Équation de différence rationnelle - Rational difference equation

Une équation de différence rationnelle est une équation de différence non linéaire de la forme

${\ displaystyle x_ {n + 1} = {\ frac {\ alpha + \ sum _ {i = 0} ^ {k} \ beta _ {i} x_ {ni}} {A + \ sum _ {i = 0} ^ {k} B_ {i} x_ {ni}}} ~,}$

où les conditions initiales sont telles que le dénominateur ne s'évanouit jamais pour tout n . ${\ displaystyle x_ {0}, x _ {- 1}, \ dots, x _ {- k}}$

Équation de différence rationnelle du premier ordre

Une équation de différence rationnelle du premier ordre est une équation de différence non linéaire de la forme

${\ displaystyle w_ {t + 1} = {\ frac {aw_ {t} + b} {cw_ {t} + d}}.}$

Lorsque et la condition initiale sont des nombres réels, cette équation de différence est appelée une équation de différence de Riccati . ${\ Displaystyle a, b, c, d}$${\ displaystyle w_ {0}}$

Une telle équation peut être résolue en écrivant comme une transformation non linéaire d'une autre variable qui elle-même évolue linéairement. Ensuite, des méthodes standard peuvent être utilisées pour résoudre l' équation de différence linéaire dans . ${\ displaystyle w_ {t}}$${\ displaystyle x_ {t}}$${\ displaystyle x_ {t}}$

Résolution d'une équation du premier ordre

Première approche

Une approche pour développer la variable transformée , quand , est d'écrire ${\ displaystyle x_ {t}}$${\ displaystyle ad-bc \ neq 0}$

${\ displaystyle y_ {t + 1} = \ alpha - {\ frac {\ beta} {y_ {t}}}}$

où et et où . ${\ displaystyle \ alpha = (a + d) / c}$${\ displaystyle \ beta = (ad-bc) / c ^ {2}}$${\ displaystyle w_ {t} = y_ {t} -d / c}$

Il peut être démontré que d' autres écrits donnent ${\ displaystyle y_ {t} = x_ {t + 1} / x_ {t}}$

${\ displaystyle x_ {t + 2} - \ alpha x_ {t + 1} + \ beta x_ {t} = 0.}$

Deuxième approche

Cette approche donne une équation de différence de premier ordre pour au lieu d'une équation de second ordre, pour le cas dans lequel est non négatif. Écrivez ce qui implique , où est donné par et où . Ensuite, on peut montrer qu'il évolue en fonction de ${\ displaystyle x_ {t}}$${\ displaystyle (da) ^ {2} + 4bc}$${\ displaystyle x_ {t} = 1 / (\ eta + w_ {t})}$${\ displaystyle w_ {t} = (1- \ eta x_ {t}) / x_ {t}}$${\ displaystyle \ eta}$${\ displaystyle \ eta = (d-a + r) / 2c}$${\ displaystyle r = {\ sqrt {(da) ^ {2} + 4bc}}}$${\ displaystyle x_ {t}}$

${\ displaystyle x_ {t + 1} = \ gauche ({\ frac {d- \ eta c} {\ eta c + a}} \ droite) x_ {t} + {\ frac {c} {\ eta c + une}}.}$

Troisième approche

L'équation

${\ displaystyle w_ {t + 1} = {\ frac {aw_ {t} + b} {cw_ {t} + d}}}$

peut également être résolu en le traitant comme un cas particulier de l' équation matricielle plus générale

${\ displaystyle X_ {t + 1} = - (E + BX_ {t}) (C + AX_ {t}) ^ {- 1},}$

où tous les A, B, C, E et X sont des matrices n × n (dans ce cas n = 1); la solution est

${\ displaystyle X_ {t} = N_ {t} D_ {t} ^ {- 1}}$

où

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} N_ {t} \\ D_ {t} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} -B & -E \\ A&C \ end {pmatrix}} ^ {t} { \ begin {pmatrix} X_ {0} \\ I \ end {pmatrix}}.}$

Application

Il a été montré qu'une équation de Riccati à matrice dynamique de la forme

${\ displaystyle H_ {t-1} = K + A'H_ {t} A-A'H_ {t} C (C'H_ {t} C) ^ {- 1} C'H_ {t} A,}$

qui peuvent survenir dans certains problèmes de contrôle optimal en temps discret , peuvent être résolus en utilisant la deuxième approche ci-dessus si la matrice C n'a qu'une ligne de plus que la colonne.

Les références

Lectures complémentaires

• Simons, Stuart, «Une équation de différence non linéaire», Mathematical Gazette 93, novembre 2009, 500-504.