Glossaire de la géométrie algébrique classique - Glossary of classical algebraic geometry

La terminologie de la géométrie algébrique a radicalement changé au cours du XXe siècle, avec l'introduction des méthodes générales, initiées par David Hilbert et l' école italienne de géométrie algébrique au début du siècle, puis formalisées par André Weil , Jean-Pierre Serre et Alexander Grothendieck . Une grande partie de la terminologie classique, principalement basée sur des études de cas, a été simplement abandonnée, de sorte que les livres et articles écrits avant cette date peuvent être difficiles à lire. Cet article répertorie une partie de cette terminologie classique et décrit certains des changements apportés aux conventions.

Dolgachev ( 2012 ) traduit de nombreux termes classiques de la géométrie algébrique en terminologie théorique des schémas. D'autres livres définissant une partie de la terminologie classique comprennent Baker ( 1922a , 1922b , 1923 , 1925 , 1933a , 1933b ), Coolidge (1931) , Coxeter (1969) , Hudson (1990) , Salmon (1879) , Semple & Roth (1949) .

Conventions

D'un autre côté, alors que la plupart du matériel traité dans le livre existe dans les traités classiques de géométrie algébrique, leur terminologie quelque peu archaïque et ce qui est maintenant complètement oublié rend ces livres utiles à une poignée d'experts de la littérature classique.

( Dolgachev 2012 , p.iii – iv)

Le changement de terminologie d'environ 1948 à 1960 n'est pas la seule difficulté à comprendre la géométrie algébrique classique. Il y avait aussi beaucoup de connaissances et d'hypothèses de base, dont une grande partie a maintenant changé. Cette section répertorie certains de ces changements.

  • Dans la géométrie algébrique classique, les adjectifs étaient souvent utilisés comme noms: par exemple, «quartique» pourrait également être l'abréviation de «courbe quartique» ou «surface quartique».
  • Dans la géométrie algébrique classique, toutes les courbes, surfaces, variétés, etc. sont venues avec des plongements fixes dans l'espace projectif, alors que dans la théorie des schémas, elles sont plus souvent considérées comme des variétés abstraites. Par exemple, une surface Veronese n'était pas simplement une copie du plan projectif, mais une copie du plan projectif avec une incorporation dans l'espace projectif 5.
  • Les variétés ont souvent été considérées uniquement jusqu'à l'isomorphisme birational, alors que dans la théorie des schémas, elles sont généralement considérées jusqu'à l'isomorphisme birégulaire. ( Semple et Roth 1949 , p.20-21)
  • Jusque vers 1950, de nombreuses preuves de la géométrie algébrique classique étaient incomplètes (ou parfois tout simplement fausses). En particulier, les auteurs n'ont souvent pas pris la peine de vérifier les cas dégénérés.
  • Les mots (tels que azygetique ou bifide) étaient parfois formés à partir de racines latines ou grecques sans autre explication, en supposant que les lecteurs utiliseraient leur éducation classique pour en comprendre le sens.
... nous nous référons à un certain degré d'informalité du langage, sacrifiant la précision à la brièveté, ..., et qui a longtemps caractérisé la plupart des écritures géométriques. ... [Le sens] dépend toujours du contexte et est invariablement supposé pouvoir être interprété sans ambiguïté par le lecteur.

( Semple et Roth 1949 , p.iii)

  • Les définitions de la géométrie algébrique classique étaient souvent quelque peu vagues, et il est vain d'essayer de trouver la signification précise de certains des termes les plus anciens, car beaucoup d'entre eux n'avaient jamais une signification précise. En pratique, cela importait peu lorsque les termes n'étaient utilisés que pour décrire des exemples particuliers, car dans ces cas, leur signification était généralement claire: par exemple, il était évident que les 16 tropes d'une surface de Kummer étaient, même si "trope" était pas précisément défini en général.
  • La géométrie algébrique était souvent faite implicitement sur les nombres complexes (ou parfois les nombres réels).
  • Les lecteurs étaient souvent supposés connaître la géométrie projective classique (ou synthétique), et en particulier avoir une connaissance approfondie des coniques, et les auteurs utiliseraient la terminologie de ce domaine sans autre explication.
  • Plusieurs termes, tels que "groupe abélien", "complet", "complexe", "plat", "harmonique", "homologie", "monoïde", "normal", "pôle", "régulier", ont maintenant des significations qui sont sans rapport avec leurs significations originales. D'autres termes, tels que «cercle», ont leur signification tacitement changée pour travailler dans un espace projectif complexe; par exemple, un cercle en géométrie algébrique complexe est une conique passant par les points circulaires à l'infini et a un espace topologique sous-jacent à 2 sphères plutôt qu'à 1 sphère.
  • Parfois, les lettres majuscules sont implicitement comprises comme représentant des points et les minuscules comme des lignes ou des courbes.

Symboles

[1], [2],. . . , [ n ]
Espace projectif de dimension . Cette notation a été introduite par Schubert  ( 1886 ).
∞¹, ∞², ...
Une famille de dimension 1, 2, ...
{1}, {2}, ..., { n }
Une famille ou une variété de dimension . ( Semple et Roth 1949 , p. 288)

UNE

Groupe abélien
1. Un nom archaïque pour le groupe symplectique .
2. Un groupe commutatif .
aberrance
La déviation d'une courbe par rapport à la forme circulaire. Voir Salmon (1879 , p. 356).
absolu
1. Un choix fixe de quelque chose dans l'espace projectif, utilisé pour construire une autre géométrie à partir de la géométrie projective. Par exemple, le choix d'un plan, appelé plan absolu , de l'espace projectif peut être utilisé pour faire de son complément une copie de l'espace affine. Le choix d'une conique ou d'une polarité appropriée, appelée polarité absolue de Cayley , conique absolue ou polarité absolue , dans le plan absolu permet de placer une métrique sur un espace affine pour qu'elle devienne un espace métrique.
2.   La géométrie absolue est à peu près la géométrie euclidienne sans le postulat parallèle.
accidentel
Un double point accidentel (ou incorrect) d'une surface dans un espace projectif à 4 dimensions est un point double avec deux plans tangents distincts. ( Baker 1933b , vol 6, p. 157)
un nœud
Un nœud est un point isolé d'une courbe réelle. Voir Salmon (1879 , p. 23).
adjoint
Si C est une courbe, un adjoint de C est une courbe telle que tout point de C de multiplicité r a une multiplicité au moins r –1 sur l'adjoint. Parfois, les multiples points de C doivent être ordinaires, et si la condition n'est pas satisfaite, le terme «sous-adjoint» est utilisé. ( Semple et Roth 1949 , p. 55, 231)
affine
1. L'   espace affine est à peu près un espace vectoriel où l'on a oublié quel point est l'origine.
2. Une variété affine est une variété dans l'espace affine.
affinité
Un automorphisme de l'espace affine.
agrégat
Un ensemble.
ambiant
Une variété ambiante est une grande variété contenant tous les points, courbes, diviseurs, etc. qui intéressent.
rapport anharmonique
Ratio croisé
antipoint
L'un d'une paire de points construits à partir de deux foyers d'une courbe. Voir Salmon (1879 , p.119).
apparent
Une singularité apparente est une singularité de projection d'une variété dans un hyperplan. Ils sont appelés ainsi parce qu'ils semblent être des singularités pour un observateur au point à partir duquel ils sont projetés. ( Semple et Roth 1949 , p. 55, 231)
apolaire
Orthogonal sous l'appariement polaire entre l'algèbre symétrique d'un espace vectoriel et son dual.
genre arithmétique
Le genre arithmétique d'une variété est une variation de la caractéristique d'Euler du faisceau de lignes triviales; voir le numéro Hodge .
Ensemble d'Aronhold
Un des 288 ensembles de 7 des 28 bitangentes d'une courbe quartique correspondant aux 7 caractéristiques thêta impaires d'un ensemble normal.
associée
1. Une courbe associée est l'image d'une courbe projective dans un Grassmannien, donnée en prenant les lignes tangentes, ou les plans osculateurs, etc.
axial
axe
Une ligne spéciale ou un sous-espace linéaire associé à une famille d'objets géométriques. Par exemple, un complexe linéaire spécial dans un espace à 4 dimensions se compose de toutes les lignes rencontrant un plan donné, appelé plan axial du complexe. ( Semple & Roth 1949 , p.274) Similaire à Directrix.
azygetique
Non apparié. À l'opposé de syzygetic, signifiant apparié. Exemple: triade azygetique, tétrade azygetique, ensemble azygetique.

