Squelette (théorie des catégories) - Skeleton (category theory)

En mathématiques , un squelette d'une catégorie est une sous - catégorie qui, grosso modo, ne contient aucun isomorphisme étranger . Dans un certain sens, le squelette d'une catégorie est la catégorie équivalente "la plus petite" , qui capture toutes les "propriétés catégorielles" de l'original. En fait, deux catégories sont équivalentes si et seulement si elles ont des squelettes isomorphes . Une catégorie est dite squelettique si les objets isomorphes sont nécessairement identiques.

Définition

Un squelette d'une catégorie C est une catégorie équivalente D dans laquelle deux objets distincts ne sont pas isomorphes. Il est généralement considéré comme une sous-catégorie. En détail, un squelette de C est une catégorie D telle que :

• D est une sous - catégorie de C : tout objet de D est un objet de C

${\displaystyle \mathrm {Ob} (D)\subseteq \mathrm {Ob} (C)}$

pour tout couple d'objets d ₁ et d ₂ de D , les morphismes de D sont des morphismes de C , c'est-à-dire

${\displaystyle \mathrm {Hom} _{D}(d_{1},d_{2})\subseteq \mathrm {Hom} _{C}(d_{1},d_{2})}$

et les identités et compositions en D sont les restrictions de celles en C .

• L'inclusion de D dans C est complète , ce qui signifie que pour chaque paire d'objets d ₁ et d ₂ de D, nous renforçons la relation de sous-ensemble ci-dessus à une égalité :

${\displaystyle \mathrm {Hom} _{D}(d_{1},d_{2})=\mathrm {Hom} _{C}(d_{1},d_{2})}$

• L'inclusion de D dans C est essentiellement surjective : tout C -objet est isomorphe à un D -objet.
• D est squelettique : il n'y a pas deux objets D distincts isomorphes.

Existence et unicité

C'est un fait fondamental que chaque petite catégorie a un squelette ; plus généralement, chaque catégorie accessible a un squelette. (Ceci équivaut à l' axiome du choix .) De plus, bien qu'une catégorie puisse avoir plusieurs squelettes distincts, deux squelettes quelconques sont isomorphes en tant que catégories , donc jusqu'à l' isomorphisme des catégories, le squelette d'une catégorie est unique .

L'importance des squelettes vient du fait qu'ils sont (à isomorphisme des catégories près), des représentants canoniques des classes d'équivalence de catégories sous la relation d' équivalence d'équivalence de catégories . Cela découle du fait que tout squelette d'une catégorie C est équivalent à C , et que deux catégories sont équivalentes si et seulement si elles ont des squelettes isomorphes.

Exemples

• La catégorie Ensemble de tous les ensembles a la sous-catégorie de tous les nombres cardinaux comme squelette.
• La catégorie K -Vect de tous les espaces vectoriels sur un fixe champ a la sous - catégorie constituée de toutes les puissances , où α est un nombre cardinal, en tant que squelette; pour tout fini m et n , les applications sont exactement les matrices n × m avec des entrées dans K .${\style d'affichage K}$${\displaystyle K^{(\alpha )}}$${\displaystyle K^{m}\to K^{n}}$
• FinSet , la catégorie de tous les ensembles finis a FinOrd , la catégorie de tous les nombres ordinaux finis, comme squelette.
• La catégorie de tous les ensembles bien ordonnés a la sous-catégorie de tous les nombres ordinaux comme squelette.
• Un pré - ordre , c'est-à-dire une petite catégorie telle que pour chaque paire d'objets , l'ensemble a un élément ou est vide, a un ensemble partiellement ordonné comme squelette.${\style d'affichage A,B}$${\displaystyle {\mbox{Hom}}(A,B)}$

Voir également

• Glossaire de la théorie des catégories
• Catégorie mince

Les références

• Adámek, Jiří, Herrlich, Horst et Strecker, George E. (1990). Catégories abstraites et concrètes . Publié à l'origine par John Wiley & Sons. ISBN  0-471-60922-6 . (maintenant édition en ligne gratuite)
• Robert Goldblatt (1984). Topoi, l'analyse catégorielle de la logique (Études de logique et fondements des mathématiques, 98). Hollande du Nord. Réimprimé en 2006 par Dover Publications.