Davenport rotations enchaînées - Davenport chained rotations

En physique et en ingénierie , les rotations enchaînées de Davenport sont trois rotations intrinsèques enchaînées autour d'axes spécifiques fixés au corps. Les rotations d'Euler et les rotations de Tait-Bryan sont des cas particuliers de la décomposition de rotation générale de Davenport. Les angles de rotation sont appelés angles de Davenport car le problème général de la décomposition d'une rotation en une séquence de trois a été étudié en premier par Paul B. Davenport.

Le système de coordonnées rotatives non orthogonales peut être imaginé comme étant rigidement attaché à un corps rigide. Dans ce cas, il est parfois appelé système de coordonnées local . Les axes de rotation étant solidaires du mobile, les rotations généralisées peuvent être divisées en deux groupes (ici x , y et z se réfèrent au référentiel mobile non orthogonal) :

Rotations Euler généralisées

( zxz, xyx, yzy, zyz, xzx, yxy )

Rotations Tait-Bryan généralisées

( xyz, yzx, zxy, xzy, zyx, yxz ) .

La plupart des cas appartiennent au deuxième groupe, étant donné que les rotations d'Euler généralisées sont un cas dégénéré dans lequel les premier et troisième axes se chevauchent.

Théorème de rotation de Davenport

Davenport axes possibles pour les étapes 1 et 3 étant donné Z comme étape 2

Le problème général de la décomposition d'une rotation en trois mouvements composés autour d'axes intrinsèques a été étudié par P. Davenport, sous le nom d'« angles d'Euler généralisés », mais plus tard ces angles ont été nommés « angles de Davenport » par M. Shuster et L. Markley.

Le problème général consiste à obtenir la décomposition matricielle d'une rotation étant donné les trois axes connus. Dans certains cas, l'un des axes est répété. Ce problème est équivalent à un problème de décomposition de matrices.

Davenport a prouvé que n'importe quelle orientation peut être obtenue en composant trois rotations élémentaires en utilisant des axes non orthogonaux. Les rotations élémentaires peuvent se produire soit autour des axes du système de coordonnées fixes ( rotations extrinsèques ) soit autour des axes d'un système de coordonnées tournant, qui est initialement aligné avec le système de coordonnées fixe et modifie son orientation après chaque rotation élémentaire ( rotations intrinsèques ).

Selon le théorème de Davenport, une décomposition unique est possible si et seulement si le deuxième axe est perpendiculaire aux deux autres axes. Par conséquent, les axes 1 et 3 doivent être dans le plan orthogonal à l'axe 2.

Par conséquent, les décompositions dans les rotations chaînées d'Euler et les rotations chaînées de Tait-Bryan en sont des cas particuliers. Le cas Tait-Bryan apparaît lorsque les axes 1 et 3 sont perpendiculaires, et le cas Euler apparaît lorsqu'ils se chevauchent.

Système complet de rotations

Image 2 : Avion reposant sur un avion

Un ensemble de rotations de Davenport est dit complet s'il suffit à générer une rotation de l'espace par composition. En termes matriciels, il est complet s'il peut générer n'importe quelle matrice orthonormée de l'espace, dont le déterminant est +1. En raison de la non-commutativité du produit matriciel, le système de rotation doit être commandé.

Parfois, l'ordre est imposé par la géométrie du problème sous-jacent. Par exemple, lorsqu'il est utilisé pour des véhicules, qui ont un axe spécial pointant vers la direction "vers l'avant", une seule des six combinaisons possibles de rotations est utile. La composition intéressante est celle capable de contrôler le cap et l'élévation de l'avion avec une rotation indépendante chacun.

Sur le dessin ci-contre, la composition lacet, tangage et roulis (YPR) permet de régler la direction d'un aéronef avec les deux premiers angles. Une composition différente comme YRP permettrait d'établir la direction de l'axe des ailes, ce qui n'est évidemment pas utile dans la plupart des cas.

Rotations enchaînées Tait-Bryan

Les axes principaux d'un avion

Les rotations de Tait-Bryan sont un cas particulier dans lequel les premier et troisième axes sont perpendiculaires entre eux. En supposant un cadre de référence < x , y , z > avec une convention comme dans l'image 2, et un plan avec des axes <lacet, tangage, roulis> comme dans l'image 1 [ données inconnues/manquantes ] , couché horizontalement sur le plan <x , y> au début, après avoir effectué les rotations intrinsèques Y, P et R dans les axes lacet, tangage et roulis (dans cet ordre) on obtient quelque chose de similaire à l'image 3 [ données inconnues/manquantes ] .

