Ellipsoïde de référence - Reference ellipsoid

Sphère aplatie

En géodésie , un ellipsoïde de référence est une surface mathématiquement définie qui se rapproche du géoïde , qui est la figure la plus vraie et imparfaite de la Terre , ou d'un autre corps planétaire, par opposition à une sphère parfaite, lisse et inaltérée, qui prend en compte les ondulations de les organes de la gravité due à des variations dans la composition et la densité de l' intérieur , ainsi que la suivante aplatissement provoquée par la force centrifuge de la rotation de ces objets massifs (pour les corps planétaires qui ne tournent). En raison de leur relative simplicité, les ellipsoïdes de référence sont utilisés comme surface préférée sur laquelle les calculs de réseau géodésique sont effectués et les coordonnées de points telles que la latitude , la longitude et l' élévation sont définies.

Dans le contexte de la normalisation et des applications géographiques, un ellipsoïde de référence géodésique est le modèle mathématique utilisé comme base par un système de référence spatiale ou des définitions de données géodésiques .

Paramètres ellipsoïdes

En 1687, Isaac Newton a publié les Principia dans lesquels il a inclus une preuve qu'un corps fluide rotatif auto-gravitant en équilibre prend la forme d'un ellipsoïde de révolution aplati ("aplati") , généré par une ellipse tournée autour de son petit diamètre; une forme qu'il a appelée un sphéroïde aplati .

En géophysique, géodésie et domaines connexes, le mot «ellipsoïde» est compris comme signifiant «ellipsoïde de révolution aplati», et le terme plus ancien «sphéroïde aplati» est à peine utilisé. Pour les corps qui ne peuvent pas être bien approximés par un ellipsoïde de révolution, un ellipsoïde triaxial (ou scalène) est utilisé.

La forme d'un ellipsoïde de révolution est déterminée par les paramètres de forme de cette ellipse . Le demi-grand axe de l'ellipse, $a$ , devient le rayon équatorial de l'ellipsoïde: le demi-petit axe de l'ellipse, $b$ , devient la distance du centre à l'un ou l'autre des pôles. Ces deux longueurs spécifient complètement la forme de l'ellipsoïde.

Dans les publications de géodésie, cependant, il est courant de spécifier le demi-grand axe (rayon équatorial) $a$ et l' aplatissement $f$ , définis comme:

{\ displaystyle f = {\ frac {ab} {a}}.}

Autrement dit, $f$ est la quantité d'aplatissement à chaque pôle, par rapport au rayon à l'équateur. Ceci est souvent exprimé en fraction 1 / $m$ ; $m = 1 / f$ étant alors "l'aplatissement inverse". Un grand nombre d'autres paramètres d'ellipse sont utilisés en géodésie mais ils peuvent tous être liés à un ou deux des ensembles $a$ , $b$ et $f$ .

Un grand nombre d'ellipsoïdes ont été utilisés pour modéliser la Terre dans le passé, avec différentes valeurs supposées de $a$ et $b$ ainsi que différentes positions supposées du centre et différentes orientations d'axe par rapport à la Terre solide. À partir de la fin du XXe siècle, des mesures améliorées des orbites des satellites et des positions des étoiles ont fourni des déterminations extrêmement précises du centre de masse de la Terre et de son axe de révolution; et ces paramètres ont également été adoptés pour tous les ellipsoïdes de référence modernes .

L'ellipsoïde WGS-84 , largement utilisé pour la cartographie et la navigation par satellite a $f$ proche de 1/300 (plus précisément, 1 / 298.257223563, par définition), correspondant à une différence des demi-axes majeurs et mineurs d'environ 21 km (13 miles) (plus précisément 21,3846858 km). A titre de comparaison, la Terre Lune est encore moins elliptique, avec un méplat inférieur à 1/825, tandis que Jupiter est visiblement aplatie à environ 1/15 et l' un des de Saturne lunes triaxial, Télesto , est fortement aplatie, avec $f$ compris entre 1/3 à 1/2 (ce qui signifie que le diamètre polaire est compris entre 50% et 67% de l'équatorial.

