Sexagésimal - Sexagesimal

Le sexagésimal , également connu sous le nom de base 60 ou sexagénaire , est un système numérique avec soixante comme base . Il est originaire des anciens Sumériens au 3e millénaire avant JC, a été transmis aux anciens Babyloniens et est toujours utilisé, sous une forme modifiée, pour mesurer le temps , les angles et les coordonnées géographiques .

Le nombre 60, un nombre hautement composite supérieur , a douze facteurs , à savoir 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 et 60, dont 2, 3 et 5 sont premiers nombres . Avec autant de facteurs, de nombreuses fractions impliquant des nombres sexagésimaux sont simplifiées. Par exemple, une heure peut être divisée uniformément en sections de 30 minutes, 20 minutes, 15 minutes, 12 minutes, 10 minutes, 6 minutes, 5 minutes, 4 minutes, 3 minutes, 2 minutes et 1 minute. 60 est le plus petit nombre divisible par chaque nombre de 1 à 6 ; c'est-à-dire qu'il s'agit du plus petit commun multiple de 1, 2, 3, 4, 5 et 6.

Dans cet article, tous les chiffres sexagésimaux sont représentés sous forme de nombres décimaux, sauf indication contraire. Par exemple, 10 signifie le nombre dix et 60 signifie le nombre soixante .

Origine

En utilisant le pouce et en pointant chacun des trois os de chaque doigt à tour de rôle, il est possible pour les gens de compter sur leurs doigts jusqu'à 12 sur une seule main. Un système de comptage traditionnel encore utilisé dans de nombreuses régions d'Asie fonctionne de cette manière et pourrait aider à expliquer l'apparition de systèmes de numération basés sur 12 et 60 en plus de ceux basés sur 10, 20 et 5. Dans ce système, l'autre main d'une personne compterait le nombre de fois que 12 a été atteint sur leur première main. Les cinq doigts compteraient cinq séries de 12, ou soixante. Cependant, le système sexagésimal babylonien était basé sur six groupes de dix, et non cinq groupes de 12.

Selon Otto Neugebauer , les origines du sexagésimal ne sont pas aussi simples, cohérentes ou singulières dans le temps qu'elles sont souvent décrites. Tout au long de leurs nombreux siècles d'utilisation, qui se poursuit aujourd'hui pour des sujets spécialisés tels que le temps, les angles et les systèmes de coordonnées astronomiques, les notations sexagésimales ont toujours contenu un fort courant sous-jacent de notation décimale, comme dans la façon dont les chiffres sexagésimaux sont écrits. Leur utilisation a également toujours inclus (et continue d'inclure) des incohérences dans l'endroit et la manière dont les différentes bases doivent représenter les nombres, même dans un seul texte.

Premiers signes proto-cunéiformes (4e millénaire avant notre ère) et cunéiformes pour le système sexagésimal (60, 600, 3600, etc.)

Le moteur le plus puissant pour une utilisation rigoureuse et entièrement cohérente du sexagésimal a toujours été ses avantages mathématiques pour l'écriture et le calcul des fractions. Dans les textes anciens, cela se manifeste par le fait que le sexagésimal est utilisé de la manière la plus uniforme et la plus cohérente dans les tableaux mathématiques de données. Un autre facteur pratique qui a contribué à étendre l'utilisation du sexagésimal dans le passé, même si de manière moins cohérente que dans les tableaux mathématiques, était ses avantages décisifs pour les commerçants et les acheteurs pour faciliter les transactions financières quotidiennes lorsqu'elles impliquaient de négocier et de diviser de plus grandes quantités de marchandises. Le premier sicle en particulier était un soixantième de mana, bien que les Grecs aient par la suite contraint cette relation dans le rapport plus compatible avec la base 10 d'un sicle étant un cinquantième de mina .

