Fonctions spéciales - Special functions

Les fonctions spéciales sont des fonctions mathématiques particulières qui ont des noms et des notations plus ou moins établis en raison de leur importance dans l'analyse mathématique , l'analyse fonctionnelle , la géométrie , la physique ou d'autres applications.

Le terme est défini par consensus et n'a donc pas de définition formelle générale, mais la liste des fonctions mathématiques contient des fonctions qui sont généralement acceptées comme spéciales.

Tableaux des fonctions spéciales

De nombreuses fonctions spéciales apparaissent comme des solutions d' équations différentielles ou des intégrales de fonctions élémentaires . Par conséquent, les tables d'intégrales incluent généralement des descriptions de fonctions spéciales, et les tables de fonctions spéciales incluent les intégrales les plus importantes ; au moins, la représentation intégrale des fonctions spéciales. Parce que les symétries des équations différentielles sont essentielles à la fois à la physique et aux mathématiques, la théorie des fonctions spéciales est étroitement liée à la théorie des groupes de Lie et des algèbres de Lie , ainsi qu'à certains sujets de la physique mathématique .

Les moteurs de calcul symbolique reconnaissent généralement la majorité des fonctions spéciales.

Notations utilisées pour les fonctions spéciales

Les fonctions avec des notations internationales établies sont le sinus ( ), le cosinus ( ), la fonction exponentielle ( ) et la fonction d'erreur ( ou ). ${\style d'affichage \sin }$${\style d'affichage \cos }$${\style d'affichage \exp }$${\displaystyle \operatorname {erf} }$${\displaystyle \operatorname {erfc} }$

Certaines fonctions spéciales ont plusieurs notations :

• Le logarithme népérien peut être noté , , , ou selon le contexte.${\style d'affichage \ln }$${\displaystyle \log }$${\displaystyle \log _{e}}$${\displaystyle \operatorname {Log} }$
• La fonction tangente peut être notée , , ou ( est utilisé principalement dans la littérature russe et bulgare ).${\style d'affichage \tan }$${\displaystyle \operatorname {Tan} }$${\displaystyle \operatorname {tg} }$${\displaystyle \operatorname {tg} }$
• L' arctangente peut être notée , , , ou .${\displaystyle \arctan }$${\displaystyle \operatorname {atan} }$${\displaystyle \operatorname {arctg} }$${\displaystyle \tan ^{-1}}$
• Les fonctions de Bessel peuvent être notées
  • ${\style d'affichage J_{n}(x),}$
  • ${\displaystyle \operatorname {besselj} (n,x),}$
  • ${\displaystyle {\rm {BesselJ}}[n,x].}$

Les indices sont souvent utilisés pour indiquer des arguments, généralement des entiers. Dans quelques cas, le point-virgule (;) ou même la barre oblique inverse (\) est utilisé comme séparateur. Dans ce cas, la traduction vers des langages algorithmiques admet l' ambiguïté et peut prêter à confusion.

Les exposants peuvent indiquer non seulement l'exponentiation, mais la modification d'une fonction. Exemples (en particulier avec les fonctions trigonométriques et les fonctions hyperboliques ) :

• ${\style d'affichage \cos ^{3}(x)}$ indique généralement ${\style d'affichage (\cos(x))^{3}}$
• ${\style d'affichage \cos ^{2}(x)}$est généralement , mais jamais${\style d'affichage (\cos(x))^{2}}$${\style d'affichage \cos(\cos(x))}$
• ${\displaystyle \cos ^{-1}(x)}$signifie généralement , et non ; celui-ci provoque généralement le plus de confusion, car l'interprétation avec cette valeur d'exposant est incompatible avec les autres.${\style d'affichage \arccos(x)}$${\style d'affichage (\cos(x))^{-1}}$

Évaluation des fonctions spéciales

La plupart des fonctions spéciales sont considérées comme fonction d'une variable complexe . Ils sont analytiques ; les singularités et les coupures sont décrites ; les représentations différentielles et intégrales sont connues et l'extension à la série de Taylor ou à la série asymptotique est disponible. De plus, il existe parfois des relations avec d'autres fonctions spéciales ; une fonction spéciale compliquée peut être exprimée en termes de fonctions plus simples. Différentes représentations peuvent être utilisées pour l'évaluation ; la façon la plus simple d'évaluer une fonction est de l'étendre en une série de Taylor. Cependant, une telle représentation peut converger lentement ou pas du tout. Dans les langages algorithmiques, les approximations rationnelles sont généralement utilisées, bien qu'elles puissent mal se comporter en cas d'argument(s) complexe(s).

Historique des fonctions spéciales

Théorie classique

Alors que la trigonométrie peut être codifiée - comme cela était déjà clair pour les mathématiciens experts du XVIIIe siècle (sinon avant) - la recherche d'une théorie complète et unifiée des fonctions spéciales s'est poursuivie depuis le XIXe siècle. Le point culminant de la théorie des fonctions spéciales dans la période 1800-1900 était la théorie des fonctions elliptiques ; des traités qui étaient essentiellement complets, comme celui de Tannery et Molk , pouvaient être écrits comme des manuels de toutes les identités fondamentales de la théorie. Ils s'appuyaient sur des techniques issues d' analyses complexes .

