Écarts carrés par rapport à la moyenne - Squared deviations from the mean

Les écarts au carré de la moyenne (SDM) sont impliqués dans divers calculs. Dans la théorie des probabilités et les statistiques , la définition de la variance est soit la valeur attendue de la MJS (lorsqu'on considère une distribution théorique ), soit sa valeur moyenne (pour les données expérimentales réelles). Les calculs pour l' analyse de la variance impliquent le partitionnement d'une somme de SDM.

introduction

Une compréhension des calculs impliqués est grandement améliorée par une étude de la valeur statistique

${\ displaystyle \ operatorname {E} (X ^ {2})}$ , où est l'opérateur de valeur attendue. ${\ displaystyle \ operatorname {E}}$

Pour une variable aléatoire avec moyenne et variance , ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ sigma ^ {2}}$

${\ displaystyle \ sigma ^ {2} = \ nom_opérateur {E} (X ^ {2}) - \ mu ^ {2}.}$

Par conséquent,

${\ displaystyle \ operatorname {E} (X ^ {2}) = \ sigma ^ {2} + \ mu ^ {2}.}$

À partir de ce qui précède, les éléments suivants peuvent être déduits:

${\ displaystyle \ operatorname {E} \ left (\ sum \ left (X ^ {2} \ right) \ right) = n \ sigma ^ {2} + n \ mu ^ {2},}$

${\ displaystyle \ operatorname {E} \ left (\ left (\ sum X \ right) ^ {2} \ right) = n \ sigma ^ {2} + n ^ {2} \ mu ^ {2}.}$

Échantillon de variance

La somme des carrés des écarts nécessaires pour calculer la variance de l'échantillon (avant de décider de diviser par n ou n  - 1) est le plus facilement calculée comme suit:

${\ displaystyle S = \ sum x ^ {2} - {\ frac {\ left (\ sum x \ right) ^ {2}} {n}}}$

Des deux attentes dérivées au-dessus de la valeur attendue de cette somme est

${\ displaystyle \ operatorname {E} (S) = n \ sigma ^ {2} + n \ mu ^ {2} - {\ frac {n \ sigma ^ {2} + n ^ {2} \ mu ^ {2 }} {n}}}$

ce qui implique

${\ Displaystyle \ operatorname {E} (S) = (n-1) \ sigma ^ {2}.}$

Cela prouve effectivement l'utilisation du diviseur n  - 1 dans le calcul d'une estimation par échantillon sans biais de  σ ² .

Partition - analyse de la variance

Dans le cas où des données sont disponibles pour k groupes de traitement différents de taille n _i où i varie de 1 à k , on suppose que la moyenne attendue de chaque groupe est

${\ displaystyle \ operatorname {E} (\ mu _ {i}) = \ mu + T_ {i}}$

et la variance de chaque groupe de traitement est inchangée par rapport à la variance de la population . ${\ displaystyle \ sigma ^ {2}}$

Sous l'hypothèse nulle que les traitements n'ont aucun effet, alors chacun des sera nul. ${\ displaystyle T_ {i}}$

Il est maintenant possible de calculer trois sommes de carrés:

Individuel

${\ displaystyle I = \ sum x ^ {2}}$

${\ displaystyle \ operatorname {E} (I) = n \ sigma ^ {2} + n \ mu ^ {2}}$

Traitements

${\ displaystyle T = \ sum _ {i = 1} ^ {k} \ left (\ left (\ sum x \ right) ^ {2} / n_ {i} \ right)}$

${\ displaystyle \ operatorname {E} (T) = k \ sigma ^ {2} + \ sum _ {i = 1} ^ {k} n_ {i} (\ mu + T_ {i}) ^ {2}}$

${\ displaystyle \ operatorname {E} (T) = k \ sigma ^ {2} + n \ mu ^ {2} +2 \ mu \ sum _ {i = 1} ^ {k} (n_ {i} T_ { i}) + \ somme _ {i = 1} ^ {k} n_ {i} (T_ {i}) ^ {2}}$

Sous l'hypothèse nulle que les traitements ne provoquent aucune différence et que tous sont nuls, l'espérance se simplifie à ${\ displaystyle T_ {i}}$

${\ Displaystyle \ operatorname {E} (T) = k \ sigma ^ {2} + n \ mu ^ {2}.}$

Combinaison

${\ displaystyle C = \ gauche (\ somme x \ droite) ^ {2} / n}$

${\ displaystyle \ operatorname {E} (C) = \ sigma ^ {2} + n \ mu ^ {2}}$

Sommes des écarts au carré

Sous l'hypothèse nulle, la différence de toute paire de I , T et C ne contient aucune dépendance sur , seulement . ${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ sigma ^ {2}}$

${\ displaystyle \ operatorname {E} (IC) = (n-1) \ sigma ^ {2}}$ écarts totaux au carré, c'est-à-dire somme totale des carrés

${\ displaystyle \ operatorname {E} (TC) = (k-1) \ sigma ^ {2}}$ les écarts de traitement au carré, c'est-à-dire la somme des carrés expliquée

${\ displaystyle \ operatorname {E} (IT) = (nk) \ sigma ^ {2}}$ écarts carrés résiduels aka somme résiduelle des carrés

Les constantes ( n  - 1), ( k  - 1) et ( n  -  k ) sont normalement appelées le nombre de degrés de liberté .