En dehors des tableaux mathématiques, les incohérences dans la façon dont les nombres étaient représentés dans la plupart des textes s'étendaient jusqu'aux symboles cunéiformes les plus élémentaires utilisés pour représenter les quantités numériques. Par exemple, le symbole cunéiforme pour 1 était une ellipse faite en appliquant l'extrémité arrondie du stylet à un angle par rapport à l'argile, tandis que le symbole sexagésimal pour 60 était un ovale plus grand ou "grand 1". Mais dans les mêmes textes dans lesquels ces symboles étaient utilisés, le nombre 10 était représenté comme un cercle fait en appliquant l'extrémité ronde du style perpendiculaire à l'argile, et un plus grand cercle ou "grand 10" était utilisé pour représenter 100. les symboles de quantité numérique à plusieurs bases pourraient être mélangés les uns avec les autres et avec des abréviations, même au sein d'un même nombre. Les détails et même les grandeurs impliquées (puisque zéro n'était pas utilisé de manière cohérente) étaient idiomatiques pour les périodes de temps, les cultures et les quantités ou les concepts particuliers représentés. Bien que de telles représentations contextuelles de quantités numériques soient faciles à critiquer rétrospectivement, à l'époque moderne, nous avons encore des dizaines d'exemples régulièrement utilisés de mélange de bases dépendant du sujet, y compris l'innovation récente consistant à ajouter des fractions décimales aux coordonnées astronomiques sexagésimales.

Usage

Mathématiques babyloniennes

Le système sexagésimal tel qu'il était utilisé dans l'ancienne Mésopotamie n'était pas un pur système de base 60, dans le sens où il n'utilisait pas 60 symboles distincts pour ses chiffres . Au lieu de cela, les chiffres cunéiformes utilisaient dix comme sous-base à la manière d'une notation signe-valeur : un chiffre sexagésimal était composé d'un groupe de marques étroites en forme de coin représentant des unités jusqu'à neuf ( , , , , ... , ) et un groupe de larges marques en forme de coin représentant jusqu'à cinq dizaines ( , , , , ). La valeur du chiffre était la somme des valeurs de ses composants :

Les nombres supérieurs à 59 étaient indiqués par plusieurs blocs de symboles de cette forme en notation de valeur de position . Parce qu'il n'y avait pas de symbole pour le zéro, il n'est pas toujours immédiatement évident de savoir comment un nombre doit être interprété, et sa vraie valeur doit parfois avoir été déterminée par son contexte. Par exemple, les symboles pour 1 et 60 sont identiques. Les textes babyloniens ultérieurs ont utilisé un espace réservé ( ) pour représenter le zéro, mais uniquement dans les positions médianes, et non sur le côté droit du nombre, comme nous le faisons dans des nombres comme13 200 .

Autres usages historiques

Dans le calendrier chinois , un cycle sexagénaire est couramment utilisé, dans lequel les jours ou les années sont nommés par des positions dans une séquence de dix tiges et dans une autre séquence de 12 branches. La même tige et la même branche se répètent toutes les 60 étapes au cours de ce cycle.

Livre VIII de Platon de la République implique une allégorie du mariage centré sur le nombre 60 ⁴ =12 960 000 et ses diviseurs. Ce nombre a la représentation sexagésimale particulièrement simple 1,0,0,0,0. Des érudits ultérieurs ont invoqué à la fois les mathématiques babyloniennes et la théorie musicale pour tenter d'expliquer ce passage.

L' Almageste de Ptolémée , un traité d' astronomie mathématique écrit au IIe siècle de notre ère, utilise la base 60 pour exprimer les parties fractionnaires des nombres. En particulier, sa table d'accords , qui était essentiellement la seule table trigonométrique étendue pendant plus d'un millénaire, a des parties fractionnaires d'un degré en base 60.

Les astronomes médiévaux utilisaient également des nombres sexagésimaux pour noter le temps. Al-Biruni a d' abord subdivisé l'heure de manière sexagésimale en minutes , secondes , tiers et quarts en 1000 tout en discutant des mois juifs. Vers 1235, Jean de Sacrobosco a poursuivi cette tradition, bien que Nothaft pensait que Sacrobosco était le premier à le faire. La version parisienne des tables d'Alfonsine (vers 1320) utilisait le jour comme unité de temps de base, enregistrant les multiples et les fractions d'un jour en notation base 60.

Le système de nombres sexagésimal a continué à être fréquemment utilisé par les astronomes européens pour effectuer des calculs jusqu'en 1671. Par exemple, Jost Bürgi dans Fundamentum Astronomiae (présenté à l' empereur Rudolf II en 1592), son collègue Ursus dans Fundamentum Astronomicum , et peut-être aussi Henry Briggs , utilisait des tables de multiplication basées sur le système sexagésimal à la fin du XVIe siècle, pour calculer les sinus.

