CQFD - Q.E.D.

QED ou QED est un sigle de l' expression latine quod erat demonstrandum , signifiant « qui devait être démontré ». Littéralement, il énonce "ce qui devait être montré". Traditionnellement, l'abréviation est placée à la fin des preuves mathématiques et des arguments philosophiques dans les publications imprimées, pour indiquer que la preuve ou l'argument est complet.

Étymologie et premiers usages

L'expression quod erat demonstrandum est une traduction en latin du grec ὅπερ ἔδει δεῖξαι ( hoper edei deixai ; abrégé en ΟΕΔ ). Traduire de la phrase latine en anglais donne « ce qui devait être démontré ». Cependant, traduire l'expression grecque ὅπερ ἔδει δεῖξαι peut produire un sens légèrement différent. En particulier, puisque le verbe « δείκνυμι » signifie également montrer ou prouver , une traduction différente de l'expression grecque se lirait « La chose même qu'il était nécessaire d'avoir montré. »

L'expression grecque a été utilisée par de nombreux premiers mathématiciens grecs, dont Euclide et Archimède . L'expression latine traduite (et son acronyme associé) a ensuite été utilisée par de nombreux mathématiciens et philosophes post- Renaissance , dont Galilée , Spinoza , Isaac Barrow et Isaac Newton .

Philosophie moderne

Le Triangulorum Geometriæ de 1604 de Philippe van Lansberge a utilisé quod erat demonstrandum pour conclure quelques preuves ; d'autres se terminaient par des phrases telles que sigillatim deinceps demonstrabitur , magnitudo demonstranda est , et d'autres variantes.

Pendant la Renaissance européenne , les érudits écrivaient souvent en latin, et des expressions telles que QED étaient souvent utilisées pour conclure les preuves.

Le texte original de l' Éthique de Spinoza , Partie 1, QED est utilisé à la fin de Demonstratio of Propositio III sur la page de droite

L'utilisation la plus célèbre de CQFD dans un argument philosophique se trouve peut-être dans l' Éthique de Baruch Spinoza , publiée à titre posthume en 1677. Écrit en latin, il est considéré par beaucoup comme le magnum opus de Spinoza . Le style et le système du livre sont, comme dit Spinoza, "démontrés dans l' ordre géométrique ", avec des axiomes et des définitions suivis de propositions . Pour Spinoza, il s'agit d'une amélioration considérable par rapport au style d'écriture de René Descartes dans les Méditations , qui suit la forme d'un journal .

Différence avec le QEF

Il existe une autre phrase latine avec une signification légèrement différente, généralement raccourcie de la même manière, mais moins courante. Quod erat faciendum , provenant de la fermeture des géomètres grecs ὅπερ ἔδει ποιῆσαι ( espoir edei poiēsai ), signifiant « ce qui devait être fait ». En raison de la différence de sens, les deux phrases ne doivent pas être confondues.

Euclide a utilisé l'original grec de Quod Erat Faciendum (QEF) pour conclure des propositions qui n'étaient pas des preuves de théorèmes, mais des constructions d'objets géométriques. Par exemple, la première proposition d'Euclide montrant comment construire un triangle équilatéral , étant donné un côté, est conclue de cette façon.

Souvent, les mathématiciens n'utiliseront les faciendia qu'à la suite des résultats de définitions ou de démonstrations précédentes. Une idée de cela est exprimée dans Topics (Aristote) , où il passe en revue la différence entre une proposition et un problème. " Car s'il est dit de cette façon, " " Un animal qui marche sur deux pattes " est la définition de l'homme, n'est-ce pas ? ou '"Animal" est le genre de l'homme, n'est-ce pas ?' le résultat est une proposition : mais si ainsi, « est-ce qu'un animal qui marche sur deux pattes est une définition de l'homme ou non ? (ou « Est-ce que « animal » est son genre ou non ? ») le résultat est un problème. » Ceci est parallèle à l'idée de la différence entre un QED et un QEF Une proposition (QED) comme celle-ci fonctionne exactement de la même manière que pour Euclide : la proposition est destinée à prouver une propriété particulière, le problème (QEF) sur le D'autre part, il faut des propositions multiples pour prouver, voire construire une catégorie entièrement nouvelle. Les problèmes sont l'objectif de la dialectique à résoudre. De la même manière, il existe de nombreuses manières différentes de construire un système mathématique pour construire un triangle. Il n'y a qu'un seul triangle, cependant, et le triangle a des propriétés définies. De cette façon, la vérité est recherchée dans les mathématiques et la philosophie d'une manière congrue. Les Eléments d'Euclide pourraient être considérés comme un document dont l'objectif est de construire un dodécaèdre et un icosaèdre (Propositions 16 et 17 livre XIII). Le livre On Conics d'Appollonius I pourrait être considéré comme un document dont l'objectif est de construire une paire d'hyperboles à partir de deux lignes bissectrices (Proposition 50 du livre I). Les propositions ont historiquement été utilisées en logique et en mathématiques pour travailler à la résolution d'un problème, et ces domaines reflètent tous deux cela dans leurs fondements à travers Euclide et Aristote .