B

base
1. Un point de base est un point commun à tous les membres d'une famille.
2. Le nombre de base ρ est le rang du groupe Neron – Severi .
bicirculaire
Avoir des nœuds aux deux points circulaires à l'infini, comme dans la courbe bicirculaire . Voir Salmon (1879 , p. 231).
bicorne
Un bicorne est une courbe à deux cuspides.
bicuspidale
Avoir deux cuspides
bidegree
Une paire d'entiers donnant les degrés d'un polynôme bihomogène dans deux ensembles de variables
bielliptique
1. Une courbe bielliptique est une double couverture ramifiée d'une courbe elliptique.
2. Une surface bielliptique est la même qu'une surface hyperelliptique .
bifide
1. Diviser en deux parties égales
2. Une carte bifide est un élément de l'espace vectoriel de dimension 2 g sur le champ à 2 éléments, constitué de l' espace 2 g + 1 dimensionnel des sous-ensembles de cardinalité paire d'un ensemble S de 2 + 2 g éléments, modulo l'espace à une dimension {0, S }. ( Dolgachev 2012 , p. 215)
3. Une substitution bifide est une permutation des 28 bitangentes d'une courbe quartique en fonction de l'une des 35 décompositions de 8 symboles en deux ensembles de 4 symboles. Voir Salmon (1879 , p. 223).
biflecnode
Identique à fleflecnode. Voir Salmon (1879 , p.210).
bigenus
Le deuxième plurigène P 2 d'une surface.
bihomogène
Homogène dans chacun des deux ensembles de variables, comme sous forme bihomogène.
binaire
En fonction de deux variables, comme sous forme binaire
binodale
Avoir deux nœuds
binode
Point double d'une surface dont le cône tangent se compose de deux plans différents. Voir unode. ( Semple et Roth 1949 , p. 424)
bipartite
Avoir deux composants connectés. Voir Salmon (1879 , p.165).
biponctuel
1. Avoir deux points
2. Pour une conique biponctuelle par rapport à 3 points, voir Baker (1922b , vol 2, p. 123).
birational
1. Deux variétés sont birationales si elles sont isomorphes hors sous-ensembles de dimension inférieure
2. Une carte birationnelle est une carte rationnelle avec une "inverse" rationnelle
birégulier
1. Une carte birégulaire est une carte régulière avec inverse régulier
2. Deux variétés sont birégulières s'il existe une carte birégulière de l'une à l'autre, c'est-à-dire si elles sont isomorphes en tant que variétés abstraites.
biscuit
À la fois circonscrit et inscrit, ou en d'autres termes ayant des sommets situés sur une courbe et des côtés tangents à la courbe, comme dans le triangle biscribé. ( Dolgachev 2012 )
bitangente
Une bitangente est une ligne tangente à une courbe en deux points. Voir Salmon (1879 , p. 328).
bitangentiel
Rencontre d'une courbe aux points de tangence de ses bitangentes
Hexagone de Brianchon
Un hexagone non plan dont les trois diagonales se rencontrent. ( Baker 1922a , vol 1, p. 47)

C

canonique
1. La série canonique est la série linéaire du faisceau de lignes canoniques
2. Le faisceau canonique est le faisceau de lignes de formes différentielles du plus haut degré.
3. La carte canonique ou incrustation canonique est la carte de l'espace projectif des sections du faisceau canonique
4. Une courbe canonique (ou variété) est l'image d'une courbe (ou variété) sous la carte canonique
5. La classe canonique est la classe de diviseur d'un diviseur canonique
6. Un diviseur canonique est un diviseur d'une section du faisceau de lignes canoniques.
catalectique
Un catalectisant est un invariant d'une forme binaire de degré 2 n qui disparaît lorsque la forme est une somme de puissances de n formes linéaires.
caustique
Un caustique est l'enveloppe des rayons lumineux d'un point réfléchi dans une courbe
Cayley
Cayleyan
Nommé d'après Arthur Cayley
1.  
Article principal: Cayleyan
Voir Salmon (1879)
2. Une octade de Cayley est un ensemble de 8 points dans l'espace projectif donné par l'intersection de trois quadriques. ( Dolgachev 2012 , 6.3.1)
3. Les lignes Cayley ou Cayley – Salmon sont les 20 lignes passant par 3 points Kirkman.
4. Un absolu de Cayley est une conique ou une quadrique utilisée pour définir une métrique.
centre
centre
1. Un point spécial associé à un objet géométrique
2. Le centre d'une perspective
3. Le centre d'un isologue
personnage
caractéristique
1. Un entier associé à une variété projective, tel que son degré, rang, ordre, classe, type. ( Semple & Roth 1949 , p.189) En particulier, les caractéristiques de Plücker d'une courbe sont l'ordre, la classe, le nombre de nœuds, le nombre de bitangentes, le nombre de cuspides et le nombre d'inflexions. ( Coolidge 1931 , p. 99)
2. Un exposant caractéristique est un exposant d'une série de puissance avec un coefficient non négatif, qui n'est pas divisible par le plus grand facteur commun des exposants précédents avec des coefficients non nuls. ( Coolidge 1931 , p. 220)
3. La série caractéristique d'un système linéaire de diviseurs sur une surface est le système linéaire de 0-cycles sur l'un des diviseurs donné par ses intersections avec les autres diviseurs.
accord
Une ligne joignant deux points d'une variété
variété d'accord
Une variété d'accord est l'union des accords et des espaces tangents d'une variété projective
cercle
Une conique plane passant par les points circulaires à l'infini. Pour une géométrie projective réelle, c'est à peu près la même chose qu'un cercle au sens habituel, mais pour une géométrie projective complexe, c'est différent: par exemple, les cicles ont des espaces topologiques sous-jacents donnés par une sphère à 2 plutôt qu'une sphère à 1.
circuit
Un composant d'une vraie courbe algébrique. Un circuit est appelé pair ou impair selon qu'il a un nombre pair ou impair d'intersections avec une ligne générique. ( Coolidge 1931 , p. 50)
circulaire
1. Un point circulaire est l'un des deux points à l'infini (1: i : 0), (1: - i : 0) par lequel passent tous les cercles
2. Une courbe algébrique circulaire est une courbe passant par les deux points circulaires à l'infini. Voir aussi bicirculaire.
circonscrit
1. Avoir des arêtes tangentes à une courbe, comme dans le quadrilatère circonscrit .
2. Passer par les sommets de quelque chose, comme dans un cercle circonscrit .
cissoïde
Un cissoïde est la courbe générée à partir de deux courbes et d'un point. Voir Salmon (1879) .
classer
1. La classe d'une courbe plane est le nombre de tangentes propres passant par un point générique du plan. ( Semple et Roth 1949 , p. 28)
2. La classe d'une courbe spatiale est le nombre de plans osculateurs passant par un point générique de l'espace. ( Semple et Roth 1949 , p.85)
3. La classe d'une surface dans un espace projectif à r dimensions est le nombre de plans tangents rencontrant un sous-espace générique de codimension 2 dans une ligne. ( Semple et Roth 1949 , p. 28)
4. Le degré d'un contravariant ou concomitant dans les variables covariantes.
cajolé
coaxial
Un crayon de cercles est appelé coaxal si leurs centres se trouvent tous sur une ligne (appelée axe).
Une famille de cercles plans passant tous par les deux mêmes points (autres que les points circulaires à l'infini). ( Baker 1922b , vol 2, p. 66)
coïncidence
1. Une quadrique de coïncidence est une quadrique associée à une corrélation, donnée par le lieu des points situés dans l'hyperplan correspondant. ( Semple et Roth 1949 , p.8)
2. Un point fixe d'une correspondance, c'est-à-dire un point d'une variété correspondant à lui-même sous une correspondance. ( Coolidge 1931 , p. 126)
colinéaire
Sur la même ligne
collinéation
Une collinéation est un isomorphisme d'un espace projectif à un autre, souvent à lui-même. ( Semple & Roth 1949 , p. 6) Voir corrélation.
Achevée
1. Une série linéaire de diviseurs est dite complète si elle n'est pas contenue dans une série linéaire plus grande ( Semple & Roth 1949 , p.351)
2. Un schéma est dit complet si la carte vers un point est correcte
3. Un quadrangle complet est composé de 4 points et les 6 lignes joignant les paires
4. Un quadrilatère complet est composé de 4 lignes se réunissant par paires en 6 points
5. Une conique complète dans le plan est une conique (éventuellement dégénérée), avec une paire de points (éventuellement égaux) dessus s'il s'agit d'une double ligne
complexe
1. (Nom.) Un complexe de lignes, une famille de lignes de codimension 1 dans la famille de toutes les lignes dans un espace projectif, en particulier une famille de lignes en 3 dimensions dans un espace projectif en 3 dimensions. ( Semple et Roth 1949 , p. 236) Voir congruence.
2. (Adjectif.) Lié aux nombres complexes.
3. Le groupe complexe (ligne) est un ancien nom du groupe symplectique .
composite
Réductible (c'est-à-dire ayant plus d'un composant irréductible).
conchoïde
Une conchoïde est la courbe donnée par la cissoïde d'un cercle et une autre courbe. Voir Salmon (1879) .
concomitant
Un concomitant (mixte) est un polynôme homogène invariant dans les coefficients d'une forme, une variable covariante et une variable contravariante. En d' autres termes , il est un (tri) polynôme homogène sur SV ⊕ V ⊕ V * pour un espace vectoriel V , où SV est une puissance symétrique de V et V * son dual, qui est invariante par le groupe spécial linéaire de V . En pratique, V a souvent la dimension 2. Le degré, la classe et l'ordre d'un concomitant sont ses degrés dans les trois types de variables. Les concomitants sont des généralisations de covariants, contravariants et invariants.
concurrent
Rencontre en un point
cône
1. L'union des droites joignant un ensemble algébrique avec un ensemble algébrique linéaire. Appelé point-cône, ligne-cône, ... si l'ensemble linéaire est un point, une ligne, ... ( Semple & Roth 1949 , p.18)
2. Un sous-ensemble d'un espace vectoriel fermé sous multiplication par des scalaires.
configuration
Une configuration est un ensemble fini de points et de lignes (et parfois de plans), généralement avec un nombre égal de points par ligne et un nombre égal de lignes par point.
confocal
Avoir les mêmes foyers
congruence
Une famille de lignes dans l'espace projectif tel qu'il existe un nombre fini non nul de lignes passant par un point générique ( Semple & Roth 1949 , p.238, 288). Voir complexe.
conique
Une conique est une courbe de degré 2. Abréviation de "section conique", l'intersection d'un cône avec un plan.
conjuguer
1. Un point conjugué est un nœud . ( Saumon 1879 , p. 23)
2. Un point conjugué est un point situé sur l'hyperplan correspondant à un autre point sous une polarité.
3. Une ligne conjuguée est une ligne contenant le point correspondant à une autre ligne sous une polarité (ou plan conique). ( Baker 1922b , vol 2, p. 26)
4. Pour le conjugué harmonique, voir harmonique.
connexe
Une correspondance entre un espace projectif et son duel.
consécutif
Infiniment proche. Par exemple, une ligne tangente à une courbe est une ligne passant par deux points consécutifs de la courbe et un point focal est l'intersection des normales de deux points consécutifs.
contravariant
1. Un polynôme bihomogène en variables doubles de x , y , ... et les coefficients d'une certaine forme homogène en x , y , ... qui est invariant sous un groupe de transformations linéaires. En d' autres termes , il est un polynôme bihomogeneous sur SV ⊕ V pour un espace vectoriel V , où SV est une puissance symétrique de V et V * son dual, qui est invariant par le groupe spécial linéaire de V . En pratique, V a souvent une dimension d'au moins 3, car lorsqu'il a une dimension 2, ce sont plus ou moins les mêmes que les covariantes. Le degré et la classe d'un contravariant sont ses degrés dans les deux types de variable. Les contravariants généralisent les invariants et sont des cas particuliers de concomitants, et sont en un certain sens duaux aux covariantes.
coplanaire
Dans le même avion
corrélation
Un isomorphisme d'un espace projectif au dual d'un espace projectif, souvent au dual de lui-même. Une corrélation sur l'espace projectif d'un espace vectoriel est essentiellement la même qu'une forme bilinéaire non singulière sur l'espace vectoriel, jusqu'à la multiplication par des constantes. ( Semple et Roth 1949 , p. 7)
coresiduel
Voir Salmon (1879 , p.131)
correspondance
Une correspondance de X à Y est un sous-ensemble algébrique de X × Y
cosingulaire
Avoir les mêmes singularités
coupler
Une paire ordonnée
covariant
1. Un polynôme bihomogène en x , y , ... et les coefficients d'une certaine forme homogène en x , y , ... qui est invariant sous un certain groupe de transformations linéaires. En d' autres termes , il est un polynôme bihomogeneous sur SV ⊕ V * pour un espace vectoriel V , où SV est une puissance symétrique de V et V * son dual, qui est invariant par le groupe spécial linéaire de V . En pratique, V a souvent la dimension 2. Le degré et l'ordre d'une covariante sont ses degrés dans les deux types de variables. Les covariants généralisent les invariants et sont des cas particuliers de concomitants, et sont dans un certain sens duaux aux contravariants
2. La variété définie par une covariante. En particulier, la courbe définie par les covariantes de Hesse ou de Steiner d'une courbe est appelée courbes covariantes. ( Coolidge 1931 , p.151)
Transformation de Crémone
Une transformation Cremona est une carte birationnelle d'un espace projectif à lui-même
rapport croisé
Le rapport croisé est un invariant de 4 points sur une droite projective.
crunode
Crunode est un terme archaïque pour un nœud, un point double avec des directions tangentes distinctes.
cubique
Degré 3, en particulier une variété projective de degré 3
cubo-cubique
Une transformation cubo-cubique est une transformation de Crémone telle que les homaloïdes de la transformation et son inverse ont tous le degré 3. Semple & Roth (1949 , p.179)
courbe
Une courbe avec un encastrement dans l'espace projectif.
cuspide
Une cuspide est un point singulier d'une courbe dont le cône tangent est une ligne.
bord cuspidal
Le lieu des points focaux d'une famille d'avions ( Semple & Roth 1949 , p.85, 87)
cyclide
Un cyclide est une surface quartique passant doublement par la conique absolue. ( Semple et Roth 1949 , p.141)

