Changement de variables - Change of variables

En mathématiques, un changement de variables est une technique de base utilisée pour simplifier les problèmes dans lesquels les variables d' origine sont remplacées par des fonctions d'autres variables. L'intention est que lorsqu'il est exprimé dans de nouvelles variables, le problème peut devenir plus simple, ou équivalent à un problème mieux compris.

Le changement de variables est une opération liée à la substitution . Il s'agit cependant d'opérations différentes, comme on peut le voir lorsqu'on considère la différenciation ( règle de chaîne ) ou l' intégration ( intégration par substitution ).

Un exemple très simple d'un changement de variable utile peut être vu dans le problème de trouver les racines du polynôme du sixième degré:

Les équations polynomiales du sixième degré sont généralement impossibles à résoudre en termes de radicaux (voir théorème d'Abel-Ruffini ). Cette équation particulière, cependant, peut être écrite

(c'est un cas simple de décomposition polynomiale ). Ainsi, l'équation peut être simplifiée en définissant une nouvelle variable . Substituer x par dans le polynôme donne

qui est juste une équation quadratique avec les deux solutions:

Les solutions en termes de variable d'origine sont obtenues en remplaçant x 3 par u , ce qui donne

Alors, en supposant que l'on ne s'intéresse qu'aux solutions réelles , les solutions de l'équation d'origine sont

Exemple simple

Considérez le système d'équations

où et sont des entiers positifs avec . (Source: AIME 1991 )

Résoudre ce problème n'est normalement pas très difficile, mais cela peut devenir un peu fastidieux. Cependant, nous pouvons réécrire la deuxième équation comme . Faire les substitutions et réduit le système à . Résoudre cela donne et . La substitution arrière de la première paire ordonnée nous donne , ce qui donne la solution La substitution arrière de la deuxième paire ordonnée nous donne , ce qui ne donne aucune solution. D'où la solution qui résout le système .

Introduction formelle

Laissez , être lisse collecteurs et laissez - être un - difféomorphisme entre eux, qui est: une fois différentiable, bijective carte de à des temps inverse différentiable de à . Ici peut être n'importe quel nombre naturel (ou zéro), ( lisse ) ou ( analytique ).

La carte est appelée transformation de coordonnées régulière ou substitution de variable régulière , où regular fait référence à -ness de . Habituellement, on écrira pour indiquer le remplacement de la variable par la variable en substituant la valeur de in pour chaque occurrence de .

Autres exemples

Transformation de coordonnées

Certains systèmes peuvent être résolus plus facilement lors du passage aux coordonnées polaires . Prenons par exemple l'équation

Cela peut être une fonction énergétique potentielle pour certains problèmes physiques. Si on ne voit pas immédiatement une solution, on peut essayer la substitution

donné par

Notez que si elle s'exécute en dehors d'un intervalle de -longueur, par exemple , la carte n'est plus bijective. Par conséquent, devrait être limité à, par exemple . Remarquez comment est exclu, car n'est pas bijectif dans l'origine ( peut prendre n'importe quelle valeur, le point sera mappé sur (0, 0)). Ensuite, en remplaçant toutes les occurrences des variables d'origine par les nouvelles expressions prescrites par et utilisant l'identité , nous obtenons

Maintenant, les solutions peuvent être facilement trouvées:, oui ou . L'application de l'inverse de montre que cela équivaut à while . En effet, on voit que pour la fonction disparaît, sauf pour l'origine.

Notez que si nous l'avions permis , l'origine aurait également été une solution, même si ce n'est pas une solution au problème d'origine. Ici, la bijectivité de est cruciale. La fonction est toujours positive (pour ), d'où les valeurs absolues.

Différenciation

La règle de la chaîne est utilisée pour simplifier la différenciation compliquée. Par exemple, considérons le problème du calcul de la dérivée

L'écriture

on a

L'intégration

Les intégrales difficiles peuvent souvent être évaluées en changeant les variables; ceci est activé par la règle de substitution et est analogue à l'utilisation de la règle de chaîne ci-dessus. Des intégrales difficiles peuvent également être résolues en simplifiant l'intégrale en utilisant un changement de variables données par la matrice et le déterminant jacobien correspondants . L'utilisation du déterminant jacobien et du changement de variable correspondant qu'il donne est la base des systèmes de coordonnées tels que les systèmes de coordonnées polaires, cylindriques et sphériques.

Équations différentielles

Les changements variables pour la différenciation et l'intégration sont enseignés dans le calcul élémentaire et les étapes sont rarement effectuées dans leur intégralité.

L'utilisation très large des changements de variables est évidente lorsqu'on considère les équations différentielles, où les variables indépendantes peuvent être modifiées en utilisant la règle de la chaîne ou les variables dépendantes sont modifiées, ce qui entraîne une certaine différenciation à effectuer. Les changements exotiques, tels que le mélange de variables dépendantes et indépendantes dans les transformations de points et de contacts , peuvent être très compliqués mais laissent beaucoup de liberté.

Très souvent, une forme générale de changement est remplacée par un problème et des paramètres choisis en cours de route pour simplifier au mieux le problème.

Mise à l'échelle et décalage

Le changement le plus simple est probablement la mise à l'échelle et le déplacement des variables, c'est-à-dire les remplacer par de nouvelles variables qui sont «étirées» et «déplacées» par des quantités constantes. Ceci est très courant dans les applications pratiques pour extraire des paramètres physiques de problèmes. Pour un n ième dérivée d'ordre, le changement résulte simplement

Cela peut être facilement démontré par la règle de la chaîne et la linéarité de la différenciation. Ce changement est très courant dans les applications pratiques pour extraire des paramètres physiques de problèmes, par exemple le problème de la valeur limite

décrit un écoulement de fluide parallèle entre des parois solides plates séparées par une distance δ; μ est la viscosité et le gradient de pression , les deux constantes. En mettant à l'échelle les variables, le problème devient

La mise à l'échelle est utile pour de nombreuses raisons. Il simplifie l'analyse à la fois en réduisant le nombre de paramètres et en simplifiant simplement le problème. Une mise à l'échelle correcte peut normaliser les variables, c'est-à-dire leur donner une plage sensible sans unité telle que 0 à 1. Enfin, si un problème nécessite une solution numérique, moins il y a de paramètres, moins il y a de calculs.

Momentum vs vitesse

Considérons un système d'équations

pour une fonction donnée . La masse peut être éliminée par la substitution (triviale) . Il s'agit clairement d'une carte bijective de à . Sous la substitution, le système devient

Mécanique lagrangienne

Compte tenu d' un champ de force , Newton de » équations de mouvement sont

Lagrange a examiné comment ces équations de mouvement changent sous une substitution arbitraire de variables ,

Il a constaté que les équations

sont équivalentes aux équations de Newton pour la fonction , où T est la cinétique et V l'énergie potentielle.

En fait, lorsque la substitution est bien choisie (en exploitant par exemple les symétries et les contraintes du système) ces équations sont beaucoup plus faciles à résoudre que les équations de Newton en coordonnées cartésiennes.

Voir également

Les références