Subadditivité - Subadditivity

En mathématiques , la sous - additivité est une propriété d'une fonction qui indique, approximativement, que l'évaluation de la fonction pour la somme de deux éléments du domaine renvoie toujours quelque chose de inférieur ou égal à la somme des valeurs de la fonction à chaque élément. Il existe de nombreux exemples de fonctions sous-additives dans divers domaines des mathématiques, en particulier les normes et les racines carrées . Les cartes additives sont des cas particuliers de fonctions sous-additives.

Définitions

Une fonction sous-additive est une fonction , ayant un domaine A et un codomaine ordonné B qui sont tous deux fermés par addition, avec la propriété suivante : $f\colon A\à B$

\forall x,y\in A,f(x+y)\leq f(x)+f(y).

Un exemple est la fonction racine carrée , ayant les nombres réels non négatifs comme domaine et codomaine, puisque nous avons : $\forall x,y\geq 0$

{\sqrt {x+y}}\leq {\sqrt {x}}+{\sqrt {y}}.

Une suite , est dite sous - additive si elle satisfait l' inégalité $\left\{a_{n}\right\},n\geq 1$

a_{n+m}\leq a_{n}+a_{m}

pour tout m et n . Il s'agit d'un cas particulier de fonction sous-additive, si une séquence est interprétée comme une fonction sur l'ensemble des nombres naturels.

Propriétés

Séquences

Un résultat utile concernant les suites sous-additives est le lemme suivant dû à Michael Fekete .

Lemme sous-additif de Fekete — Pour chaque séquence sous-additive , la limite existe et est égale à l' infimum . (La limite peut être .) ${\left\{a_{n}\right\}}_{n=1}^{\infty }$ $\displaystyle \lim _{n\à \infty }{\frac {a_{n}}{n}}$ $\inf {\frac {a_{n}}{n}}$ $-\infty$

L'analogue du lemme de Fekete est également valable pour les suites superadditives, c'est-à-dire : (La limite peut alors être l'infini positif : considérons la suite .) $a_{n+m}\geq a_{n}+a_{m}.$ $a_{n}=\log n!$

Il existe des extensions du lemme de Fekete qui n'exigent pas que l'inégalité (1) soit vraie pour tout m et n , mais seulement pour m et n tels que De plus, la condition peut être affaiblie comme suit : à condition que soit une fonction croissante telle que le l'intégrale converge (proche de l'infini). ${\textstyle {\frac {1}{2}}\leq {\frac {m}{n}}\leq 2.}$ $a_{n+m}\leq a_{n}+a_{m}$ $a_{n+m}\leq a_{n}+a_{m}+\phi (n+m)$ ${\style d'affichage \phi }$ ${\textstyle \int \phi (t)t^{-2}\,dt}$

Il existe également des résultats qui permettent de déduire le taux de convergence vers la limite dont l'existence est énoncée dans le lemme de Fekete si une sorte de superadditivité et de sous-additivité est présente.

En outre, des analogues du lemme de Fekete ont été prouvés pour des applications réelles sous-additives (avec des hypothèses supplémentaires) à partir de sous-ensembles finis d'un groupe amenable , et en outre, d'un semi-groupe annulation amenable à gauche.

Les fonctions

Théorème : — Pour chaque fonction sous-additive mesurable ,la limiteexiste et est égale à(La limite peut être) $f:(0,\infty )\to \mathbb {R} ,$ $\lim _{t\to \infty }{\frac {f(t)}{t}}$ $\inf _{t>0}{\frac {f(t)}{t}}.$ $-\infty .$

Si f est une fonction sous-additive, et si 0 est dans son domaine, alors f (0) 0. Pour le voir, prenons l'inégalité en haut. . D'où ${\style d'affichage f(x)\geq f(x+y)-f(y)}$ ${\style d'affichage f(0)\geq f(0+y)-f(y)=0}$

Une fonction concave avec est également sous-additive. Pour voir cela, on observe d'abord que . Ensuite, en regardant la somme de cette borne pour et , vérifiera enfin que f est sous-additif. $f:[0,\infty )\to \mathbb {R}$ ${\style d'affichage f(0)\geq 0}$ $f(x)\geq \textstyle {\frac {y}{x+y}}f(0)+\textstyle {\frac {x}{x+y}}f(x+y)$ ${\style d'affichage f(x)}$ ${\style d'affichage f(y)}$

Le négatif d'une fonction sous-additive est superadditive .