ré

decic
décimique
1. (Adjectif) Degré 10
2. (Nom) Variété projective de degré 10
carence
1. Le défaut d'un système linéaire est sa codimension dans le système linéaire complet correspondant.
2. Le déficit D d'une courbe plane est une approximation de son genre, égale au genre lorsque tous les points singuliers sont ordinaires, donnée par ( n –1) ( n –2) / 2 - ( a –1) ( a - 2) / 2 - ( b –1) ( b –2) / 2 –..., où n est le degré de la courbe et a . b , ... sont les multiplicités de ses points singuliers. ( Semple et Roth 1949 , p.30), ( Salmon 1879 , p. 28)
degré
1. Le nombre de points d'intersection d'une variété projective avec un sous-espace linéaire générique de dimension complémentaire
2. Le nombre de points d'un diviseur sur une courbe
Desargues
La figure ou configuration de Desargues est une configuration de 10 lignes et 10 points dans le théorème de Desargues .
système desmic
Un système desmique est une configuration de trois tétraèdres desmiques .
développable
1. (Nom) Une famille unidimensionnelle de plans dans un espace projectif tridimensionnel ( Semple & Roth 1949 , p.85).
2. (Nom) L'enveloppe des normales d'une courbe
3. (Nom) Abréviation de surface développable , qui peut être déroulée sur un plan
4. La tangente développable d'une courbe est la surface constituée de ses lignes tangentes.
5. Plat, comme dans la surface développable
différentiel
1. Un différentiel du premier type est une forme 1 holomorphe.
2. Un différentiel du second type est une forme 1 méromorphe telle que les résidus de tous les pôles sont 0. Parfois, il est seulement permis d'avoir un pôle qui doit être d'ordre 2.
3. Un différentiel du troisième type est parfois une forme 1 méromorphe telle que tous les pôles sont simples (ordre 1). Parfois, il est seulement permis d'avoir 2 pôles.
réalisateur
Le cercle directeur d'une conique est le lieu des points où se rencontrent deux droites tangentes orthogonales à la conique. Plus généralement, la conique directrice d'une conique par rapport à deux points est définie de manière similaire. ( Baker 1922b , vol 2, p. 26)
directrice
Une ligne droite, ou plus généralement un espace projectif, associé à une configuration géométrique, telle que la directrice d'une section conique ou la directrice d'un scroll normal rationnel
discriminant
L'invariant (sur l'espace vectoriel des formes de degré d en n variables) qui s'annule exactement lorsque l'hypersurface correspondante dans P n-1 est singulière.
double courbe
Une singularité unidimensionnelle, généralement d'une surface, de multiplicité 2
double point
1. Une singularité de dimension 0 de multiplicité 2, comme un nœud.
Un des deux points fixés par une involution d'une ligne projective. ( Baker 1922b , vol 2, p. 3)
double six
La configuration Schläfli double six
papa
Un ensemble de deux points
double
1. Le dual d'un espace projectif est l'ensemble des hyperplans, considérés comme un autre espace projectif.
2. La courbe double d'une courbe plane est l'ensemble de ses droites tangentes, considérée comme une courbe dans le plan projectif double.
3. Un nombre dual est un nombre de la forme a + ε b où ε a le carré 0. Semple & Roth (1949 , p.268)