À la fin du XVIIIe et au début du XIXe siècle, on a découvert que les astronomes tamouls effectuaient des calculs astronomiques, en comptant avec des coquillages en utilisant un mélange de notations décimales et sexagésimales développées par les astronomes hellénistiques .

Les systèmes de numérotation en base 60 ont également été utilisés dans d'autres cultures qui ne sont pas liées aux Sumériens, par exemple par le peuple Ekari de la Nouvelle-Guinée occidentale .

Utilisation moderne

Les utilisations modernes du système sexagésimal comprennent la mesure des angles , des coordonnées géographiques , de la navigation électronique et du temps .

Une heure est divisée en 60 minutes et une minute est divisée en 60 secondes. Ainsi, une mesure du temps telle que 3:23:17 (3 heures, 23 minutes et 17 secondes) peut être interprétée comme un nombre sexagésimal entier (pas de point sexagésimal), c'est-à-dire 3 × 60 ² + 23 × 60 ¹ + 17 × 60 ⁰ secondes . Cependant, chacun des trois chiffres sexagésimaux de ce nombre (3, 23 et 17) est écrit en utilisant le système décimal .

De même, l'unité pratique de mesure angulaire est le degré , dont il y a 360 (six soixante) dans un cercle. Il y a 60 minutes d'arc dans un degré et 60 secondes d'arc dans une minute.

YAML

Dans la version 1.1 du format de stockage de données YAML , les sexagésimaux sont pris en charge pour les scalaires simples et formellement spécifiés à la fois pour les entiers et les nombres à virgule flottante. Cela a conduit à la confusion, car par exemple certaines adresses MAC seraient reconnues comme sexagésimales et chargées comme des entiers, là où d'autres ne l'étaient pas et chargées comme des chaînes. Dans YAML 1.2, la prise en charge des sexagésimaux a été abandonnée.

Notations

Dans les textes astronomiques grecs hellénistiques , tels que les écrits de Ptolémée , les nombres sexagésimaux étaient écrits à l'aide de chiffres alphabétiques grecs , chaque chiffre sexagésimal étant traité comme un nombre distinct. Les astronomes hellénistiques ont adopté un nouveau symbole pour zéro,-°, qui s'est transformé au fil des siècles en d'autres formes, y compris la lettre grecque omicron, , signifiant normalement 70, mais permise dans un système sexagésimal où la valeur maximale dans n'importe quelle position est 59. Les Grecs ont limité leur utilisation des nombres sexagésimaux à la partie fractionnaire d'un nombre.

Dans les textes latins médiévaux, les nombres sexagésimaux étaient écrits en chiffres arabes ; les différents niveaux de fractions étaient notés minuta (c'est-à-dire fraction), minuta secunda , minuta tertia , etc. Au XVIIe siècle, il est devenu courant de désigner la partie entière des nombres sexagésimaux par un zéro en exposant, et les différentes parties fractionnaires par un ou plus d'accents. John Wallis , dans son Mathesis universalis , a généralisé cette notation pour inclure les multiples supérieurs de 60 ; en donnant comme exemple le nombre 49‵‵‵‵36‵‵‵25‵‵15‵1°15′2″36‴49⁗ ; où les nombres à gauche sont multipliés par des puissances supérieures de 60, les nombres à droite sont divisés par des puissances de 60, et le nombre marqué du zéro en exposant est multiplié par 1. Cette notation conduit aux signes modernes pour les degrés, les minutes , et secondes. La même nomenclature des minutes et des secondes est également utilisée pour les unités de temps, et la notation moderne pour le temps avec des heures, des minutes et des secondes écrites en décimal et séparées les unes des autres par des deux-points peut être interprétée comme une forme de notation sexagésimale.

Dans certains systèmes d'utilisation, a été numéroté chaque position après le point sexagésimal, en utilisant le latin ou les racines françaises: premier ou primus , seconde ou Secundus , tiercé , quatre saisons , Quinte , etc. A ce jour , nous appelons la partie de second ordre d'une heure ou d'un degré une "seconde". Au moins jusqu'au XVIIIe siècle,1/60 d'une seconde s'appelait un "tierce" ou "tierce".

