Équations de Rabinovich – Fabrikant - Rabinovich–Fabrikant equations

Les équations de Rabinovich – Fabrikant sont un ensemble de trois équations différentielles ordinaires couplées présentant un comportement chaotique pour certaines valeurs des paramètres . Ils portent le nom de Mikhail Rabinovich et Anatoly Fabrikant , qui les ont décrits en 1979.

Description du système

Les équations sont:

${\ displaystyle {\ dot {x}} = y (z-1 + x ^ {2}) + \ gamma x \,}$

${\ displaystyle {\ dot {y}} = x (3z + 1-x ^ {2}) + \ gamma y \,}$

${\ displaystyle {\ dot {z}} = - 2z (\ alpha + xy), \,}$

où α , γ sont des constantes qui contrôlent l'évolution du système. Pour certaines valeurs de α et γ , le système est chaotique, mais pour d'autres, il tend vers une orbite périodique stable.

Danca et Chen notent que le système de Rabinovich – Fabrikant est difficile à analyser (en raison de la présence de termes quadratiques et cubiques) et que différents attracteurs peuvent être obtenus pour les mêmes paramètres en utilisant différentes tailles de pas dans l'intégration. De plus, récemment, un attracteur caché a été découvert dans le système Rabinovich – Fabrikant.

Points d'équilibre

Graphique des régions pour lesquelles existent des points d'équilibre . ${\ displaystyle {\ tilde {\ mathbf {x}}} _ {1,2,3,4}}$

Le système de Rabinovich – Fabrikant a cinq points d'équilibre hyperbolique , un à l'origine et quatre dépendant des paramètres du système α et γ :

${\ displaystyle {\ tilde {\ mathbf {x}}} _ {0} = (0,0,0)}$

${\ displaystyle {\ tilde {\ mathbf {x}}} _ {1,2} = \ left (\ pm q _ {-}, - {\ frac {\ alpha} {q _ {-}}}, 1- \ gauche (1 - {\ frac {\ gamma} {\ alpha}} \ droite) q _ {-} ^ {2} \ droite)}$

${\ displaystyle {\ tilde {\ mathbf {x}}} _ {3,4} = \ left (\ pm q _ {+}, - {\ frac {\ alpha} {q _ {+}}}, 1- \ gauche (1 - {\ frac {\ gamma} {\ alpha}} \ droite) q _ {+} ^ {2} \ droite)}$

où

${\ displaystyle q _ {\ pm} = {\ sqrt {\ frac {1 \ pm {\ sqrt {1- \ gamma \ alpha \ left (1 - {\ frac {3 \ gamma} {4 \ alpha}} \ right )}}} {2 \ left (1 - {\ frac {3 \ gamma} {4 \ alpha}} \ right)}}}}$

Ces points d'équilibre n'existent que pour certaines valeurs de α et γ > 0.

γ = 0,87, α = 1,1

Un exemple de comportement chaotique est obtenu pour γ = 0,87 et α = 1,1 avec des conditions initiales de (−1, 0, 0,5). La dimension de corrélation s'est avérée être de 2,19 ± 0,01. Les exposants de Lyapunov, λ sont environ 0,1981, 0, −0,6581 et la dimension de Kaplan – Yorke , D _KY ≈ 2,3010

γ = 0,1

Danca et Romera ont montré que pour γ = 0,1, le système est chaotique pour α = 0,98, mais progresse sur un cycle limite stable pour α = 0,14.

Graphique 3D paramétrique de la solution des équations de Rabinovich-Fabrikant pour α = 0,14 et γ = 0,1 (le cycle limite est représenté par la courbe rouge)

Voir également

• Liste des cartes chaotiques

Les références

Liens externes

• Weisstein, Eric W. «Équation de Rabinovich – Fabrikant». De MathWorld — Une ressource Web Wolfram.
• Chaotics Modélise une approche plus appropriée du graphe chaotique du système "Rabinovich – Fabrikant Equation"