Fonction rationnelle - Rational function

En mathématiques , une fonction rationnelle est toute fonction qui peut être définie par une fraction rationnelle , qui est une fraction algébrique telle que le numérateur et le dénominateur sont des polynômes . Les coefficients des polynômes n'ont pas besoin d'être des nombres rationnels ; ils peuvent être pris dans n'importe quel domaine K . Dans ce cas, on parle de fonction rationnelle et de fraction rationnelle sur K . Les valeurs des variables peuvent être prises dans tout champ L contenant K . Alors le domaine de la fonction est l'ensemble des valeurs des variables dont le dénominateur n'est pas nul, et le codomaine est L .

L'ensemble des fonctions rationnelles sur un corps K est un corps, le corps des fractions de l' anneau des fonctions polynomiales sur K .

Définitions

Une fonction est appelée fonction rationnelle si et seulement si elle peut être écrite sous la forme ${\style d'affichage f(x)}$

${\style d'affichage f(x)={\frac {P(x)}{Q(x)}}}$

où et sont des fonctions polynomiales de et n'est pas la fonction zéro . Le domaine de est l'ensemble de toutes les valeurs de dont le dénominateur n'est pas nul. ${\style d'affichage P\,}$${\displaystyle Q\,}$${\style d'affichage x\,}$${\displaystyle Q\,}$${\style d'affichage f\,}$${\style d'affichage x\,}$${\style d'affichage Q(x)\,}$

Cependant, si et ont un plus grand commun diviseur polynomial non constant , alors la définition et produit une fonction rationnelle ${\displaystyle \textstyle P}$${\displaystyle \textstyle Q}$ ${\displaystyle \textstyle R}$${\displaystyle \textstyle P=P_{1}R}$${\displaystyle \textstyle Q=Q_{1}R}$

${\displaystyle f_{1}(x)={\frac {P_{1}(x)}{Q_{1}(x)}},}$

qui peut avoir un domaine plus grand que , et est égal à sur le domaine de C'est un usage courant d'identifier et , c'est-à-dire d'étendre « par continuité » le domaine de à celui de En effet, on peut définir une fraction rationnelle comme une équivalence classe de fractions de polynômes, où deux fractions et sont considérées comme équivalentes si . Dans ce cas est équivalent à . ${\style d'affichage f(x)}$${\style d'affichage f(x)}$${\style d'affichage f(x).}$${\style d'affichage f(x)}$${\style d'affichage f_{1}(x)}$${\style d'affichage f(x)}$${\style d'affichage f_{1}(x).}$${\style d'affichage {\frac {A(x)}{B(x)}}}$${\style d'affichage {\frac {C(x)}{D(x)}}}$${\style d'affichage A(x)D(x)=B(x)C(x)}$${\style d'affichage {\frac {P(x)}{Q(x)}}}$${\style d'affichage {\frac {P_{1}(x)}{Q_{1}(x)}}}$

Une fonction rationnelle propre est une fonction rationnelle dans laquelle le degré de est inférieur au degré de et les deux sont de vrais polynômes , nommés par analogie à une fraction propre dans . ${\style d'affichage P(x)}$${\style d'affichage Q(x)}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Degré

Il existe plusieurs définitions non équivalentes du degré d'une fonction rationnelle.

Le plus souvent, le degré d'une fonction rationnelle est le maximum des degrés de ses polynômes constitutifs P et Q , lorsque la fraction est réduite aux termes les plus bas . Si le degré de f est d , alors l'équation

${\style d'affichage f(z)=w\,}$

a d solutions distinctes dans z à l' exception de certaines valeurs de w , appelées valeurs critiques , où deux ou plusieurs solutions coïncident ou où une solution est rejetée à l'infini (c'est-à-dire lorsque le degré de l'équation diminue après avoir effacé le dénominateur ).

Dans le cas des coefficients complexes , une fonction rationnelle de degré un est une transformation de Möbius .

Le degré du graphe d'une fonction rationnelle n'est pas le degré tel que défini ci-dessus : c'est le maximum du degré du numérateur et un plus le degré du dénominateur.

Dans certains contextes, comme dans l'analyse asymptotique , le degré d'une fonction rationnelle est la différence entre les degrés du numérateur et du dénominateur.

Dans la synthèse de réseau et l' analyse de réseau , une fonction rationnelle de degré deux (c'est-à-dire le rapport de deux polynômes de degré au plus deux) est souvent appelée un fonction biquadratique .

