \ beta (t) \ right \ vert } ^ {2}} {NE_ {0} ^ {2}}} = {\ frac {1} {\ langle I (t) \ rangle}} e ^ {\ frac {-I (t)} {\ langle I (t) \ rangle}}}$

Cette dernière expression représente la distribution d'intensité de la lumière thermique. La dernière étape pour montrer que la lumière thermique satisfait la condition de variance pour les statistiques super-Poisson consiste à utiliser la formule de Mandel. La formule décrit la probabilité d'observer n comptages de photons et est donnée par

${\ displaystyle P (n) = \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {{\ left (\ epsilon I \ right)} ^ {n}} {n!}} e ^ {- \ epsilon I} P (I) dI}$

Le facteur où est l'efficacité quantique décrit l'efficacité du compteur de photons. Un détecteur parfait aurait . est l'intensité incidente sur une zone A du photodétecteur et est donnée par ${\ displaystyle \ epsilon = {\ frac {\ eta} {h \ nu}}}$${\ displaystyle \ eta}$${\ displaystyle \ eta = 1}$${\ displaystyle I}$

Comparaison des distributions de Poisson et de Bose-Einstein. La distribution de Poisson est caractéristique de la lumière cohérente tandis que la distribution de Bose-Einstein est caractéristique de la lumière thermique. Les deux distributions ont la même valeur d'attente .${\ displaystyle \ langle n \ rangle = 6}$

${\ displaystyle I = \ iint \ limits _ {A} \ int _ {t} ^ {t + \ tau} \, I (x, y, t ') dt' \, dx \, dy}$

En substituant la distribution de probabilité d'intensité de la lumière thermique à P (I), la formule de Mandel devient

${\ displaystyle P (n) = \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {{\ left (\ epsilon I \ right)} ^ {n}} {n!}} e ^ {- \ epsilon I} {\ frac {e ^ {\ frac {-I} {\ langle I \ rangle}}} {\ langle I \ rangle}} dI = {\ frac {{\ epsilon} ^ {n}} {n! \ langle I \ rangle}} \ int _ {0} ^ {\ infty} {I} ^ {n} e ^ {- \ left (\ epsilon + {\ frac {1} {\ langle I \ rangle}} \ droite) I} dI}$

Utilisation de la formule suivante pour évaluer l'intégrale

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} x ^ {n} e ^ {- ax} dx = {\ frac {n!} {a ^ {n + 1}}} \ quad \ left (n = 0,1,2, .. a> 0 \ droite)}$

La distribution de probabilité pour n comptages de photons provenant d'une source de lumière thermique est

${\ displaystyle P (n) = {\ frac {1} {\ left (\ langle n \ rangle +1 \ right)}} {\ left ({\ frac {\ langle n \ rangle} {\ langle n \ rangle +1}} \ right)} ^ {n}}$

où est le nombre moyen de comptes. Cette dernière distribution est connue sous le nom de distribution de Bose-Einstein. On peut montrer que la variance de la distribution est ${\ displaystyle \ langle n \ rangle = \ epsilon I}$

${\ displaystyle {\ Delta n} ^ {2} = \ langle n \ rangle + {\ langle n \ rangle} ^ {2}}$

Contrairement à la distribution de Poisson pour une source de lumière cohérente, la distribution de Bose-Einstein a des caractéristiques de lumière thermique. ${\ displaystyle {\ Delta n} ^ {2}> \ langle n \ rangle}$

Lumière sous-poissonienne

Schéma du schéma de corrélation d'intensité homodyne décrit dans [6]. SI, champ de signal, LO, oscillateur local, BS, séparateur de faisceau, SL, lumière superposée, C, corrélateur. Les photodétecteurs (éléments noirs) envoient des signaux électriques au corrélateur où la corrélation d'intensité est mesurée.

La lumière régie par des statistiques sous-Poisson ne peut être décrite par la théorie électromagnétique classique et est définie par . L'avènement des photodétecteurs ultrarapides a permis de mesurer la nature sous-poissonienne de la lumière. Un exemple de lumière présentant des statistiques sous-poissoniennes est la lumière comprimée. Récemment, des chercheurs ont montré que la lumière sous-poissonienne peut être induite dans un point quantique présentant une fluorescence de résonance. Une technique utilisée pour mesurer la structure sous-poissonienne de la lumière est un schéma de corrélation d'intensité homodyne. Dans ce schéma, un oscillateur local et un champ de signal sont superposés via un séparateur de faisceau. La lumière superposée est ensuite divisée par un autre séparateur de faisceau et chaque signal est enregistré par des photodétecteurs individuels connectés au corrélateur à partir duquel la corrélation d'intensité peut être mesurée. La preuve de la nature sous-poissonienne de la lumière est montrée en obtenant une corrélation d'intensité négative comme cela a été montré dans. ${\ displaystyle {\ Delta n} ^ {2} <\ langle n \ rangle}$

Les références