Angles de cap, d'élévation et d'inclinaison après les rotations de lacet, de tangage et de roulis (Z-Y'-X'')

Au début :

• l'axe de roulis plan est sur l'axe x du référentiel
• l'axe de tangage plan est sur l'axe y du repère
• l'axe de lacet plan est sur l'axe z du repère

Les rotations sont appliquées dans l'ordre lacet, tangage et roulis . Dans ces conditions, le Cap (angle sur le plan horizontal) sera égal au lacet appliqué, et l'Altitude sera égale au tangage.

Les expressions matricielles pour les trois rotations de Tait-Bryan en 3 dimensions sont :

${\displaystyle {\begin{aligned}\\R_{x}(\phi )=\mathrm {Roll} (\phi )&={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos \phi &-\sin \ phi \\0&\sin \phi &\cos \phi \end{bmatrix}}\\R_{y}(\theta )=\mathrm {Pas} (\theta )&={\begin{bmatrix}\cos \ theta &0&\sin \theta \\0&1&0\\-\sin \theta &0&\cos \theta \end{bmatrix}}\\R_{z}(\psi )=\mathrm {Yaw} (\psi )&={ \begin{bmatrix}\cos \psi &-\sin \psi &0\\\sin \psi &\cos \psi &0\\0&0&1\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$

La matrice des rotations composées est

${\displaystyle {\begin{aligned}M&=\mathrm {Yaw} (\psi )\,\mathrm {Pas} (\theta )\,\mathrm {Roll} (\phi )\\&=R_{z} (\psi )R_{y}(\theta )R_{x}(\phi ).\end{aligned}}}$

Des six combinaisons possibles de lacet, tangage et roulis, cette combinaison est la seule dans laquelle le cap (direction de l'axe de roulis) est égal à l'une des rotations (le lacet) et l'élévation (angle de l'axe de roulis avec le plan horizontal) est égal à l'autre des rotations (au pas).

rotations enchaînées d'Euler

Position de départ d'un avion pour appliquer les bons angles d'Euler

Les rotations d'Euler apparaissent comme le cas particulier dans lequel les premier et troisième axes de rotations se chevauchent. Ces rotations d'Euler sont liées aux angles d'Euler appropriés, qui étaient censés étudier le mouvement d'un corps rigide tel qu'une planète. L'angle pour définir la direction de l'axe de roulis est normalement nommé "longitude de l'axe de révolution" ou "longitude de la ligne de nœuds" au lieu de "cap", ce qui n'a aucun sens pour une planète.

Quoi qu'il en soit, les rotations d'Euler peuvent toujours être utilisées pour parler d'un véhicule, bien qu'elles aient un comportement étrange. Comme l'axe vertical est l'origine des angles, il est nommé "inclinaison" au lieu de "élévation". Comme précédemment, décrivant l'attitude d'un véhicule, il y a un axe considéré pointant vers l'avant, et donc une seule des combinaisons de rotations possibles sera utile.

La combinaison dépend de la façon dont les axes sont pris et de la position initiale du plan. En utilisant celui du dessin, et en combinant les rotations de manière à ce qu'un axe se répète, seul le roulis-tangage-rouleau permettra de contrôler la longitude et l'inclinaison avec une rotation chacune.

Les trois matrices à multiplier sont :

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{z}(\phi )=\mathrm {Roll} _{1}(\phi )&={\begin{bmatrix}\cos \phi &-\sin \phi &0 \\\sin \phi &\cos \phi &0\\0&0&1\end{bmatrix}}\\R_{y}(\theta )=\mathrm {Pas} (\theta )&={\begin{bmatrix}\ cos \theta &0&\sin \theta \\0&1&0\\-\sin \theta &0&\cos \theta \end{bmatrix}}\\R_{z}(\psi )=\mathrm {Roll} _{2}( \psi )&={\begin{bmatrix}\cos \psi &-\sin \psi &0\\\sin \psi &\cos \psi &0\\0&0&1\end{bmatrix}}.\end{aligned}} }$

Dans cette convention Roll ₁ impose le « cap », le Pitch est l'« inclinaison » (complémentaire de l'élévation), et Roll ₂ impose le « tilt ».

Conversion en rotations extrinsèques

Une rotation représentée par des angles d'Euler ( α , β , γ ) = (−60°, 30°, 45°), utilisant les rotations intrinsèques z-x'-z″

La même rotation représentée par (γ, β, α) = (45°, 30°, -60°), en utilisant les rotations extrinsèques zxz

Les rotations de Davenport sont généralement étudiées comme une composition de rotation intrinsèque, en raison de l'importance des axes fixés à un corps en mouvement, mais elles peuvent être converties en une composition de rotation extrinsèque, au cas où cela pourrait être plus intuitif.