Exemples

Exemples de fonctions rationnelles

Fonction rationnelle de degré 3, avec un graphique de degré 3 :${\displaystyle y={\frac {x^{3}-2x}{2(x^{2}-5)}}}$

Fonction rationnelle de degré 2, avec un graphique de degré 3 :${\displaystyle y={\frac {x^{2}-3x-2}{x^{2}-4}}}$

La fonction rationnelle

${\displaystyle f(x)={\frac {x^{3}-2x}{2(x^{2}-5)}}}$

n'est pas défini à

${\displaystyle x^{2}=5\Leftrightarrow x=\pm {\sqrt {5}}.}$

Il est asymptotique comme${\style d'affichage {\tfrac {x}{2}}}$${\displaystyle x\à \infty .}$

La fonction rationnelle

${\displaystyle f(x)={\frac {x^{2}+2}{x^{2}+1}}}$

est défini pour tous les nombres réels , mais pas pour tous les nombres complexes , car si x était une racine carrée de (c'est-à-dire l' unité imaginaire ou son négatif), alors l'évaluation formelle conduirait à une division par zéro : ${\style d'affichage -1}$

${\displaystyle f(i)={\frac {i^{2}+2}{i^{2}+1}}={\frac {-1+2}{-1+1}}={\ fraction {1}{0}},}$

qui est indéfini.

Une fonction constante telle que f ( x ) = est une fonction rationnelle puisque les constantes sont des polynômes. La fonction elle-même est rationnelle, même si la valeur de f ( x ) est irrationnelle pour tout x .

Chaque fonction polynomiale est une fonction rationnelle avec une fonction qui ne peut pas être écrite sous cette forme, telle qu'elle n'est pas une fonction rationnelle. Cependant, l'adjectif « irrationnel » n'est généralement pas utilisé pour les fonctions. ${\style d'affichage f(x)=P(x)}$${\style d'affichage Q(x)=1.}$${\style d'affichage f(x)=\sin(x),}$

La fonction rationnelle est égale à 1 pour tout x sauf 0, où il existe une singularité amovible . La somme, le produit ou le quotient (à l'exception de la division par le polynôme zéro) de deux fonctions rationnelles est lui-même une fonction rationnelle. Cependant, le processus de réduction à la forme standard peut entraîner par inadvertance la suppression de telles singularités à moins que des précautions ne soient prises. Utiliser la définition des fonctions rationnelles comme classes d'équivalence permet de contourner cela, puisque x / x est équivalent à 1/1. ${\displaystyle f(x)={\tfrac {x}{x}}}$

Taylor série

Les coefficients d'une série de Taylor de toute fonction rationnelle satisfont à une relation de récurrence linéaire , qui peut être trouvée en assimilant la fonction rationnelle à une série de Taylor avec des coefficients indéterminés et en collectant des termes similaires après avoir effacé le dénominateur.

Par exemple,

${\displaystyle {\frac {1}{x^{2}-x+2}}=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}.}$

En multipliant par le dénominateur et en distribuant,

${\displaystyle 1=(x^{2}-x+2)\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}}$

${\displaystyle 1=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k+2}-\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{ k+1}+2\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}.}$

Après avoir ajusté les indices des sommes pour obtenir les mêmes puissances de x , on obtient

${\displaystyle 1=\sum _{k=2}^{\infty }a_{k-2}x^{k}-\sum _{k=1}^{\infty }a_{k-1}x ^{k}+2\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}.}$

La combinaison de termes similaires donne

${\displaystyle 1=2a_{0}+(2a_{1}-a_{0})x+\sum _{k=2}^{\infty }(a_{k-2}-a_{k-1}+ 2a_{k})x^{k}.}$

Puisque cela est vrai pour tout x dans le rayon de convergence de la série originale de Taylor, nous pouvons calculer comme suit. Puisque le terme constant de gauche doit être égal au terme constant de droite, il s'ensuit que

${\displaystyle a_{0}={\frac {1}{2}}.}$

Puis, puisqu'il n'y a pas de puissances de x à gauche, tous les coefficients à droite doivent être nuls, d'où il suit que

${\displaystyle a_{1}={\frac {1}{4}}}$

${\displaystyle a_{k}={\frac {1}{2}}(a_{k-1}-a_{k-2})\quad {\text{for}}\ k\geq 2.}$

Inversement, toute séquence qui satisfait une récurrence linéaire détermine une fonction rationnelle lorsqu'elle est utilisée comme coefficients d'une série de Taylor. Ceci est utile pour résoudre de telles récurrences, car en utilisant la décomposition en fractions partielles, nous pouvons écrire n'importe quelle fonction rationnelle propre comme somme de facteurs de la forme 1 / ( ax + b ) et les développer en séries géométriques , donnant une formule explicite pour le Taylor coefficients; c'est la méthode de génération de fonctions .