A partir de ce moment-là, on supposerait que la théorie des fonctions analytiques , qui avait déjà unifié les fonctions trigonométriques et exponentielles , était un outil fondamental. La fin du siècle a également vu une discussion très détaillée des harmoniques sphériques .

Des motivations changeantes et fixes

Bien sûr, le souhait d'une théorie large incluant le plus grand nombre possible de fonctions spéciales connues a son attrait intellectuel, mais il vaut la peine de noter d'autres motivations. Pendant longtemps, les fonctions spéciales étaient du ressort particulier des mathématiques appliquées ; les applications aux sciences physiques et à l'ingénierie déterminaient l'importance relative des fonctions. Avant l' ordinateur électronique , le complément ultime à une fonction spéciale était le calcul, à la main, de tables étendues de ses valeurs . Il s'agissait d'un processus à forte intensité de capital, destiné à rendre la fonction disponible par recherche , comme pour les tables de logarithmes familières . Les aspects de la théorie qui importaient alors pourraient alors être au nombre de deux :

• pour l'analyse numérique , la découverte de séries infinies ou autre expression analytique permettant un calcul rapide ; et
• réduction d'autant de fonctions que possible à la fonction donnée.

En revanche, pourrait-on dire, il existe des approches typiques des intérêts des mathématiques pures : analyse asymptotique , continuation analytique et monodromie dans le plan complexe , et découverte des principes de symétrie et d'autres structures derrière la façade de formules sans fin en rangées. Il n'y a pas vraiment de conflit entre ces approches, en fait.

XXe siècle

Le vingtième siècle a vu plusieurs vagues d'intérêt pour la théorie des fonctions spéciales. Le manuel classique de Whittaker et Watson (1902) cherchait à unifier la théorie en utilisant des variables complexes ; le tome GN Watson A Treatise on the Theory of Bessel Functions a poussé les techniques aussi loin que possible pour un type important qui admettait particulièrement l'asymptotique à étudier.

Le projet ultérieur de Bateman Manuscript , sous la direction d' Arthur Erdélyi , a tenté d'être encyclopédique et est arrivé à l'époque où le calcul électronique prenait de l'importance et où la tabulation cessa d'être le problème principal.

Théories contemporaines

La théorie moderne des polynômes orthogonaux est d'une portée définie mais limitée. Les séries hypergéométriques sont devenues une théorie complexe, nécessitant un arrangement conceptuel ultérieur. Les groupes de Lie , et en particulier leur théorie des représentations , expliquent ce que peut être une fonction sphérique en général ; à partir de 1950, des parties substantielles de la théorie classique ont pu être refondues en termes de groupes de Lie. De plus, les travaux sur la combinatoire algébrique ont également ravivé l'intérêt pour les parties plus anciennes de la théorie. Les conjectures de Ian G. Macdonald ont aidé à ouvrir de nouveaux champs vastes et actifs avec la saveur typique des fonctions spéciales. Les équations aux différences ont commencé à prendre leur place à côté des équations différentielles en tant que source de fonctions spéciales.

Fonctions spéciales en théorie des nombres

En théorie des nombres , certaines fonctions spéciales ont été traditionnellement étudiées, telles que les séries de Dirichlet particulières et les formes modulaires . Presque tous les aspects de la théorie des fonctions spéciales y sont reflétés, ainsi que de nouveaux, tels que ceux issus de la monstrueuse théorie du clair de lune .

Des chercheurs

Voir également

• Liste des fonctions mathématiques
• Liste des fonctions spéciales et éponymes
• Fonction élémentaire

Les références

• Andrews, George E. ; Askey, Richard ; Roy, Ranjan (1999). Fonctions spéciales . Encyclopédie des mathématiques et de ses applications. 71 . Presse de l'Université de Cambridge . ISBN 978-0-521-62321-6. MR  1688958 .

Liens externes

• Institut national des normes et de la technologie , Département du commerce des États-Unis. Bibliothèque numérique NIST des fonctions mathématiques . Archivé de l'original le 13 décembre 2018.
• Weisstein, Eric W. "Fonction spéciale" . MathWorld .
• Calculatrice en ligne , Calculatrice scientifique en ligne avec plus de 100 fonctions (>=32 chiffres, beaucoup de complexes) (langue allemande)
• Fonctions spéciales à EqWorld : Le monde des équations mathématiques
• Fonctions spéciales et polynômes par Gerard 't Hooft et Stefan Nobbenhuis (8 avril 2013)
• Méthodes numériques pour les fonctions spéciales , par A. Gil, J. Segura, NM Temme (2007).
• R. Jagannathan, (P,Q)-Fonctions spéciales
• Fonctions spécialeswiki