E

env
Point Eckardt
Un point Eckardt est un point d'intersection de 3 lignes sur une surface cubique .
efficace
Un cycle effectif ou diviseur est un cycle sans coefficients négatifs
allégresse
Une colinéation qui fixe tous les points sur une ligne (appelée son axe ) et toutes les lignes à travers un point sur l'axe (appelé son centre).
conique à onze points
La conique à onze points est une conique contenant 11 points spéciaux associés à quatre points et une ligne. ( Baker 1922b , vol 2, p. 49)
embarqué
Une variété intégrée est une variété contenue dans une plus grande variété, parfois appelée variété ambiante.
ennéédro
Un ensemble de 9 plans tritangents à une surface cubique contenant les 27 lignes.
enveloppe
Une courbe tangente à une famille de courbes. Voir Salmon (1879 , p. 65).
épitrochoïde
Un épitrochoïde est la courbe tracée par un point d'un disque roulant le long d'un autre disque. Saumon (1879)
équiaffin
équiaffinité
Une équiaffinité est une transformation équiaffine, c'est-à-dire une zone de préservation de transformation affine.
équianharmonique
1. Quatre points dont le rapport croisé (ou rapport anharmonique) est une racine cubique de 1
2. Une cubique équianharmonique est une courbe cubique avec j -invariant 0
équivalence
Dans la théorie des intersections, une variété de dimension positive se comporte parfois formellement comme s'il s'agissait d'un nombre fini de points; ce nombre s'appelle son équivalence.
évectant
Un contravariant défini par Sylvester en fonction d'un invariant. Voir Salmon (1879 , p. 184).
évoluer
Une évoluée est l'enveloppe des droites normales d'une courbe plane. Voir Salmon (1879 , p. 40).
exceptionnel
1. Correspondant à quelque chose de dimension inférieure sous une correspondance birationnel, comme dans la courbe exceptionnelle , diviseur exceptionnel
2. Une courbe exceptionnelle sur une surface est celle qui correspond à un point simple sur une autre surface sous une correspondance birationnelle. On l'appelle une courbe exceptionnelle du premier type si elle se transforme en un point de l'autre surface, et une courbe exceptionnelle du second type si elle se transforme en une courbe de l'autre surface.

F

facultatif
Un point facultatif est celui où une fonction donnée est positive. ( Saumon 1885 , p. 243)
premier genre
holomorphe ou régulier (lorsqu'il est appliqué aux différentiels)
plat
1. (Nom) Un sous-espace linéaire de l'espace projectif, tel qu'un point, une ligne, un plan, un hyperplan.
2. (Adjectif) ayant une courbure nulle.
3. (Adjectif) Pour le terme « plat » dans la théorie du système voir module plat , morphisme plat .
flecnode
Un double point qui est aussi un point d'inflexion d'une branche. ( Cayley 1852 ). ( Saumon 1879 , p. 210)
fleflecnode
Un double point qui est aussi un point d'inflexion des deux branches. ( Cayley 1852 ).
fléchir
Abréviation de point d'inflexion
focal
1. Un point focal, une ligne, un plan, ... est l'intersection de plusieurs éléments consécutifs d'une famille de sous-espaces linéaires. ( Semple et Roth 1949 , p. 85, 252)
2. Une courbe focale, une surface, etc. est le lieu des points focaux d'une famille de sous-espaces linéaires. ( Semple et Roth 1949 , p. 252)
concentrer
Un point focal. Voir Salmon (1879 , p. 116), ( Semple et Roth 1949 , p. 85,251)
singularité foliée
Voir ( Semple & Roth 1949 , p.422)
forme
1. Un polynôme homogène en plusieurs variables. Identique à quantique.
2. Une forme différentielle .
intersection libre
Un point d'intersection de deux membres d'une famille qui n'est pas un point de base.
liberté
Dimension, comme en degrés de liberté . ( Semple et Roth 1949 , p. 26).
fondamental
Ce terme semble ambigu et mal défini: Zariski déclare: "Je ne trouve pas de définition claire d'une courbe fondamentale dans la littérature".
1. L'ensemble fondamental ou lieu fondamental d'une correspondance birationnelle semble signifier (grossièrement) soit l'ensemble des points où il ne s'agit pas d'une bijection, soit l'ensemble des points où il n'est pas défini.
2. Un point, une courbe ou une variété fondamentale est un point, une courbe ou une variété dans l'ensemble fondamental d'une correspondance birationnelle.

g

g r
d , γ r
d
Un système linéaire ou algébrique de diviseurs de dimension r et de degré d sur une courbe. La lettre g est utilisée pour les systèmes linéaires et la lettre γ est utilisée pour les systèmes algébriques.
Générateur
Une des lignes d'une surface réglée ( Semple & Roth 1949 , p.204) ou plus généralement un élément d'une famille d'espaces linéaires.
Plus particulièrement, nous nous référons à l'utilisation récurrente d'adjectifs comme `` général '' ou `` générique '', ou des expressions telles que `` en général '', dont la signification, où qu'ils soient utilisés, dépend toujours du contexte et est invariablement supposée être capable de interprétation sans ambiguïté par le lecteur.

( Semple et Roth 1949 , p.iii)

générique
1. Ne pas avoir de propriétés spéciales, qui ne sont généralement pas énoncées explicitement.
2. Un point générique est un point dont les coordonnées sont algébriquement indépendantes du champ de base.
3. Le point générique d'un schéma.
genre
1. La dimension de l'espace des sections du faisceau canonique, comme dans le genre d'une courbe ou le genre géométrique d'une surface
2.   genre arithmétique d'une surface
3.   plurigenus
genre géométrique
Le genre géométrique est la dimension de l'espace des n- formes holomorphes sur une variété projective non singulière à n dimensions.
classe
La note d'un système linéaire de diviseurs sur une variété à n dimensions est le nombre de points d'intersection libres de n diviseurs génériques. En particulier, la note d'une série linéaire de diviseurs sur une courbe est maintenant appelée le degré et est le nombre de points dans chaque diviseur ( Semple & Roth 1949 , p.345), et la note d'un réseau de courbes sur une surface est le nombre d'intersections libres de deux courbes génériques. ( Semple et Roth 1949 , p.45) ( Semple et Roth 1949 , p.159)
Grassmannien
Un Grassmannien est une variété paramétrant des sous-espaces linéaires de l'espace projectif
grouper
1. Un groupe ou groupe de points est un terme archaïque désignant un diviseur effectif sur une courbe. Cet usage est particulièrement déroutant, car certains de ces diviseurs sont appelés normaux, avec pour résultat qu'il existe des «sous-groupes normaux» n'ayant rien à voir avec les sous-groupes normaux de la théorie des groupes. ( Coolidge 1931 )
2. Un groupe au sens habituel.