Exemples dans divers domaines

Entropie

L'entropie joue un rôle fondamental en théorie de l'information et en physique statistique , ainsi qu'en mécanique quantique dans une formulation généralisée due à von Neumann . L'entropie apparaît toujours comme une quantité sous-additive dans toutes ses formulations, ce qui signifie que l'entropie d'un supersystème ou d'un ensemble de variables aléatoires est toujours inférieure ou égale à la somme des entropies de ses composants individuels. De plus, l'entropie en physique satisfait plusieurs inégalités plus strictes telles que la forte sous-additivité de l'entropie en mécanique statistique classique et son analogue quantique .

Économie

La sous-additivité est une propriété essentielle de certaines fonctions de coût particulières . C'est, en général, une condition nécessaire et suffisante pour la vérification d'un monopole naturel . Cela implique que la production d'une seule entreprise est socialement moins chère (en termes de coûts moyens) que la production d'une fraction de la quantité originale par un nombre égal d'entreprises.

Les économies d'échelle sont représentées par des fonctions de coût moyen sous-additives .

Sauf dans le cas de biens complémentaires, le prix des biens (en fonction de la quantité) doit être sous-additif. Sinon, si la somme du coût de deux articles est moins chère que le coût du lot de deux d'entre eux ensemble, alors personne n'achèterait jamais le lot, ce qui ferait que le prix du lot « deviendrait » la somme des prix de les deux éléments distincts. Prouvant ainsi qu'elle n'est pas une condition suffisante pour un monopole naturel ; puisque l'unité d'échange peut ne pas être le coût réel d'un article. Cette situation est familière à tout le monde dans l'arène politique où une minorité affirme que la perte d'une liberté particulière à un niveau particulier de gouvernement signifie que de nombreux gouvernements sont meilleurs ; alors que la majorité affirme qu'il existe une autre unité de coût correcte.

La finance

La sous-additivité est l'une des propriétés souhaitables des mesures de risque cohérentes dans la gestion des risques . L'intuition économique derrière la sous-additivité de la mesure du risque est qu'une exposition au risque d'un portefeuille devrait, au pire, être simplement égale à la somme des expositions au risque des positions individuelles qui composent le portefeuille. Dans tous les autres cas, les effets de la diversification se traduiraient par une exposition du portefeuille inférieure à la somme des expositions individuelles au risque. L'absence de sous-additivité est l'une des principales critiques des modèles VaR qui ne reposent pas sur l'hypothèse de normalité des facteurs de risque. La VaR gaussienne assure la sous-additivité : par exemple, la VaR gaussienne d'un portefeuille de deux positions longues unitaires au niveau de confiance est, en supposant que la variation moyenne de la valeur du portefeuille est nulle et que la VaR est définie comme une perte négative, ${\style d'affichage V}$ ${\style d'affichage 1-p}$

{\text{VaR}}_{p}\equiv z_{p}\sigma _{\Delta V}=z_{p}{\sqrt {\sigma _{x}^{2}+\sigma _{y}^{2}+2\rho _{xy}\sigma _{x}\sigma _{y}}}

où est l'inverse de la fonction de distribution cumulative normale au niveau de probabilité , sont les écarts de rendement des positions individuelles et est la mesure de corrélation linéaire entre les deux rendements des positions individuelles. Puisque la variance est toujours positive,

{\style d'affichage z_{p}}

{\style d'affichage p}

\sigma _{x}^{2},\sigma _{y}^{2}

{\style d'affichage \rho _{xy}}

{\sqrt {\sigma _{x}^{2}+\sigma _{y}^{2}+2\rho _{xy}\sigma _{x}\sigma _{y}}} \leq \sigma _{x}+\sigma _{y}

Ainsi, la VaR gaussienne est sous-additive pour toute valeur de et, en particulier, elle est égale à la somme des expositions individuelles au risque lorsqu'il n'y a pas d'effets de diversification sur le risque de portefeuille.

