Nombres réels positifs - Positive real numbers

En mathématiques , l'ensemble des nombres réels positifs , est le sous - ensemble de ces nombres réels qui sont supérieurs à zéro. Les nombres réels non-négatifs , également zéro. Bien que les symboles et soient utilisés de manière ambiguë pour l'un ou l'autre de ceux-ci, la notation ou pour et ou pour a également été largement utilisée, est alignée sur la pratique en algèbre de désigner l'exclusion de l'élément zéro avec une étoile, et devrait être compréhensible pour la plupart des mathématiciens en exercice. ${\displaystyle \mathbb {R} _{>0}=\left\{x\in \mathbb {R} \mid x>0\right\},}$${\displaystyle \mathbb {R} _{\geq 0}=\left\{x\in \mathbb {R} \mid x\geq 0\right\},}$${\displaystyle \mathbb {R} _{+}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$${\displaystyle \mathbb {R} _{+}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$${\displaystyle \left\{x\in \mathbb {R} \mid x\geq 0\right\}}$${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{*}}$${\displaystyle \mathbb {R} _{*}^{+}}$${\displaystyle \left\{x\in \mathbb {R} \mid x>0\right\}}$

Dans un plan complexe , est identifié à l' axe réel positif , et est généralement dessiné comme un rayon horizontal . Ce rayon sert de référence sous la forme polaire d'un nombre complexe . L'axe réel positif correspond aux nombres complexes avec argument${\displaystyle \mathbb {R} _{>0}}$ ${\displaystyle z=|z|\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \varphi },}$ ${\displaystyle \varphi =0.}$

Propriétés

L'ensemble est fermé par addition, multiplication et division. Il hérite d'une topologie de la droite réelle et a donc la structure d'un groupe topologique multiplicatif ou d'un semi-groupe topologique additif . ${\displaystyle \mathbb {R} _{>0}}$

Pour un nombre réel positif donné, la suite de ses puissances intégrales a trois destins différents : lorsque la limite est zéro ; lorsque la séquence est constante ; et lorsque la séquence est illimitée . ${\style d'affichage x,}$ ${\displaystyle \left\{x^{n}\right\}}$${\displaystyle x\in (0,1),}$${\style d'affichage x=1,}$${\style d'affichage x>1,}$

${\displaystyle \mathbb {R} _{>0}=(0,1)\cup \{1\}\cup (1,\infty )}$et la fonction inverse multiplicative échange les intervalles. Les fonctions floor , et exces , ont été utilisées pour décrire un élément comme une fraction continue qui est une séquence d'entiers obtenus à partir de la fonction floor après que l'excès a été rendu. Pour le rationnel, la séquence se termine par une expression fractionnaire exacte de et pour l' irrationnel quadratique, la séquence devient une fraction continue périodique . ${\displaystyle \operatorname {floor} :[1,\infty )\to \mathbb {N} ,\,x\mapsto \lfloor x\rfloor ,}$${\displaystyle \operatorname {excess} :[1,\infty )\to (0,1),\,x\mapsto x-\lfloor x\rfloor ,}$${\displaystyle x\in \mathbb {R} _{>0}}$ ${\displaystyle \left[n_{0};n_{1},n_{2},\ldots \right],}$${\style d'affichage x,}$${\style d'affichage x,}$ ${\style d'affichage x,}$

L'ensemble ordonné forme une commande totale mais n'est pas un ensemble bien ordonné . La progression géométrique doublement infinie où est un entier , se situe entièrement dans et sert à la sectionner pour l'accès. forme une échelle de rapport , le plus haut niveau de mesure . Les éléments peuvent être écrits en notation scientifique comme où et est l'entier dans la progression doublement infinie, et s'appelle la décade . Dans l'étude des grandeurs physiques, l'ordre des décennies fournit des ordinaux positifs et négatifs se référant à une échelle ordinale implicite dans l'échelle de rapport. ${\displaystyle \left(\mathbb {R} _{>0},>\right)}$ ${\displaystyle 10^{n},}$${\style d'affichage n}$${\displaystyle \left(\mathbb {R} _{>0},>\right)}$${\displaystyle \mathbb {R} _{>0}}$${\displaystyle a\times 10^{n},}$${\style d'affichage 1\leq a<10}$${\style d'affichage b}$