H

harmonique
1. Deux paires de points sur une ligne sont harmoniques si leur rapport croisé est de –1. Les 4 points sont appelés un ensemble harmonique et les points d'une paire sont appelés conjugués harmoniques par rapport à l'autre paire.
2. Une cubique harmonique est une courbe elliptique avec j -invariant 1728, donnée par une double couverture de la ligne projective ramifiée en 4 points avec un rapport croisé –1.
3. Satisfait à un analogue de l' équation de Laplace , comme sous forme harmonique.
4. La ligne polaire harmonique d'un point d'inflexion d'une courbe cubique est la composante de la conique polaire autre que la ligne tangente. ( Dolgachev 2012 , 3.1.2)
5. Un réseau harmonique est un ensemble de points sur une ligne contenant le conjugué harmonique de tout point par rapport à deux autres points. ( Baker 1922a , vol 1, p. 133)
6. Pour les coniques harmoniquement conjuguées, voir ( Baker 1922b , vol 2, p. 122).
Hesse
Toile de jute
Nommé d'après Otto Hesse .
1. Une matrice de Hesse , ou une variété qui lui est associée. Voir Salmon (1879 , p. 55).
2. La droite de Hesse est une droite associée à 3 points A , B , C , d'une conique, contenant les trois points donnés par les intersections des tangentes en A , B , C avec les droites BC , CA , AB .
3. Le point de Hesse est un point associé à trois droites tangentes à une conique, dont la construction est duelle à celle d'une droite de Hesse.
4. Le couple de Hesse ou duade de Hesse de trois points sur une ligne projective est le couple de points fixés par les transformations projectives d'ordre 3 permutant les 3 points. Plus généralement, le couple de Hesse est également défini de manière similaire pour des triplets de points d'une courbe rationnelle, ou des triplets d'éléments d'un crayon.
5. La configuration de Hesse est la configuration des points d'inflexion d'un plan cubique.
6. Le groupe de Hesse est le groupe des automorphismes de la configuration de Hesse, d'ordre 216.
hexad
Un ensemble de 6 points
homaloïde
Un élément d'un système homaloïde, en particulier l'image d'un hyperlpane sous une transformation de Cremona .
homaloïde
1. Un système linéaire homaloïdal de diviseurs est un système linéaire de grade 1, tel que l'image du système linéaire d'hyperplans de l'espace projectif sous une transformation de Crémone . ( Semple & Roth 1949 , p.45) ( Coolidge 1931 , p. 442) Lorsque le système linéaire a la dimension 2 ou 3, il est appelé réseau homaloïdal ou toile homaloïde .
2. Homaloidal signifie similaire à un plan plat.
homographique
1. Ayant les mêmes invariants. Voir Salmon (1879 , p. 232).
2. Une transformation homographique est un automorphisme de l'espace projectif sur un champ, c'est-à-dire un élément du groupe linéaire général projectif. ( Saumon 1879 , p. 283)
homographie
1. Un isomorphisme entre espaces projectifs induit par un isomorphisme d'espaces vectoriels.
2. Un axe d'homographie est une droite associée à deux plages liées d'une conique. ( Baker 1922b , vol 2, p. 16)
homologie
1. Comme dans le groupe d'homologie
2. Une colinéation fixant toutes les lignes passant par un point (le centre) et tous les points passant par une ligne (l'axe) ne contenant pas le centre. Voir l'exaltation. Cette terminologie a été introduite par Lie.
3. Un automorphisme de l'espace projectif avec un hyperplan de points fixes (appelé axe ). On l'appelle une homologie harmonique si elle est d'ordre 2, auquel cas elle a un point fixe isolé appelé son centre .
Courbe de Hurwitz
Surface de Hurwitz
Une courbe de Hurwitz est une courbe algébrique complexe de genre g > 0 avec le nombre maximum possible 84 ( g –1) d'automorphismes.
hyperbolie
Essentiellement une explosion d'une courbe en un point. Voir Salmon (1879 , p.175).
hypercuspidité
Singularité d'une courbe d'une certaine multiplicité r dont le cône tangent est une seule ligne rencontrant la courbe d'ordre r +1. ( Coolidge 1931 , p. 18)
hyperelliptique
Une courbe hyperelliptique est une courbe avec une carte de degré 2 avec la ligne projective.
hyperflexe
Identique au point d'ondulation: un point d'une courbe où la tangente a un contact d'ordre au moins 4.
point hyperosculant
Un point où l'espace tangent rencontre un ordre supérieur à la normale.
hyperplan
Un sous-espace linéaire de l'espace projectif de codimension 1. Identique à prime.

je

index de spécialité
La dimension du premier groupe de cohomologie du faisceau de lignes d'un diviseur D ; souvent désigné par i ou i ( D ). Semple et Roth (1949 , p. 381)
point infiniment proche
Un point sur une explosion d'une variété
inflexion
inflexion
Une flexion est un point où la courbure disparaît, ou en d'autres termes où la ligne tangente rencontre l'ordre au moins 3. La géométrie différentielle utilise la condition légèrement plus stricte selon laquelle la courbure change de signe au point. Voir Salmon (1879 , p. 32)
quadrique polaire
Voir ( Baker 1923 , vol 3, p. 52, 88)
inscrit
1. Avoir des sommets sur une courbe, comme dans la figure inscrite .
2. Tangente à certaines lignes, comme dans un cercle inscrit .
intégral
Une intégrale est (plus ou moins) ce qu'on appelle maintenant une forme différentielle fermée, ou parfois le résultat de l'intégration d'une telle forme.  
1. Une intégrale du premier type est une forme différentielle fermée holomorphe.
2. Une intégrale du second type est une forme différentielle fermée méromorphe sans résidus.
3. Une intégrale du troisième type est une forme différentielle fermée méromorphe dont les pôles sont tous simples.
4. Une intégrale simple est une forme 1 fermée, ou le résultat de l'intégration d'une forme 1.
5. Une double intégrale est une forme 2 fermée, ou le résultat de l'intégration d'une forme 2.
invariant
(Nom) Un polynôme dans les coefficients d'une forme homogène, invariant sous un certain groupe de transformations linéaires. Voir aussi covariant, contravariant, concomitant.
inversion
Une inversion est une transformation d'ordre 2 échangeant l'intérieur et l'extérieur d'un cercle. Voir Salmon (1879 , p.103).
involuté
Une développante est une courbe obtenue en déroulant une corde autour d'une courbe. Voir Salmon (1879 , p. 278).
involution
1. Une transformation dont le carré est l'identité. Cremona transformations qui sont involutions comprennent involutions Bertini , involutions Geiser et involutions De Jonquières .
irrégularité
L' irrégularité d'une surface est la dimension de l'espace des formes 1 holomorphes sur une surface projective non singulière; voir le numéro Hodge .
isologue
Étant donné une transformation de Crémome T , l'isologue d'un point p est l'ensemble des points x tels que p , x , T ( x ) sont colinéaires. Le point p est appelé le centre de l'isologue.

J

Jacobien
1. La variété jacobienne d'une courbe
2. Une courbe jacobienne; voir ci-dessous
Courbe jacobienne
Le lieu des points doubles des courbes d'un réseau. ( Semple et Roth 1949 , p.115)
Ensemble jacobien
L'ensemble des points doubles libres d'un crayon de courbes. ( Semple et Roth 1949 , p.119)
Système jacobien
Le système linéaire généré par les courbes jacobiennes. ( Semple et Roth 1949 , p.117)
rejoindre
La jointure de deux espaces linéaires est le plus petit espace linéaire les contenant tous les deux.

K

kénothème
Une intersection de n hypersurfaces dans un espace projectif n- dimensionnel. (Sylvester  1853 , Glossaire p. 543–548) Archaïque.
kératoïde
En forme de corne. Une cuspide kératoïde est celle dont les deux branches se courbent dans la direction opposée; voir cuspide ramphoïde. Saumon (1879)
Point Kirkman
Un des 60 points situés sur 3 des droites de Plücker associé à 6 points sur une conique.
Klein
1.   Felix Klein
2. La surface icosaédrique de Klein est une certaine surface cubique
3. La quartique de Klein est la courbe
Indice de Kronecker
Le nombre d'intersection de deux courbes sur une surface
Surface Kummer
Article principal: surface Kummer
Une surface quartique à 16 nœuds

L

Filet de Laguerre
Un réseau V de courbes planes d'un certain degré d tel que le lieu de base d'un crayon générique de V est le lieu de base de V avec d –1 points colinéaires ( Dolgachev 2012 , théorème 7.3.5) ( Coolidge 1931 , p. 423 )
lemniscate
Un lemniscate est une courbe ressemblant à une figure 8. Voir Salmon (1879 , p.42)
limaçon
Un limaçon est une courbe tracée par un point sur un cercle roulant autour d'un cercle similaire. Voir Salmon (1879 , p.43)
ligne
Une ligne dans l'espace projectif; en d'autres termes une sous-variété de degré 1 et de dimension 1.
coordonnées de ligne
Coordonnées projectives. Voir Salmon (1879 , p. 7)
linéaire
Degré 1
système linéaire
Un système linéaire de diviseurs , donné par les zéros des éléments d'un espace vectoriel de sections d'un faisceau de lignes
lieu
1-Un sous-ensemble d'espace projectif donné par des points satisfaisant à une condition

M

collecteur
Une variété algébrique est un cycle d'espace projectif, c'est-à-dire une combinaison linéaire formelle de sous-variétés irréductibles. Les variétés algébriques peuvent avoir des singularités, de sorte que leurs espaces topologiques sous-jacents n'ont pas besoin d'être des variétés au sens de la topologie différentielle. Semple et Roth (1949 , p.14-15)
rencontrer
La rencontre de deux ensembles est leur intersection.
Tétrades de Möbius
Article principal: configuration Möbius
Deux tétrades telles que le plan contenant trois points quelconques d'une tétrade contienne un point de l'autre. ( Baker 1922a , vol 1, p. 62)
maquette
1. Une variété dont les points (ou parfois les sections hyperplans) correspondent aux éléments d'une famille. Similaire à ce que l'on appelle maintenant un espace de paramètres ou un espace de modules.
2. Un modèle pour une extension de champ K d'un corps k est une variété projective sur k avec un isomorphisme entre K et son champ de fonctions rationnelles.
module
Une fonction de variétés algébriques dépendant uniquement du type d'isomorphisme; en d'autres termes, une fonction sur un espace de modules
Tétrades de Moebius
Voir # tétrades de Möbius
monoïde
Une surface de degré n avec un point de multiplicité n –1. ( Semple et Roth 1949 , p.187)
transformation monoïdale
Une transformation de Cremona de l'espace projectif généré par une famille de monoïdes avec le même point de multiplicité n –1. Plus généralement une explosion le long d'une sous-variété, appelée centre de la transformation monoïdale. ( Semple et Roth 1949 , p.187)
plusieurs
Un point multiple est un point singulier (un avec un anneau local non régulier).
multiplicité
La multiplicité d'un point sur une hypersurface est le degré du premier coefficient de non-disparition de la série de Taylor au point. Plus généralement, on peut définir la multiplicité de tout point d'une variété comme la multiplicité de son anneau local . Un point a la multiplicité 1 si et seulement s'il n'est pas singulier.