\rho _{xy}\in [-1,1]

{\style d'affichage \rho _{xy}=1}

Thermodynamique

La sous-additivité se produit dans les propriétés thermodynamiques de solutions et de mélanges non

idéaux comme le volume molaire et la chaleur en excès de mélange ou l'enthalpie en excès.

Combinatoire sur les mots

Une langue factorielle est une

langue où si un mot est dans , alors tous les facteurs de ce mot sont également dans . En combinatoire sur les mots, un problème courant est de déterminer le nombre de mots de longueur dans un langage factoriel. Il est clair que , la sous-additif l'est aussi , et donc le lemme de Fekete peut être utilisé pour estimer la croissance de .

{\style d'affichage L}

{\style d'affichage L}

{\style d'affichage L}

{\style d'affichage A(n)}

{\style d'affichage n}

{\style d'affichage A(m+n)\leq A(m)A(n)}

\log A(n)

{\style d'affichage A(n)}

Voir également

Propriété molaire apparente
Intégrale de Choquet
Superadditivité
Inégalité triangulaire - propriété de la géométrie, également utilisée pour généraliser la notion de "distance" dans les espaces métriques

Remarques

^ Fekete, M. (1923). "Über die Verteilung der Wurzeln bei gewissen algebraischen Gleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten". Mathematische Zeitschrift . 17 (1) : 228-249. doi : 10.1007/BF01504345 .
^ de Bruijn, NG; Erdös, P. (1952). "Certaines formules de récursivité linéaire et quadratique. II". Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Sér. A . 55 : 152-163. doi : 10.1016/S1385-7258 (52) 50021-0 .( Identique à Indagationes Math. 14 .) Voir aussi Steele 1997, Théorème 1.9.2.
^ Michael J. Steele. « Théorie des probabilités et optimisation combinatoire ». SIAM, Philadelphie (1997). ISBN 0-89871-380-3 .
^ Michael J. Steele (2011). Cours CBMS sur la théorie des probabilités et l'optimisation combinatoire . Université de Cambridge.
^ Lindenstrauss, Elon; Weiss, Benjamin (2000). "Dimension topologique moyenne" . Journal israélien de mathématiques . 115 (1) : 1–24. CiteSeerX 10.1.1.30.3552 . doi : 10.1007/BF02810577 . ISSN 0021-2172 . Théorème 6.1
^ Ornstein, Donald S.; Weiss, Benjamin (1987). « Théorèmes d'entropie et d'isomorphisme pour les actions des groupes amenables ». Journal d'Analyse Mathématique . 48 (1) : 1-141. doi : 10.1007/BF02790325 . ISSN 0021-7670 .
^ Gromov, Misha (1999). « Invariants topologiques de systèmes dynamiques et d'espaces de cartes holomorphes : I ». Physique Mathématique, Analyse et Géométrie . 2 (4) : 323-415. doi : 10.1023/A:1009841100168 . ISSN 1385-0172 .
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^ Hille 1948, Théorème 6.6.1. (La mesurabilité est stipulée dans la section 6.2 « Préliminaires ».)
^ Schechter, Éric (1997). Manuel d'analyse et ses fondements . San Diego : Presse académique. ISBN 978-0-12-622760-4., p.314,12.25
^ Rau-Bredow, H. (2019). "Plus grand n'est pas toujours plus sûr : une analyse critique de l'hypothèse de sous-additivité pour des mesures de risque cohérentes" . Risques . 7 (3) : 91. doi : 10.3390/risques7030091 .
^ Shur, Arsène (2012). « Propriétés de croissance des langues sans pouvoir ». Revue d'informatique . 6 (5–6) : 187–208. doi : 10.1016/j.cosrev.2012.09.001 .

