Rayon de giration - Radius of gyration

Rayon de giration ou Rayon de Giration d'un corps autour de l' axe de rotation est définie comme étant la distance radiale à un point qui aurait un moment d'inertie identique à la distribution réelle de la masse du corps, si la masse totale du corps y ont été concentrés.

Mathématiquement, le rayon de giration est la distance quadratique moyenne des parties de l'objet à partir de son centre de masse ou d'un axe donné, selon l'application concernée. Il s'agit en fait de la distance perpendiculaire entre la masse ponctuelle et l'axe de rotation. On peut représenter une trajectoire d'un point en mouvement comme un corps. Ensuite, le rayon de giration peut être utilisé pour caractériser la distance typique parcourue par ce point.

Supposons qu'un corps se compose de particules chacune de masse . Soit leurs distances perpendiculaires à l'axe de rotation. Alors, le moment d'inertie du corps autour de l'axe de rotation est

Si toutes les masses sont les mêmes ( ), alors le moment d'inertie est .

Puisque ( étant la masse totale du corps),

A partir des équations ci-dessus, on a

Le rayon de giration est la distance quadratique moyenne des particules à partir de la formule de l'axe

Par conséquent, le rayon de giration d'un corps autour d'un axe donné peut également être défini comme la distance quadratique moyenne des différentes particules du corps à partir de l'axe de rotation. Il est également connu comme une mesure de la façon dont la masse d'un corps rigide en rotation est répartie autour de son axe de rotation.

Définition IUPAP

Rayon de giration (en science des polymères)( , unité : nm ou unité SI : m) : Pour une macromolécule composée d' éléments de masse, de masses , =1,2,…, , située à des distances fixes du centre de masse, le le rayon de giration est la racine carrée de la moyenne de masse de tous les éléments de masse, c'est-à-dire

Remarque : Les éléments de masse sont généralement pris comme les masses des groupes squelettiques constituant la macromolécule, par exemple, -CH 2 - dans le poly(méthylène).

Applications en génie des structures

En génie des structures , le rayon de giration bidimensionnel est utilisé pour décrire la distribution de la section transversale dans une colonne autour de son axe centroïde avec la masse du corps. Le rayon de giration est donné par la formule suivante :

ou

Où est le deuxième moment de l'aire et est l'aire de la section transversale totale.

Le rayon de giration est utile pour estimer la rigidité d'une colonne. Si les moments principaux du tenseur de giration bidimensionnel ne sont pas égaux, la colonne aura tendance à flamber autour de l'axe avec le moment principal le plus petit. Par exemple, une colonne avec une section transversale elliptique aura tendance à flamber dans la direction du plus petit demi-axe.

En ingénierie , où les corps continus de matière sont généralement les objets d'étude, le rayon de giration est généralement calculé comme une intégrale.

Applications en mécanique

Le rayon de giration autour d'un axe donné ( ) peut être calculé en fonction du moment d'inertie de la masse autour de cet axe et de la masse totale m ;

ou

est un scalaire , et n'est pas le tenseur des moments d'inertie .

Applications moléculaires

En physique des polymères , le rayon de giration est utilisé pour décrire les dimensions d'une chaîne polymère . Le rayon de giration d'une molécule particulière à un instant donné est défini comme :

où est la position moyenne des monomères. Comme détaillé ci-dessous, le rayon de giration est également proportionnel à la distance quadratique moyenne entre les monomères :

Comme troisième méthode, le rayon de giration peut également être calculé en sommant les moments principaux du tenseur de giration .

Étant donné que les conformations de la chaîne d'un échantillon de polymère sont en nombre quasi infini et changent constamment au fil du temps, le "rayon de giration" discuté en physique des polymères doit généralement être compris comme une moyenne sur toutes les molécules de polymère de l'échantillon et au fil du temps. C'est-à-dire le rayon de giration qui est mesuré en moyenne dans le temps ou l' ensemble :

où les parenthèses angulaires désignent la moyenne d'ensemble .

Une chaîne polymère gouvernée de manière entropique (c'est-à-dire dans des conditions dites thêta) suit une marche aléatoire en trois dimensions. Le rayon de giration pour ce cas est donné par

Notez que bien qu'il représente la longueur du contour du polymère, il dépend fortement de la rigidité du polymère et peut varier sur des ordres de grandeur. est réduit en conséquence.

L'une des raisons pour lesquelles le rayon de giration est une propriété intéressante est qu'il peut être déterminé expérimentalement avec la diffusion statique de la lumière ainsi qu'avec la diffusion des neutrons et des rayons X aux petits angles . Cela permet aux physiciens théoriques des polymères de comparer leurs modèles à la réalité. Le rayon hydrodynamique est numériquement similaire et peut être mesuré avec la diffusion dynamique de la lumière (DLS).

Dérivation de l'identité

Pour montrer que les deux définitions de sont identiques, nous multiplions d'abord la somme dans la première définition :

En faisant la sommation sur les deux derniers termes et en utilisant la définition de donne la formule

Applications en analyse de données géographiques

Dans l'analyse des données, le rayon de giration est utilisé pour calculer de nombreuses statistiques différentes, y compris la répartition des emplacements géographiques. Ces emplacements ont récemment été collectés auprès des utilisateurs de médias sociaux pour enquêter sur les mentions typiques d'un utilisateur. Cela peut être utile pour comprendre comment un certain groupe d'utilisateurs sur les réseaux sociaux utilise la plate-forme.

Remarques

Les références

  • Grosberg AY et Khokhlov AR. (1994) Physique statistique des macromolécules (traduit par Atanov YA), AIP Press. ISBN  1-56396-071-0
  • Flory PJ. (1953) Principles of Polymer Chemistry , Cornell University, pp. 428-429 (Annexe C du Chapitre X).