N

Groupe Néron – Severi
Le groupe de Néron – Severi est le groupe d'équivalence numérique du module de diviseurs.
nid
On dit que deux composants (circuits) d'une courbe algébrique réelle s'emboîtent si l'un est à l'intérieur de l'autre. ( Coolidge 1931 )
rapporter
1. Un système linéaire bidimensionnel. Voir «crayon» et «Web». Voir aussi Laguerre net.
2. Un réseau harmonique est un ensemble de points sur une ligne contenant le conjugué harmonique de tout point par rapport à deux autres points. ( Baker 1922a , vol 1, p. 133)
Polygone de Newton
Article principal: polygone de Newton
L'enveloppe convexe des points avec des coordonnées données par les exposants des termes d'un polynôme.
nodal
Une tangente nodale à un point singulier d'une courbe est l'une des lignes de son cône tangent . ( Semple et Roth 1949 , p. 26)
nœud
Un point singulier p d'une hypersurface f = 0, généralement avec le déterminant du Hessien de f non nul en p . ( Cayley 1852 )
noeud cuspide
Une singularité d'une courbe où un nœud et une cuspide coïncident en un même point. ( Saumon 1879 , p. 207)
Ordinaire
1. Une sous-variété d'espace projectif est linéairement normale si le système linéaire définissant l'enrobage est complet; voir courbe normale rationnelle .
2. Orthogonal à l'espace tangent, comme une ligne orthogonale à l'espace tangent ou au faisceau normal .
3. Une intersection normale est une intersection avec la codimension "attendue" (étant donné une somme de codimensions). ( Semple et Roth , p. 16)
4. Les anneaux locaux sont intégralement fermés; voir schéma normal .
polarité nulle
Une corrélation donnée par une matrice symétrique asymétrique. Une polarité nulle de l'espace projectif d'un espace vectoriel est essentiellement une forme bilinéaire asymétrique non dégénérée, jusqu'à multiplication par des scalaires. Voir aussi la polarité. ( Semple et Roth 1949 , p.9)

O

octad
Un ensemble de 8 points
octique
1. (Adjectif) Degré 8
2. (Nom) Variété projective de degré 8
ombilique
La courbe à l'infini qui est l'intersection de toute sphère avec le plan à l'infini. Tous les points de l'ombilique ne sont pas réels.
ordre
1. Maintenant appelé degré d'une variété algébrique : le nombre de points d'intersection avec un sous-espace linéaire générique de dimension complémentaire. ( Semple et Roth 1949 , p.15)
2. L'ordre d'une covariante ou concomitante: son degré dans les variables contravariantes.
3. L'ordre d'une transformation de Crémone est l'ordre (degré) de ses homaloïdes. ( Semple et Roth 1949 , p.46)
ordinaire
Un point ordinaire de multiplicité m d'une courbe est un point avec m lignes tangentes distinctes.
oscnode
Un double point d'une courbe plane qui est aussi un point d'osculation; en d'autres termes, les deux branches se rencontrent pour commander au moins 3. ( Cayley 1852 )
donner un baiser
Embrasser; pour rencontrer un ordre élevé. Voir Salmon (1879 , p. 356).
plan osculateur
Un plan tangent d'une courbe spatiale ayant un contact de troisième ordre avec elle.
quadrique outpolaire
Voir ( Baker 1922b , vol 2, p. 33) et ( Baker 1923 , vol 3, p. 52)

P

Aigrette
1.   Pappus d'Alexandrie .
2. La configuration de Pappus est la configuration de 9 lignes et 9 points qui apparaît dans le théorème d'hexagone de Pappus .
point parabolique
Un point d'une variété qui se trouve également dans la Hesse.
parallèle
1. Rencontre sur la ligne ou le plan à l'infini, comme dans les lignes parallèles
2. Une courbe parallèle est l'enveloppe d'un cercle de rayon fixe se déplaçant le long d'une autre courbe. ( Coolidge 1931 , p.192)
partitivité
Le nombre de composants connectés d'une courbe algébrique réelle. Voir Salmon (1879 , p.165).
Pascal
Abréviation de la ligne de Pascal , la ligne déterminée par 6 points d'une conique dans le théorème de Pascal
pédale
La courbe de la pédale de C par rapport à un point de la pédale P est le lieu des points X de telle sorte que la ligne passant par X orthogonale à PX est tangente à C . ( Saumon 1879 , p. 96)
crayon
Un système linéaire unidimensionnel. Voir crayon (mathématiques) et crayon Lefschetz .
pentad
Un ensemble de 5 points
pentaèdre
Une union de 5 plans, en particulier le pentaèdre Sylvestre d'une surface cubique.
point final
L'intégrale d'une forme différentielle sur une sous-variété
perspective
Un isomorphisme entre deux lignes projectives (ou plages) d'espace projectif tel que les lignes joignant chaque point d'une ligne au point correspondant de l'autre ligne passent toutes par un point fixe, appelé centre de la perspectivité ou du perspecteur.
perspecteur
Le centre d'une perspective
perspective
La ligne du théorème de Desargues sur laquelle se trouvent les intersections de paires de côtés de deux triangles en perspective
pincer
Un point de pincement est un point singulier d'une surface, où les deux plans tangents d'un point sur une double courbe coïncident dans un double plan, appelé plan de pincement . ( Semple et Roth 1949 , p.175)
pippian
Introduit par Cayley ( 1857 ). Maintenant appelé le Cayleyan . Voir aussi quippian.
Plücker
Article principal: Julius Plücker
1. Pour la caractéristique Plücker, voir la caractéristique
2. Une droite de Plücker est l'une des 15 droites contenant 4 des 20 points Steiner associés à 6 points sur une conique. Les lignes Plücker se rencontrent par trois aux 60 points Kirkman. ( Dolgachev 2012 , p.124)
plurigène
Plurigènes pluriels
Le d th plurigène d'une variété est la dimension de l'espace des sections de la d ième puissance du faisceau canonique de lignes.
étoile
Une famille de lignes avec un point commun
polaire
1. (Adjectif) Lié par une polarité
2. La conique polaire est l'ensemble nul de la forme quadratique associée à une polarité, ou de manière équivalente l'ensemble des points auto-conjugués de la polarité.
3. (Nom) La première polaire, la deuxième polaire, etc. sont des variétés de degrés n –1, n –2, ... formées à partir d'un point et d'une hypersurface de degré n en polarisant l'équation de l'hypersurface. ( Semple et Roth 1949 , p.11)
4. Une ligne polaire ou polaire est la ligne correspondant à un point sous une polarité du plan projectif.
polarité
Une corrélation donnée par une matrice symétrique, ou une corrélation de période 2. Une polarité de l'espace projectif d'un espace vectoriel est essentiellement une forme bilinéaire symétrique non dégénérée, jusqu'à multiplication par des scalaires. Voir aussi polarité nulle. ( Semple et Roth 1949 , p.9)
pôle
1. Le point correspondant à un hyperplan sous une polarité.
2. Une singularité d'une fonction rationnelle.
poloconique
polocubique
poloquartique
Le poloconique (également appelé polaire conique) d'une ligne dans le plan par rapport à une courbe cubique est le lieu des points dont la première polaire est tangente à la ligne. ( Dolgachev 2012 , p. 156-157)
polygonal
Une courbe polygonale (ou k -gonale) est une courbe avec une carte (de degré k ) à la ligne projective. Le degré de la carte est appelé la gonalité de la courbe. Lorsque le degré est 1, 2 ou 3, la courbe est appelée rationnelle, hyperelliptique ou trigonale.
porisme
1. Un porisme est un corollaire, surtout en géométrie, comme dans le porisme de Poncelet . La signification précise semble être controversée.
2. Un agencement de figures géométriques (telles que des lignes ou des cercles) inscrites dans une courbe et circonscrites autour d'une autre, comme dans le porisme de Poncelet ou le porisme de Steiner . Il semble y avoir une certaine confusion quant à savoir si le «porisme» fait référence à la configuration géométrique ou à l'énoncé du résultat.
poristique
N'ayant aucune solution ou une infinité de solutions ( Semple et Roth 1949 , p.186). Par exemple, le porism de Poncelet et la porism de Steiner impliquent que s'il y a un moyen d'organiser des lignes ou des cercles , puis il y a une infinité de façons.
postulé
Un objet postulé (point, ligne, etc.) est un objet dans un espace plus grand. Par exemple, un point à l'infini de l'espace projectif est un point postulé de l'espace affine. ( Baker 1922a , vol 1,)
postulation
L'hypothèse d'une variété pour une famille est le nombre de conditions indépendantes nécessaires pour forcer un élément de la famille à contenir la variété. ( Semple et Roth 1949 , p. 440)
puissance d'un point
Laguerre a défini la puissance d'un point par rapport à une courbe algébrique de degré n comme le produit des distances du point aux intersections traversées par un cercle, divisé par la n ième puissance du diamètre. Il a montré que cela est indépendant du choix du cercle passant par le point. ( Coolidge 1931 , p.176)
premier
Un ancien terme pour un hyperplan dans un espace projectif . ( Semple et Roth 1949 , p.1)
primitif
Un vieux terme pour une hypersurface projective . ( Semple et Roth 1949 , p.10)
projectivité
Un isomorphisme entre deux lignes projectives (ou plages). Une projectivité est le produit d'au plus trois perspectives.
proximité
Un nombre dépendant de deux branches en un point, défini par Coolidge (1931 , p. 224).
proche
Pour les points proches, voir ( Zariski 1935 , p.9).
pur
Tous les composants sont de la même dimension. Maintenant appelé équidimensionnel . ( Semple et Roth 1949 , p.15)