Algèbre abstraite et notion géométrique

En algèbre abstraite, le concept de polynôme est étendu pour inclure des expressions formelles dans lesquelles les coefficients du polynôme peuvent être tirés de n'importe quel domaine . Dans ce cadre étant donné un corps F et un certain X indéterminé , une expression rationnelle est tout élément du corps des fractions de l' anneau polynomial F [ X ]. Toute expression rationnelle peut être écrite comme le quotient de deux polynômes P / Q avec Q 0, bien que cette représentation ne soit pas unique. P / Q est équivalent à R / S , pour les polynômes P , Q , R et S , lorsque PS = QR . Cependant, puisque F [ X ] est un domaine de factorisation unique , il existe une représentation unique pour toute expression rationnelle P / Q avec des polynômes P et Q de degré le plus bas et Q choisi pour être unitaire . Ceci est similaire à la façon dont une fraction d'entiers peut toujours être écrite de manière unique dans les termes les plus bas en annulant les facteurs communs.

Le domaine des expressions rationnelles est noté F ( X ). Ce champ est dit généré (en tant que champ) sur F par (un élément transcendantal ) X , car F ( X ) ne contient aucun sous-champ propre contenant à la fois F et l'élément X .

Fonctions rationnelles complexes

• Ensembles de Julia pour les cartes rationnelles
• 

  ${\displaystyle {\frac {1}{az^{5}+z^{3}+bz}}}$

• 

  ${\displaystyle {\frac {1}{z^{3}+z(-3-3i)}}}$

• 

  ${\displaystyle {\frac {z^{2}-0,2+0,7i}{z^{2}+0,917}}}$

• 

  ${\displaystyle {\frac {z^{2}}{z^{9}-z+0.025}}}$

En analyse complexe , une fonction rationnelle

${\displaystyle f(z)={\frac {P(z)}{Q(z)}}}$

est le rapport de deux polynômes à coefficients complexes, où Q n'est pas le polynôme nul et P et Q n'ont pas de facteur commun (cela évite à f de prendre la valeur indéterminée 0/0).

Le domaine de f est l'ensemble des nombres complexes tels que et son domaine est l'ensemble des nombres complexes w tels que${\style d'affichage Q(z)\neq 0,}$${\style d'affichage P(z)\neq wQ(z).}$

Toute fonction rationnelle peut être naturellement étendue à une fonction dont le domaine et l'étendue sont l'ensemble de la sphère de Riemann ( ligne projective complexe ).

Les fonctions rationnelles sont des exemples représentatifs de fonctions méromorphes .

L'itération de fonctions rationnelles (cartes) sur la sphère de Riemann crée des systèmes dynamiques discrets .

Notion de fonction rationnelle sur une variété algébrique

Comme les polynômes , les expressions rationnelles peuvent aussi être généralisées à n indéterminées X ₁ ,..., X _n , en prenant le corps des fractions de F [ X ₁ ,..., X _n ], que l'on note F ( X ₁ , ..., X _n ).

Une version étendue de l'idée abstraite de fonction rationnelle est utilisée en géométrie algébrique. Là, le champ de fonction d'une variété algébrique V est formé comme le champ de fractions de l' anneau de coordonnées de V (plus précisément dit, d'un ouvert affine dense de Zariski dans V ). Ses éléments f sont considérés comme des fonctions régulières au sens de la géométrie algébrique sur des ouverts non vides U , et peuvent également être vus comme des morphismes de la droite projective .

Applications

Les fonctions rationnelles sont utilisées en analyse numérique pour l' interpolation et l' approximation de fonctions, par exemple les approximations de Padé introduites par Henri Padé . Les approximations en termes de fonctions rationnelles sont bien adaptées aux systèmes de calcul formel et à d'autres logiciels numériques . Comme les polynômes, ils peuvent être évalués directement, et en même temps ils expriment un comportement plus diversifié que les polynômes.

Les fonctions rationnelles sont utilisées pour approximer ou modéliser des équations plus complexes en science et en ingénierie, y compris les champs et les forces en physique, la spectroscopie en chimie analytique, la cinétique enzymatique en biochimie, les circuits électroniques, l'aérodynamique, les concentrations médicales in vivo, les fonctions d'onde pour les atomes et les molécules, l'optique et la photographie pour améliorer la résolution de l'image, l'acoustique et le son.

En traitement du signal , la transformée de Laplace (pour les systèmes continus) ou la transformée en z (pour les systèmes à temps discret) de la réponse impulsionnelle des systèmes linéaires invariants dans le temps (filtres) couramment utilisés avec une réponse impulsionnelle infinie sont des fonctions rationnelles sur des nombres complexes .

Voir également

• Champ de fractions
• Décomposition en fractions partielles
• Fractions partielles en intégration
• Champ fonctionnel d'une variété algébrique
• Fractions algébriques  - une généralisation des fonctions rationnelles qui permet de prendre des racines entières

Les références

• "Fonction rationnelle" , Encyclopédie des mathématiques , EMS Press , 2001 [1994]
• Appuyez sur, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT ; Flannery, BP (2007), "Section 3.4. Interpolation et extrapolation de fonctions rationnelles" , Recettes numériques : L'art de l'informatique scientifique (3e éd.), New York : Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8

Liens externes

• Visualisation dynamique des fonctions rationnelles avec JSXGraph