Exemple

Dans un exemple très simple, 5 observations découlent de deux traitements. Le premier traitement donne trois valeurs 1, 2 et 3, et le second traitement donne deux valeurs 4 et 6.

${\ displaystyle I = {\ frac {1 ^ {2}} {1}} + {\ frac {2 ^ {2}} {1}} + {\ frac {3 ^ {2}} {1}} + {\ frac {4 ^ {2}} {1}} + {\ frac {6 ^ {2}} {1}} = 66}$

${\ displaystyle T = {\ frac {(1 + 2 + 3) ^ {2}} {3}} + {\ frac {(4 + 6) ^ {2}} {2}} = 12 + 50 = 62 }$

${\ displaystyle C = {\ frac {(1 + 2 + 3 + 4 + 6) ^ {2}} {5}} = 256/5 = 51,2}$

Donnant

Écarts carrés totaux = 66 - 51,2 = 14,8 avec 4 degrés de liberté.

Traitement au carré des écarts = 62 - 51,2 = 10,8 avec 1 degré de liberté.

Écarts carrés résiduels = 66 - 62 = 4 avec 3 degrés de liberté.

Analyse bidirectionnelle de la variance

L'exemple hypothétique suivant donne les rendements de 15 plantes soumises à deux variations environnementales différentes et à trois engrais différents.

	CO 2 supplémentaire	Humidité supplémentaire
Pas d'engrais	7, 2, 1	7, 6
Nitrate	11, 6	10, 7, 3
Phosphate	5, 3, 4	11, 4

Cinq sommes de carrés sont calculées:

Facteur	Calcul	Somme	${\ displaystyle \ sigma ^ {2}}$
Individuel	${\ displaystyle 7 ^ {2} + 2 ^ {2} + 1 ^ {2} + 7 ^ {2} + 6 ^ {2} + 11 ^ {2} + 6 ^ {2} + 10 ^ {2} + 7 ^ {2} + 3 ^ {2} + 5 ^ {2} + 3 ^ {2} + 4 ^ {2} + 11 ^ {2} + 4 ^ {2}}$	641	15
Engrais × Environnement	${\ displaystyle {\ frac {(7 + 2 + 1) ^ {2}} {3}} + {\ frac {(7 + 6) ^ {2}} {2}} + {\ frac {(11+) 6) ^ {2}} {2}} + {\ frac {(10 + 7 + 3) ^ {2}} {3}} + {\ frac {(5 + 3 + 4) ^ {2}} { 3}} + {\ frac {(11 + 4) ^ {2}} {2}}}$	556,1667	6
Engrais	${\ displaystyle {\ frac {(7 + 2 + 1 + 7 + 6) ^ {2}} {5}} + {\ frac {(11 + 6 + 10 + 7 + 3) ^ {2}} {5 }} + {\ frac {(5 + 3 + 4 + 11 + 4) ^ {2}} {5}}}$	525,4	3
Environnement	${\ displaystyle {\ frac {(7 + 2 + 1 + 11 + 6 + 5 + 3 + 4) ^ {2}} {8}} + {\ frac {(7 + 6 + 10 + 7 + 3 + 11 +4) ^ {2}} {7}}}$	519,2679	2
Composite	${\ displaystyle {\ frac {(7 + 2 + 1 + 11 + 6 + 5 + 3 + 4 + 7 + 6 + 10 + 7 + 3 + 11 + 4) ^ {2}} {15}}}$	504,6	1

Enfin, les sommes des écarts au carré nécessaires à l' analyse de la variance peuvent être calculées.

Facteur	Somme	${\ displaystyle \ sigma ^ {2}}$	Le total	Environnement	Engrais	Engrais × Environnement	Résiduel
Individuel	641	15	1				1
Engrais × Environnement	556,1667	6				1	−1
Engrais	525,4	3			1	−1
Environnement	519,2679	2		1		−1
Composite	504,6	1	−1	−1	−1	1
Écarts carrés			136,4	14,668	20,8	16 099	84 833
Degrés de liberté			14	1	2	2	9

Voir également

• Écart absolu
• Algorithmes de calcul de la variance
• Erreurs et résidus
• Moindres carrés
• Erreur quadratique moyenne
• Somme résiduelle des carrés
• Décomposition de la variance

Les références