Norme uniforme - Uniform norm

Le périmètre du carré est l'ensemble des points de R 2 où la norme sup est égale à une constante positive fixe. Par exemple, les points (2, 0) , (2, 1) et (2, 2) se trouvent le long du périmètre d'un carré et appartiennent à l'ensemble des vecteurs dont la norme sup est 2.

Dans l' analyse mathématique , la norme uniforme (ou norme sup ) des cessionnaires de réel ou complexe -Évaluées fonctions bornées f définie sur un ensemble S le nombre non négatif

Cette norme est aussi appelée la norme supremum, la norme Chebyshev, la norme infinie, ou, lorsque la supremum est en fait le maximum, la norme max . Le nom "norme uniforme" dérive du fait qu'une séquence de fonctions converge vers sous la métrique dérivée de la norme uniforme si et seulement si converge vers uniformément .

La métrique générée par cette norme est appelée la métrique de Chebyshev , du nom de Pafnuty Chebyshev , qui fut le premier à l'étudier systématiquement.

Si l'on admet des fonctions illimitées, cette formule ne donne pas de norme ou de métrique au sens strict, bien que la métrique dite étendue obtenue permette toujours de définir une topologie sur l'espace des fonctions en question.

Si f est une fonction continue sur un intervalle fermé , ou plus généralement un ensemble compact , alors il est borné et le supremum dans la définition ci-dessus est atteint par le théorème des valeurs extrêmes de Weierstrass , on peut donc remplacer le supremum par le maximum. Dans ce cas, la norme est aussi appelée norme maximale . En particulier, si est un vecteur tel que dans un espace de coordonnées de dimension finie , il prend la forme :

L'ensemble des vecteurs dont la norme à l'infini est une constante donnée, c , forme la surface d'un hypercube de longueur d'arête 2 c .

La raison de l'indice "∞" est que chaque fois que f est continue

D est le domaine de f (et l'intégrale équivaut à une somme si D est un ensemble discret ).

La fonction binaire

est alors une métrique sur l'espace de toutes les fonctions bornées (et, évidemment, n'importe lequel de ses sous-ensembles) sur un domaine particulier. Une suite { f n  : n = 1, 2, 3, ... } converge uniformément vers une fonction f si et seulement si

On peut définir des ensembles fermés et des fermetures d'ensembles par rapport à cette topologie métrique ; les ensembles fermés dans la norme uniforme sont parfois appelés uniformément fermés et les fermetures fermetures uniformes . La fermeture uniforme d'un ensemble de fonctions A est l'espace de toutes les fonctions qui peuvent être approchées par une séquence de fonctions uniformément convergentes sur A. Par exemple, une reformulation du théorème de Stone-Weierstrass est que l'ensemble de toutes les fonctions continues sur est la fermeture uniforme de l'ensemble des polynômes sur .

Pour les fonctions continues complexes sur un espace compact, cela le transforme en une algèbre C* .

Voir également

Les références