Toute rotation extrinsèque équivaut à une rotation intrinsèque selon les mêmes angles mais avec l'ordre inversé des rotations élémentaires, et vice versa. Par exemple, les rotations intrinsèques X-Y'-Z ' par les angles α , β , γ sont équivalentes aux rotations extrinsèques ZYX par des angles γ , β , α . Les deux sont représentés par une matrice

${\displaystyle R=X(\alpha )Y(\beta )Z(\gamma )}$

si R est utilisé pour pré-multiplier les vecteurs colonnes , et par une matrice

${\displaystyle R=Z(\gamma )Y(\beta )X(\alpha )}$

si R est utilisé pour post-multiplier les vecteurs de ligne . Voir Ambiguïtés dans la définition des matrices de rotation pour plus de détails.

Relation avec les mouvements physiques

Rotations intrinsèques

Les rotations intrinsèques sont des rotations élémentaires qui se produisent autour des axes du système de coordonnées de rotation XYZ , qui change d'orientation après chaque rotation élémentaire. Le système XYZ tourne, tandis que xyz est fixe. En commençant par XYZ chevauchant xyz , une composition de trois rotations intrinsèques peut être utilisée pour atteindre n'importe quelle orientation cible pour XYZ . Les angles d' Euler ou Tait-Bryan ( α , β , gamma ) sont les amplitudes de ces rotations élémentaires. Par exemple, l'orientation cible peut être atteinte comme suit :

• Les XYZ système tourne en α sur l' Z axe (qui coïncide avec le z axe). L' axe X se trouve maintenant sur la ligne des nœuds.
• Le XYZ système tourne autour de l'tourne maintenant X axe par β . L' axe Z est maintenant dans son orientation finale et l' axe X reste sur la ligne des nœuds.
• Le XYZ système fait tourner une troisième fois sur la nouvelle Z axe par γ .

La notation mentionnée ci-dessus nous permet de résumer cela comme suit : les trois rotations élémentaires du système XYZ se produisent autour de z , x ' et z ″. En effet, cette séquence est souvent notée z-x'-z″ . Les ensembles d'axes de rotation associés à la fois aux angles d'Euler et aux angles de Tait-Bryan sont communément nommés en utilisant cette notation (voir ci-dessus pour plus de détails). Parfois, la même séquence est simplement appelée zxz , ZZZ ou 3-1-3 , mais cette notation peut être ambiguë car elle peut être identique à celle utilisée pour les rotations extrinsèques. Dans ce cas, il devient nécessaire de préciser séparément si les rotations sont intrinsèques ou extrinsèques.

Les matrices de rotation peuvent être utilisées pour représenter une séquence de rotations intrinsèques. Par exemple,

${\displaystyle R=X(\alpha )Y(\beta )Z(\gamma )}$

représente une composition de rotations intrinsèques autour des axes x-y'-z″ , si elle est utilisée pour pré-multiplier les vecteurs colonnes , tandis que

${\displaystyle R=Z(\gamma )Y(\beta )X(\alpha )}$

représente exactement la même composition lorsqu'il est utilisé pour post-multiplier les vecteurs de ligne . Voir Ambiguïtés dans la définition des matrices de rotation pour plus de détails.

Rotations extrinsèques

Les rotations extrinsèques sont des rotations élémentaires qui se produisent autour des axes du système de coordonnées fixe xyz . Le système XYZ tourne, tandis que xyz est fixe. En commençant par XYZ chevauchant xyz , une composition de trois rotations extrinsèques peut être utilisée pour atteindre n'importe quelle orientation cible pour XYZ . Les angles d' Euler ou Tait-Bryan ( α , β , gamma ) sont les amplitudes de ces rotations élémentaires. Par exemple, l'orientation cible peut être atteinte comme suit :

• Les XYZ système tourne autour de l' z axe par α . L' axe X est maintenant à l'angle α par rapport à l' axe x .
• Les XYZ tourne système nouveau de la x axe par β . L' axe Z est maintenant à l'angle par rapport à l' axe z .
• Le XYZ système fait tourner une troisième fois sur le z axe par γ .

En somme, les trois rotations élémentaires se produisent autour de z , x et z . En effet, cette séquence est souvent notée zxz (ou 3-1-3). Les ensembles d'axes de rotation associés à la fois aux angles d'Euler et aux angles de Tait-Bryan sont communément nommés en utilisant cette notation (voir ci-dessus pour plus de détails).