équivalent anglais

Il n'y a pas d'équivalent anglais formel commun, bien que la fin d'une preuve puisse être annoncée avec une simple déclaration telle que "cela complète la preuve", "comme requis", "comme souhaité", "comme prévu", "donc prouvé", "ergo", "si correct", ou d'autres locutions similaires. WWWWW ou W 5 - une abréviation de "Which Was What Was Wanted" - a été utilisé de la même manière. Souvent, cela est considéré comme plus ironique que QED ou le symbole de la pierre tombale Halmos (voir ci-dessous) .

Formes typographiques utilisées symboliquement

En raison de l'importance primordiale des preuves en mathématiques , les mathématiciens depuis l'époque d' Euclide ont développé des conventions pour délimiter le début et la fin des preuves. Dans les textes imprimés en anglais, les énoncés formels des théorèmes , des lemmes et des propositions sont mis en italique par tradition. Le début d'une preuve suit généralement immédiatement après et est indiqué par le mot « preuve » en gras ou en italique. En revanche, plusieurs conventions symboliques existent pour indiquer la fin d'une preuve.

Alors que certains auteurs utilisent encore l'abréviation classique, QED, elle est relativement rare dans les textes mathématiques modernes. Paul Halmos a été le pionnier de l'utilisation d'un carré noir solide à la fin d'une preuve comme symbole QED, une pratique qui est devenue la norme, bien que non universelle. Halmos a adopté cette utilisation d'un symbole des coutumes de la typographie des magazines dans lequel des formes géométriques simples avaient été utilisées pour indiquer la fin d'un article. Ce symbole fut plus tard appelé la pierre tombale , le symbole Halmos , ou même un halmos par les mathématiciens. Souvent, le symbole Halmos est dessiné au tableau pour signaler la fin d'une épreuve pendant une conférence, bien que cette pratique ne soit pas aussi courante que son utilisation dans le texte imprimé.

Le symbole de la pierre tombale apparaît dans TeX sous la forme du caractère (carré plein, \blacksquare) et parfois, sous la forme d'un (carré creux, \square ou \Box). Dans l'environnement de théorème AMS pour LaTeX , le carré creux est le symbole de fin de preuve par défaut. Unicode fournit explicitement le caractère de "fin de preuve", U+220E (∎). Certains auteurs utilisent d'autres symboles Unicode pour noter la fin d'une preuve, notamment ▮ (U+25AE, un rectangle vertical noir) et ‣ (U+2023, une puce triangulaire). D'autres auteurs ont adopté deux barres obliques (//) ou quatre barres obliques (////). Dans d'autres cas, les auteurs ont choisi de séparer les épreuves typographiquement, en les affichant sous forme de blocs indentés.

Utilisation humoristique moderne

Dans le livre Catch-22 de Joseph Heller , l'aumônier , ayant reçu l'ordre d'examiner une fausse lettre prétendument signée par lui (qu'il savait qu'il n'avait pas signée), a vérifié que son nom était bien là. Son enquêteur a répondu : « Alors vous l'avez écrit. CQFD » L'aumônier a dit qu'il ne l'a pas écrit et que ce n'était pas son écriture, ce à quoi l'enquêteur a répondu : « Alors vous avez à nouveau signé votre nom dans l'écriture de quelqu'un d'autre. »

Dans la comédie radiophonique de science-fiction de 1978, et plus tard dans les adaptations télévisées, romanes et cinématographiques de The Hitchhiker's Guide to the Galaxy , "QED" est mentionné dans l' entrée du Guide pour le poisson babel, lorsqu'il est affirmé que le babel le poisson – qui sert le but utile « ahurissant » de pouvoir traduire n'importe quelle langue parlée lorsqu'il est inséré dans l'oreille d'une personne – est utilisé comme preuve de l'existence et de la non-existence de Dieu. L'échange du roman est le suivant : « 'Je refuse de prouver que j'existe', dit Dieu, 'car la preuve nie la foi, et sans la foi je ne suis rien.' "Mais", dit Man, "Le poisson babel est un cadeau mort, n'est-ce pas? Il n'a pas pu évoluer par hasard. Cela prouve que vous existez, et donc, par vos propres arguments, vous ne le faites pas. CQFD. ' « Oh mon Dieu », dit Dieu, « je n'y avais pas pensé », et s'évanouit rapidement dans une bouffée de logique. »

Dans le roman Cryptonomicon de Neal Stephenson en 1999 , QED est utilisé comme punchline pour plusieurs anecdotes humoristiques, dans lesquelles les personnages se donnent beaucoup de mal pour prouver quelque chose de non mathématique.

La chanson "Airhead" de l' auteur-compositeur-interprète Thomas Dolby de 1988 comprend les paroles "Quod erat demonstrandum, baby", se référant à la vacuité évidente du sujet éponyme; et en réponse, une voix féminine couine, ravie, "Oooh... tu parles français !"

Voir également

Les références

Liens externes