Coordonnées

Une utilisation principale des ellipsoïdes de référence est de servir de base à un système de coordonnées de latitude (nord / sud), de longitude (est / ouest) et de hauteur ellipsoïdale.

À cette fin, il est nécessaire d'identifier un méridien zéro , qui pour la Terre est généralement le méridien premier . Pour les autres corps, une caractéristique de surface fixe est généralement référencée, qui pour Mars est le méridien passant par le cratère Airy-0 . Il est possible que de nombreux systèmes de coordonnées différents soient définis sur le même ellipsoïde de référence.

La longitude mesure l' angle de rotation entre le méridien zéro et le point mesuré. Par convention pour la Terre, la Lune et le Soleil, elle est exprimée en degrés allant de -180 ° à + 180 °. Pour les autres corps, une plage de 0 ° à 360 ° est utilisée.

La latitude mesure la proximité des pôles ou de l'équateur d'un point le long d'un méridien et est représentée par un angle de -90 ° à + 90 °, où 0 ° est l'équateur. La latitude commune ou géodésique est l'angle entre le plan équatorial et une ligne normale à l'ellipsoïde de référence. Selon l'aplatissement, il peut être légèrement différent de la latitude géocentrique (géographique) , qui est l'angle entre le plan équatorial et une ligne du centre de l'ellipsoïde. Pour les corps non terrestres, les termes planétographique et planétocentrique sont utilisés à la place.

Les coordonnées d'un point géodésique sont habituellement indiquées en tant que latitude géodésique $ϕ$ et longitude $λ$ (toutes deux spécifiant la direction dans l'espace de la normale géodésique contenant le point) et la hauteur ellipsoïdale $h$ du point au-dessus ou au-dessous de l'ellipsoïde de référence le long de sa normale. Si ces coordonnées sont données, on peut calculer les coordonnées rectangulaires géocentriques du point comme suit:

{\ displaystyle {\ begin {aligné} X & = {\ big (} N (\ phi) + h {\ big)} \ cos {\ phi} \ cos {\ lambda} \\ Y & = {\ big (} N (\ phi) + h {\ big)} \ cos {\ phi} \ sin {\ lambda} \\ Z & = \ left ({\ frac {b ^ {2}} {a ^ {2}}} N ( \ phi) + h \ droite) \ sin {\ phi} \ end {aligné}}}

où

{\ displaystyle N (\ phi) = {\ frac {a ^ {2}} {\ sqrt {a ^ {2} \ cos ^ {2} \ phi + b ^ {2} \ sin ^ {2} \ phi }}},}

et $a$ et $b$ sont respectivement le rayon équatorial ( demi-grand axe ) et le rayon polaire ( semi-petit axe ). $N$ est le rayon de courbure dans la verticale principale .

En revanche, l'extraction de $ϕ$ , $λ$ et $h à$ partir des coordonnées rectangulaires nécessite généralement une itération . Une méthode simple est donnée dans une publication OSGB et également dans des notes Web. Des méthodes plus sophistiquées sont décrites dans le système géodésique .

Ellipsoïdes historiques de la Terre

Rayons équatorial (

a

), polaire (

b

) et moyen de la Terre tels que définis dans la révision du Système géodésique mondial de 1984 (pas à l'échelle)

Actuellement, l'ellipsoïde de référence le plus couramment utilisé, et celui utilisé dans le contexte du Global Positioning System, est celui défini par WGS 84 .

Les ellipsoïdes de référence traditionnels ou les datums géodésiques sont définis régionalement et donc non géocentriques, par exemple ED50 . Les datums géodésiques modernes sont établis à l'aide du GPS et seront donc géocentriques, par exemple WGS 84.

Voir également

Remarques

Les références

PK Seidelmann (président), et al. (2005), «Rapport du Groupe de travail AIU / IAG sur les coordonnées cartographiques et les éléments de rotation: 2003», Mécanique céleste et astronomie dynamique , 91, pp. 203–215.
- Adresse Web: https://astrogeology.usgs.gov/Projects/WGCCRE
Spécification d'implémentation OpenGIS pour les informations géographiques - Accès simple aux fonctionnalités - Partie 1: Architecture commune , Annexe B.4. 2005-11-30
- Adresse Web: http://www.opengeospatial.org

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