Dans les années 1930, Otto Neugebauer a introduit un système de notation moderne pour les nombres babyloniens et hellénistiques qui remplace la notation décimale moderne de 0 à 59 dans chaque position, tout en utilisant un point-virgule (;) pour séparer les parties intégrales et fractionnaires du nombre et en utilisant une virgule (,) pour séparer les positions dans chaque partie. Par exemple, le mois synodique moyen utilisé par les astronomes babyloniens et hellénistiques et toujours utilisé dans le calendrier hébreu est de 29 ; 31, 50, 8, 20 jours. Cette notation est utilisée dans cet article.

Fractions et nombres irrationnels

Fractions

Dans le système sexagésimal, toute fraction dont le dénominateur est un nombre régulier (n'ayant que 2, 3 et 5 dans sa factorisation première ) peut être exprimée exactement. Voici toutes les fractions de ce type dont le dénominateur est inférieur ou égal à 60 :

Cependant, les nombres qui ne sont pas réguliers forment des fractions répétitives plus compliquées . Par exemple:

Une / sept = 0; 8,34,17 (la barre indique la séquence de chiffres sexagésimaux 8,34,17 se répète à l'infini)

1 / 11 = 0; 5,27,16,21,49

1 / 13 = 0; 4,36,55,23

1 ⁄ 14 = 0;4, 17,8,34

Une / 17 = 0; 3,31,45,52,56,28,14,7

1 / dix-neuf = 0; 3,9,28,25,15,47,22,6,18,56,50,31,34,44,12,37,53,41

Une / 59 = 0; 1

1 / 61 = 0; 0,59

Le fait que les deux nombres adjacents à soixante, 59 et 61, soient tous deux des nombres premiers implique que les fractions qui se répètent avec une période d'un ou deux chiffres sexagésimaux ne peuvent avoir que des multiples de nombres réguliers de 59 ou 61 comme dénominateurs, et que d'autres nombres non réguliers ont des fractions qui se répètent avec une période plus longue.

Nombres irrationnels

Tablette babylonienne YBC 7289 montrant le nombre sexagésimal 1;24,51,10 approximant  √ 2

Les représentations de nombres irrationnels dans n'importe quel système de nombre positionnel (y compris décimal et sexagésimal) ne se terminent ni ne se répètent .

La racine carrée de 2 , la longueur de la diagonale d'un carré unitaire , a été approximée par les Babyloniens de l'ancienne période babylonienne ( 1900 BC - 1650 BC ) comme

${\displaystyle 1;24,51,10=1+{\frac {24}{60}}+{\frac {51}{60^{2}}}+{\frac {10}{60^{3 }}}={\frac {30547}{21600}}\environ 1.41421296\ldots }$

Parce que √ 2  ≈ 1.414 213 56 ... est un nombre irrationnel , il ne peut pas être exprimé exactement en sexagésimal (ou même en tout système à base d'entiers), mais son développement sexagésimal commence par 1;24,51,10,7,46,6,4, 44... ( OEIS :  A070197 )

La valeur de π telle qu'elle est utilisée par le grec mathématicien et scientifique Ptolémée était 3; = 8,30 3 +8/60 + 30/60 ² = 377/120 ?? 3,141 666 .... Jamshīd al-Kāshī , un mathématicien persan du XVe siècle , a calculé 2 π en tant qu'expression sexagésimale à sa valeur correcte lorsqu'elle est arrondie à neuf sous-chiffres (donc à1/60 ⁹); sa valeur pour 2 π était 6; 16,59,28,1,34,51,46,14,50. Comme √ 2 ci - dessus, 2 π est un nombre irrationnel et ne peut pas être exprimé exactement sexagésimal. Son expansion sexagésimale commence 6;16,59,28,1,34,51,46,14,49,55,12,35... ( OEIS :  A091649 )

Voir également

• L'horloge
• Latitude
• Trigonométrie

Les références

Lectures complémentaires

• Ifrah, Georges (1999), L'histoire universelle des nombres : de la préhistoire à l'invention de l'ordinateur , Wiley, ISBN 0-471-37568-3.
• Nissen, Hans J.; Damerow, P.; Englund, R. (1993), Archaic Bookkeeping , University of Chicago Press, ISBN 0-226-58659-6

Liens externes

• "Faits sur le calcul des degrés et des minutes" est un livre en langue arabe de Sibṭ al-Māridīnī, Badr al-Dīn Muḥammad ibn Muḥammad (b. 1423). Cet ouvrage propose un traitement très détaillé des mathématiques sexagésimales et comprend ce qui semble être la première mention de la périodicité des fractions sexagésimales.