Q

transformation quadratique
1. Une transformation de Crémone de degré 2. Une transformation quadratique standard est une transformation similaire à la carte prenant chaque coordonnée à son inverse.
2. Une transformation monôme avec centre un point, ou en d'autres termes une explosion en un point.
quadrique
Degré 2, en particulier une variété projective de degré 2. À ne pas confondre avec quantique ou quartique.
quadrisécant
Un quadrisécant est une ligne qui rencontre quelque chose en quatre points
quadro-cubique, quadro-quartique
Une transformation quadro-cubique ou quadro-quartique est une transformation de Crémone telle que les homaloïdes de la transformation ont le degré 2 et ceux de son inverse ont le degré 3 ou 4. ( Semple & Roth 1949 , p.180, 188)
quantique
Un polynôme homogène en plusieurs variables, maintenant généralement appelé une forme. À ne pas confondre avec quartique ou quadrique.
quarto-quartique
Une transformation quarto-quartique est une transformation de Crémone telle que les homaloïdes de la transformation et son inverse ont tous le degré 4. ( Semple & Roth 1949 , p.187)
quaternaire
Dépend de quatre variables, comme sous forme quaternaire.
quartique
Degré 4, en particulier une variété projective de degré 4. À ne pas confondre avec quantique ou quadrique.
quintique
Degré 5, en particulier une variété projective de degré 5.
quippian
Un quippien est un contravariant de classe 3 de degré 5 d'un plan cubique introduit par Cayley ( 1857 ) et discuté par Dolgachev (2012 , p.157). Voir aussi pippian.
anneau de quotient
L'anneau quotient d'un point (ou plus généralement d'une sous-variété) est ce qu'on appelle maintenant son anneau local , formé en ajoutant des inverses à toutes les fonctions qui ne s'évanouissent pas à l'identique sur lui.

R

ramphoïde
En forme de bec. Une cuspide ramphoïde est celle dont les deux branches se courbent dans la même direction; voir cuspide kératoïde.
Saumon (1879 , p.46)
rang
1. Le rang d'une courbe projective est le nombre de tangentes à la courbe rencontrant un sous-espace linéaire générique de codimension 2. ( Semple & Roth 1949 , p.84)
2. Le rang d'une surface projective est le rang d'une courbe donné par l'intersection de la surface avec un hyperplan générique. ( Semple & Roth 1949 , p.193) Voir ordre, classe, type.
gamme
1. L'ensemble de tous les points sur une ligne. ( Coxeter 1969 , p. 242)
2. Un ensemble de points ordonné étiqueté ou fini sur une ligne.
rationnel
1. Espace birational à projectif.
2. Défini sur les nombres rationnels.
rayon
Une ligne, en particulier une dans une famille de lignes
ordinaire
1. Une surface régulière est une surface dont l' irrégularité est nulle.
2. N'ayant pas de singularités; voir anneau local régulier .
3. Symétrique, comme polygone régulier , polyèdre régulier .
4. Défini partout, comme dans la carte régulière (birational).
regulus
Un des deux crayons de lignes sur un produit de deux plans projectifs ou d'une surface quadrique.
Deux plages (ensembles étiquetés) de points sur une ligne sont dites liées s'il y a une projectivité prenant une plage à l'autre.
manifold représentatif
Un espace de paramètres ou un espace de modules pour une famille de variétés
résiduel
L'intersection résiduelle de deux variétés est constituée de la partie "non évidente" de leur intersection.
résultant
1. La résultante de deux polynômes, donnée par le déterminant de la matrice de Sylvestre de deux formes binaires, qui s'annule si elles ont une racine commune.
2. Une transformation de Crémone formée à partir de n corrélations d' espace projectif n- dimensionnel. ( Semple et Roth 1949 , p.180)
sens inverse
Inverse (d'une fonction ou d'une carte birationnelle)
gouverné
Recouvert de lignes, comme en surface réglée . Voir aussi scroll.

S

S n
Espace projectif de dimension n .
Saumon conique
La conique Salmon d'une paire de coniques planes est le lieu des points tels que les paires de tangentes aux deux coniques sont harmoniquement conjuguées. ( Dolgachev 2012 , p. 119)
Satellite
1. Si une ligne rencontre une courbe cubique en 3 points, les intersections résiduelles des tangentes de ces points avec la cubique se trouvent toutes sur une ligne, appelée ligne satellite de la ligne d'origine. Voir Salmon (1879 , p. 127).
2. Une certaine courbe plane de degré ( n –1) ( n –2) construite à partir d'une courbe plane de degré n et d'un point générique. ( Coolidge 1931 , p. 159-161)
3. Pour les points satellites, voir ( Zariski 1935 , p.8). Peut-être quelque chose à voir avec les points de base.
faire défiler
Une surface réglée avec un encastrement dans l'espace projectif de sorte que les lignes de la surface réglée sont également des lignes de l'espace projectif.
sécante
1. Une droite coupant une variété en 2 points, ou plus généralement un espace projectif à n dimensions rencontrant une variété en n +1 points.
2. Une variété sécante est l'union des sécantes d'une variété.
deuxième genre
Tous les résidus aux pôles sont nuls
secundum
Une intersection de deux nombres premiers (hyperplans) dans l'espace projectif. ( Semple et Roth 1949 , p.2)
Segre
1. Nommé d'après Beniamino Segre ou Corrado Segre
2. Une variété Segre ou un encastrement Segre est le produit de deux espaces projectifs, ou un encastrement de celui-ci dans un espace projectif plus grand.
3. La cubique Segre est une hypersurface cubique dans un espace projectif à 4 dimensions.
auto-conjugué
auto-polaire
1. Incident avec son image sous une polarité. En particulier, les points auto-conjugués d'une polarité forment la conique polaire.
2. Un triangle (ou triade) auto-conjugué (ou auto-polaire) est un triangle tel que chaque sommet correspond à l'arête opposée sous une polarité.
3. Une tétrade auto-conjuguée est un ensemble de 4 points tels que le pôle de chaque côté se trouve du côté opposé. ( Dolgachev 2012 , p.123)
septique
septimique
1. (Adjectif) Degré 7
2. (Nom) Variété projective de degré 7
3. (Nom) Une forme de degré 7
point sextactique
Un des 27 points d'une courbe elliptique d'ordre divisant 6 mais pas 3. ( Salmon 1879 , p.132)
sextique
Degré 6, en particulier une variété projective de degré 6
Facile
Un point simple d'une variété est un point non singulier. De manière plus générale d' un simple sous - variété W d'une variété V est un avec un anneau local régulier, ce qui signifie à peu près que la plupart des points de W sont de simples points de V .
singulier
Spécial d'une certaine manière, y compris, mais sans s'y limiter, le sentiment actuel d'avoir une singularité
fausser
Intersection dans un ensemble vide ou de dimension "attendue". Par exemple, les lignes obliques dans l'espace projectif à 3 ne se croisent pas, tandis que les plans obliques dans l'espace projectif à 4 espaces se croisent en un point.
solide
Un sous-espace linéaire en 3 dimensions de l'espace projectif, ou en d'autres termes l'analogue en 3 dimensions d'un point, d'une ligne ou d'un plan. ( Semple et Roth 1949 , p.4)
diviseur spécial
Un diviseur effectif dont le premier groupe de cohomologie (de la gerbe inversible associée) est non nul.
spinode
Une cuspide. ( Cayley 1852 ), Saumon (1879 , p.23)
Star
Un ensemble de lignes (et parfois de plans et ainsi de suite) avec un point commun, appelé le centre de l'étoile. ( Baker 1922a , vol 1, p. 109)
point stationnaire
Une cuspide. Voir Salmon (1879 , p. 23).
Steiner
Steinerian
1. Nommé d'après Jakob Steiner
2. Un stinérien est le lieu des points singuliers des quadriques polaires d'une hypersurface. Saumon (1879)
3. Une surface de Steiner est une certaine incorporation du plan projectif dans l'espace projectif 3.
4. un point de Steiner est l'un des 20 points situés sur 3 des droites de Pascal associées à 6 points sur une conique.
Steiner – Hesse
Un des noms de Cayley pour le Cayleyan . Voir Salmon (1879 , p. 352).
surface
Une surface abstraite associée à une intégration dans un espace projectif.
surabondance d'un diviseur sur une surface.
La dimension du premier groupe de cohomologie de la gerbe correspondante.
symétroïde
Les zéros du déterminant d'une matrice symétrique de formes linéaires
synthème
Une partition d'un ensemble de 6 éléments en 3 paires, ou un élément du groupe symétrique sur 6 points de forme cyclique 222. ( Dolgachev 2012 )
système
Une famille d'ensembles algébriques dans l'espace projectif; par exemple, un système de lignes est une famille de lignes.
syzygetique
Jumelé. À l'opposé de azygetic, ce qui signifie non apparié. Exemple: triade syzygetique, tétrade syzygetique, ensemble syzygetique, crayon syzygétique .
syzygie
1. Un point est en syzygie avec d'autres points s'il se trouve dans le sous-espace linéaire généré par eux. ( Baker 1922a , vol 1, p. 33) Une syzygie est une relation linéaire entre des points dans un espace affine.
2. Une relation algébrique entre les générateurs d'un anneau, en particulier un anneau d'invariants ou de covariants.
3. Une relation linéaire entre générateurs d'un module, ou plus généralement un élément du noyau d'un homomorphisme de modules.
4. Une syzygie globale est une résolution d'un module ou d'un faisceau.