Les matrices de rotation peuvent être utilisées pour représenter une séquence de rotations extrinsèques. Par exemple,

${\displaystyle R=Z(\gamma )Y(\beta )X(\alpha )}$

représente une composition de rotations extrinsèques autour des axes xyz , si elle est utilisée pour pré-multiplier les vecteurs colonnes , tandis que

${\displaystyle R=X(\alpha )Y(\beta )Z(\gamma )}$

représente exactement la même composition lorsqu'il est utilisé pour post-multiplier les vecteurs de ligne . Voir Ambiguïtés dans la définition des matrices de rotation pour plus de détails.

Conversion entre rotations intrinsèques et extrinsèques

Une rotation représentée par des angles d'Euler ( α , β , γ ) = (−60°, 30°, 45°), utilisant les rotations intrinsèques z-x'-z″

La même rotation représentée par (γ, β, α) = (45°, 30°, -60°), en utilisant les rotations extrinsèques zxz

Toute rotation extrinsèque équivaut à une rotation intrinsèque selon les mêmes angles mais avec l'ordre inversé des rotations élémentaires, et vice versa. Par exemple, les rotations intrinsèques X-Y'-Z ' par les angles α , β , γ sont équivalentes aux rotations extrinsèques ZYX par des angles γ , β , α . Les deux sont représentés par une matrice

${\displaystyle R=X(\alpha )Y(\beta )Z(\gamma )}$

si R est utilisé pour pré-multiplier les vecteurs colonnes , et par une matrice

${\displaystyle R=Z(\gamma )Y(\beta )X(\alpha )}$

si R est utilisé pour post-multiplier les vecteurs de ligne . Voir Ambiguïtés dans la définition des matrices de rotation pour plus de détails.

La preuve de la conversion dans le cas de pré-multiplication

La matrice de rotation de la séquence de rotation intrinsèque x-y'-z″ peut être obtenue par les rotations séquentielles des éléments intrinsèques de la droite vers la gauche :

${\style d'affichage R=Z''Y'X.}$

Dans ce processus, il y a trois trames liées dans la séquence de rotation intrinsèque. Notons l'image 0 comme image initiale, l'image 1 après la première rotation autour de l' axe x , l'image 2 après la deuxième rotation autour de l' axe y' , et l'image 3 comme troisième rotation autour de l' axe z″ .

Puisqu'une matrice de rotation peut être représentée parmi ces trois cadres, utilisons l'index de l'épaule gauche pour désigner le cadre de représentation. La notation suivante désigne la matrice de rotation qui transforme le repère a en repère b et qui est représentée dans le repère c  :

${\displaystyle {}^{c}\!R_{a\rightarrow b}.}$

Une matrice de rotation d'élément intrinsèque représentée dans ce cadre où la rotation se produit a la même valeur que celle de la matrice de rotation d'élément extrinsèque correspondante :

${\displaystyle {}^{0}\!R_{1\rightarrow 0}=X,\quad {}^{1}\!R_{2\rightarrow 1}=Y,\quad {}^{2}\ !R_{3\rightarrow 2}=Z.}$

La matrice intrinsèque de rotation des éléments Y' et Z″ représentée dans le repère 0 peut être exprimée sous d'autres formes :

${\displaystyle {\begin{aligned}Y'&={}^{0}\!R_{2\rightarrow 1}\\&={}^{0}\!R_{1\rightarrow 0}{}^ {1}\!R_{2\rightarrow 1}{}^{0}\!R_{1\rightarrow 0}^{-1}\\&=XYX^{-1}\\[3pt]Z'' &={}^{0}\!R_{3\rightarrow 2}\\&={}^{0}\!R_{1\rightarrow 0}{}^{1}\!R_{3\rightarrow 2 }{}^{0}\!R_{1\rightarrow 0}^{-1}\\&=X\left({}^{1}\!R_{2\rightarrow 1}{}^{2} \!R_{3\rightarrow 2}{}^{1}\!R_{2\rightarrow 1}^{-1}\right)X^{-1}\\&=XYZY^{-1}X^ {-1}\end{aligné}}}$

Les deux équations ci-dessus sont substituées à la première équation :

${\displaystyle {\begin{aligned}R&=Z''Y'X\\&=\left(XYZY^{-1}X^{-1}\right)\left(XYX^{-1}\right )X\\&=XYZY^{-1}\gauche(X^{-1}X\droit)Y\gauche(X^{-1}X\droit)\\&=XYZ\gauche(Y^{ -1}Y\right)\\&=XYZ\end{aligned}}}$

Par conséquent, la matrice de rotation d'une séquence de rotation d'élément intrinsèque est la même que celle de la séquence de rotation d'élément extrinsèque inverse :

${\style d'affichage R=Z''Y'X=XYZ.}$

Voir également

• Décomposition matricielle
• Rotation donnée

Les références