Les références

György Pólya et Gábor Szegő . « Problèmes et théorèmes en analyse, volume 1 ». Springer-Verlag, New York (1976). ISBN 0-387-05672-6 .
Einar Hille . " Analyse fonctionnelle et semi-groupes ". Société mathématique américaine, New York (1948).
NH Bingham, AJ Ostaszewski. "Fonctions sous-additives génériques." Actes de la Société mathématique américaine, vol. 136, non. 12 (2008), p. 4257-4266.

Liens externes

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[1] Fekete, M. (1923). "Über die Verteilung der Wurzeln bei gewissen algebraischen Gleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten". Mathematische Zeitschrift . 17 (1) : 228-249. doi : 10.1007/BF01504345 .

[2] Bruijn, NG; Erdös, P. (1952). "Certaines formules de récursivité linéaire et quadratique. II". Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Sér. A . 55 : 152-163. doi : 10.1016/S1385-7258 (52) 50021-0 .( Identique à Indagationes Math. 14 .) Voir aussi Steele 1997, Théorème 1.9.2.

[3] Michael J. Steele. « Théorie des probabilités et optimisation combinatoire ». SIAM, Philadelphie (1997). ISBN 0-89871-380-3 .

[4] Michael J. Steele (2011). Cours CBMS sur la théorie des probabilités et l'optimisation combinatoire . Université de Cambridge.

[5] Lindenstrauss, Elon; Weiss, Benjamin (2000). "Dimension topologique moyenne" . Journal israélien de mathématiques . 115 (1) : 1–24. CiteSeerX 10.1.1.30.3552 . doi : 10.1007/BF02810577 . ISSN 0021-2172 . Théorème 6.1

[6] Ornstein, Donald S.; Weiss, Benjamin (1987). « Théorèmes d'entropie et d'isomorphisme pour les actions des groupes amenables ». Journal d'Analyse Mathématique . 48 (1) : 1-141. doi : 10.1007/BF02790325 . ISSN 0021-7670 .

[7] Gromov, Misha (1999). « Invariants topologiques de systèmes dynamiques et d'espaces de cartes holomorphes : I ». Physique Mathématique, Analyse et Géométrie . 2 (4) : 323-415. doi : 10.1023/A:1009841100168 . ISSN 1385-0172 .

[8] Ceccherini-Silberstein, Tullio; Krieger, Fabrice ; Coornaert, Michel (2014). « Un analogue du lemme de Fekete pour les fonctions sous-additives sur les semi-groupes susceptibles d'annulation ». J. Anal. Mathématiques . 124 : 59-81. arXiv : 1209.6179 . doi : 10.1007/s11854-014-0027-4 . Théorème 1.1

[9] Hille 1948, Théorème 6.6.1. (La mesurabilité est stipulée dans la section 6.2 « Préliminaires ».)

[10] Schechter, Éric (1997). Manuel d'analyse et ses fondements . San Diego : Presse académique. ISBN 978-0-12-622760-4., p.314,12.25

[Rau-Bredow-11] Rau-Bredow, H. (2019). "Plus grand n'est pas toujours plus sûr : une analyse critique de l'hypothèse de sous-additivité pour des mesures de risque cohérentes" . Risques . 7 (3) : 91. doi : 10.3390/risques7030091 .

[shur-12] Shur, Arsène (2012). « Propriétés de croissance des langues sans pouvoir ». Revue d'informatique . 6 (5–6) : 187–208. doi : 10.1016/j.cosrev.2012.09.001 .

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