T

tacnode
Un tacnode est un point d'une courbe où deux branches se rencontrent dans la même direction. ( Cayley 1852 )
tacnode-cuspide
Une singularité d'une courbe plane où un tacnode et une cuspide sont combinés en un même point. ( Saumon 1879 , p.207)
tact-invariant
Un invariant de deux courbes qui disparaît si elles se touchent. Voir Salmon (1879 , p.76).
cône tangent
Un cône tangent est un cône défini par les termes non nuls du plus petit degré dans la série de Taylor en un point d'une hypersurface.
équation tangentielle
L'équation tangentielle d'une courbe plane est une équation donnant la condition pour qu'une ligne soit tangente à la courbe. En d'autres termes, c'est l'équation de la double courbe. Ce n'est pas l'équation d'une tangente à une courbe.
ternaire
En fonction de trois variables, comme sous forme ternaire
tétrade
Un ensemble de 4 points
tétragramme
Synonyme de quadrilatère complet
tétraédroïde
Un tétraédroïde est un type spécial de surface de Kummer .
tétraèdre
Une configuration géométrique composée de 4 points et des 6 lignes joignant les paires. Ceci est similaire aux lignes et aux arêtes infinies d'un tétraèdre polyédrique , mais en géométrie algébrique, on n'inclut parfois pas les faces du tétraèdre.
tétrastigme
Synonyme de quadrangle complet
troisième genre
Tous les pôles sont simples (ordre 1)
triple
1. (Adjectif) en trois dimensions
2. (Nom) Une variété tridimensionnelle
générateur de torsion.
Un générateur d'un scroll (surface réglée) qui rencontre son générateur consécutif. Voir ( Semple et Roth 1949 , p.204).
torse
Surface développable .
transvectant
Un invariant dépendant de deux formes.
transversale
Une ligne rencontrant plusieurs autres lignes. Par exemple, 4 lignes génériques dans un 3-espace projectif ont 2 transversales qui les rencontrent toutes.
triade
Un ensemble de 3 points
tricirculaire
Une courbe tricirculaire est celle qui passe par les points circulaires à l'infini avec l'ordre 3.
tricuspidal
Avoir trois cuspides
trigone
Une courbe trigonale est une courbe de degré trois avec la ligne projective. Voir hyperelliptique.
trièdre
Un ensemble de 3 plans Un trièdre de Steiner est un ensemble de trois plans tritangents d'une surface cubique dont le point d'intersection n'est pas sur la surface. ( Semple et Roth 1949 , p.152)
coordonnées trilinéaires
Coordonnées basées sur la distance des côtés d'un triangle: coordonnées trilinéaires .
trinodal
Avoir trois nœuds
tripartite
Avoir trois composants connectés. Saumon (1879 , p.165)
trisécant
Une ligne rencontrant une variété en 3 points. Voir l' identité trisécante .
tritangente
Rencontre quelque chose en 3 points tangents, comme une conique tritangente à une courbe cubique ou un plan tritangent d'une surface cubique.
trope
Un trope est un espace tangent singulier (c'est-à-dire spécial). ( Cayley 1869 , p.202) Le mot est principalement utilisé pour un espace tangent d'une surface de Kummer le touchant le long d'une conique.
tordu
Un cube torsadé est un encastrement de degré 3 de la ligne projective dans un espace projectif à 3
total
Un ensemble de 5 partitions d'un ensemble de 6 éléments en trois paires, de sorte qu'aucun élément du total n'ait une paire en commun. Par exemple, {(12) (36) (45), (13) (24) (56), (14) (26) (35), (15) (23) (46), (16) (25) (34)} ( Dolgachev 2012 )
taper
Le type d'une surface projective est le nombre de plans tangents rencontrant un sous-espace linéaire générique de codimension 4. ( Semple & Roth 1949 , p.193)

U

ondulation
Un point d'ondulation d'une courbe est l'endroit où la tangente rencontre la courbe au quatrième ordre; aussi appelé hyperflex. Voir le point d'inflexion. ( Saumon 1879 , p. 35, 211)
unibranche
N'ayant qu'une seule succursale à la fois. Par exemple, une cuspide d'une courbe plane est unibranch, alors qu'un nœud ne l'est pas.
unicursal
Une courbe unicursale est une courbe rationnelle , c'est-à-dire birational à la ligne projective. Voir Salmon (1879 , p. 29).
unipartite
Connecté . Voir Salmon (1879 , p.165)
unirational
1. Une correspondance est appelée unirational si elle est génériquement injective, c'est-à-dire une carte rationnelle. ( Semple et Roth 1949 , p.20)
2. Une variété est appelée unirational si elle est finement couverte par une variété rationnelle.
point uni
Un point à l'intersection de la diagonale et une correspondance d'un ensemble à lui-même.
unode
Point double d'une surface dont le cône tangent se compose d'un double plan. Voir binode.

V

valence
valence
La valence ou valence d'une correspondance T sur une courbe est un nombre k tel que les diviseurs T ( P ) + kP sont tous linéairement équivalents. Une correspondance n'a pas besoin d'avoir une valence. ( Semple et Roth 1949 , p. 368)
Surface véronique
Article principal: surface Veronese
Une incrustation du plan projectif dans un espace projectif à 5 dimensions.
virtuel
Une estimation de quelque chose qui est souvent mais pas toujours correct, comme le genre virtuel, la dimension virtuelle, etc. Si un certain nombre est donné par la dimension d'un espace de sections d'une gerbe, le nombre virtuel correspondant est parfois donné par la caractéristique d'Euler correspondante, et égal à la dimension lorsque tous les groupes de cohomologie supérieurs disparaissent. Voir la surabondance.

W

la toile
Un système linéaire tridimensionnel. Voir "net" et "crayon". ( Semple et Roth 1949 , p.160)
Surface Weddle
Article principal: surface Weddle
Une surface quartique dans l'espace projectif donné par le lieu du sommet d'un cône passant par 6 points en position générale.
Point de Weierstrass
Article détaillé: point Weierstrass
Un point sur une courbe où la dimension de l'espace des fonctions rationnelles dont la seule singularité est un pôle d'un certain ordre en ce point est supérieure à la normale.
Wirtinger sextique
Article principal: sextique Wirtinger
Une courbe plane de degré 4 genre 6 avec des nœuds aux 6 points d'un quadrilatère complet .

XYZ

Invariant de Zeuthen – Segre
L' invariant de Zeuthen – Segre est inférieur de 4 à la caractéristique d'Euler d'une surface projective non singulière.

Voir également

Les références