Dans l'étude des groupes classiques , pour tout le déterminant donne une carte des matrices sur les réels aux nombres réels : La restriction aux matrices inversibles donne une carte du groupe linéaire général aux nombres réels non nuls : La restriction aux matrices avec un déterminant positif donne la carte ; l'interprétation de l'image comme un groupe quotient par le sous-groupe normal appelé groupe linéaire spécial , exprime les réels positifs comme un groupe de Lie . ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}$${\style d'affichage n\ fois n}$${\displaystyle \mathrm {M} (n,\mathbb {R} )\to \mathbb {R} .}$${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )\to \mathbb {R} ^{\times }.}$${\displaystyle \operatorname {GL} ^{+}(n,\mathbb {R} )\to \mathbb {R} _{>0}}$ ${\displaystyle \operatorname {SL} (n,\mathbb {R} )\triangleleft \operatorname {GL} ^{+}(n,\mathbb {R} ),}$

Échelle de rapport

Parmi les niveaux de mesure, l'échelle de rapport fournit les détails les plus fins. La fonction de division prend la valeur un (1) lorsque le numérateur et le dénominateur sont égaux. D'autres ratios sont comparés à un par des logarithmes, souvent des logarithmes courants utilisant la base 10. L'échelle des ratios segmente ensuite par ordres de grandeur utilisés en science et en technologie, exprimés dans diverses unités de mesure .

Une première expression d'échelle de rapport a été articulée géométriquement par Eudoxe : "c'est ... en langage géométrique que la théorie générale des proportions d'Eudoxe a été développée, ce qui équivaut à une théorie des nombres réels positifs."

Mesure logarithmique

Si est un intervalle , alors détermine une mesure sur certains sous-ensembles de correspondant au pullback de la mesure de Lebesgue habituelle sur les nombres réels sous le logarithme : c'est la longueur sur l' échelle logarithmique . En fait, c'est une mesure invariante par rapport à la multiplication par a tout comme la mesure de Lebesgue est invariante par addition. Dans le contexte des groupes topologiques, cette mesure est un exemple de mesure de Haar . ${\displaystyle [a,b]\subseteq \mathbb {R} _{>0}}$${\displaystyle \mu ([a,b])=\log(b/a)=\log b-\log a}$${\displaystyle \mathbb {R} _{>0},}$${\style d'affichage [a,b]\to [az,bz]}$${\displaystyle z\in \mathbb {R} _{>0},}$

L'utilité de cette mesure est démontrée dans son utilisation pour décrire les magnitudes stellaires et les niveaux de bruit en décibels , entre autres applications de l' échelle logarithmique . Aux fins des normes internationales ISO 80000-3 , les grandeurs sans dimension sont appelées niveaux .

Applications

Les réels non négatifs servent d' image pour les métriques , les normes et les mesures en mathématiques.

Incluant 0, l'ensemble a une structure de semi - anneau (0 étant l' identité additive ), connue sous le nom de semi-anneau de probabilité ; prendre des logarithmes (avec un choix de base donnant une unité logarithmique ) donne un isomorphisme avec le semi-anneau log (avec 0 correspondant à ), et ses unités (les nombres finis, excluant ) correspondent aux nombres réels positifs. ${\displaystyle \mathbb {R} _{\geq 0}}$${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle -\infty }$

Carré

Soit le premier quadrant du plan cartésien. Le quadrant lui-même est divisé en quatre parties par la ligne et l'hyperbole standard${\displaystyle Q=\mathbb {R} _{>0}\times \mathbb {R} _{>0},}$${\displaystyle L=\{(x,y):x=y\}}$${\displaystyle H=\{(x,y):xy=1\}.}$

Le forme un trident tandis qu'en est le point central. C'est l'élément d'identité de deux groupes à un paramètre qui s'y croisent : ${\displaystyle L\cup H}$${\displaystyle L\cap H=(1,1)}$

Puisque est un groupe , est un produit direct de groupes . Les sous-groupes à un paramètre L et H dans Q décrivent l'activité dans le produit et constituent une résolution des types d'action de groupe. ${\displaystyle \mathbb {R} _{>0}}$${\style d'affichage Q}$${\style d'affichage L\fois H}$

Les domaines des affaires et de la science regorgent de ratios, et tout changement dans les ratios attire l'attention. L'étude se réfère aux coordonnées hyperboliques dans Q . Un mouvement contre l' axe L indique un changement dans la moyenne géométrique tandis qu'un changement le long de H indique un nouvel angle hyperbolique . ${\displaystyle {\sqrt {xy}},}$

Voir également

• Semifield  - l'une des deux généralisations des champs, soit en relaxant l'associativité et la commutativité de la multiplication, soit en relaxant l'existence d'inverses additifs
• Signe (mathématiques)

Les références

Bibliographie

• Kist, Joseph ; Leetsma, Sanford (1970). "Semigroupes additifs de nombres réels positifs". Mathematische Annalen . 188 (3) : 214-218. doi : 10.1007/BF01350237 .