Théorème de Tarski sur le choix - Tarski's theorem about choice

En mathématiques , le théorème de Tarski , prouvé par Alfred Tarski  ( 1924 ), déclare que dans ZF le théorème "Pour tout ensemble infini , il y a une application bijective entre les ensembles et " implique l' axiome du choix . La direction opposée était déjà connue, donc le théorème et l'axiome de choix sont équivalents. ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A \ times A}$

Tarski a déclaré à Jan Mycielski  ( 2006 ) que lorsqu'il a tenté de publier le théorème dans les Comptes Rendus de l'Académie des Sciences Paris, Fréchet et Lebesgue ont refusé de le présenter. Fréchet a écrit qu'une implication entre deux propositions bien connues n'est pas un résultat nouveau. Lebesgue a écrit qu'une implication entre deux fausses propositions n'a aucun intérêt.

Preuve

Le but est de prouver que l'axiome du choix est impliqué par l'énoncé «pour tout ensemble infini : ». On sait que le théorème du bon ordre équivaut à l'axiome du choix; il suffit donc de montrer que l'énoncé implique que pour chaque ensemble il existe un ordre de puits . ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle | A | = | A \ fois A |}$${\ displaystyle B}$

Pour les ensembles finis, c'est trivial, donc nous supposons que c'est infini. ${\ displaystyle B}$

Puisque la collection de tous les ordinaux telle qu'il existe une fonction surjective de à l'ordinal est un ensemble, il existe un ordinal minimal non nul , de sorte qu'il n'y ait pas de fonction surjective de à . On suppose sans perte de généralité que les ensembles et sont disjoints . Par l'hypothèse initiale,, il existe donc une bijection . ${\ displaystyle B}$${\ displaystyle \ beta}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle \ beta}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle \ beta}$${\ displaystyle | B \ cup \ beta | = | (B \ cup \ beta) \ times (B \ cup \ beta) |}$ ${\ displaystyle f: B \ cup \ beta \ to (B \ cup \ beta) \ times (B \ cup \ beta)}$

Pour tout , c'est impossible , car sinon on pourrait définir une fonction surjective de à . Par conséquent, il existe au moins un ordinal tel que , donc l'ensemble n'est pas vide. ${\ displaystyle x \ in B}$${\ displaystyle \ beta \ times \ {x \} \ subseteq f [B]}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle \ beta}$${\ displaystyle \ gamma \ in \ beta}$${\ displaystyle f (\ gamma) \ in \ beta \ times \ {x \}}$${\ displaystyle S_ {x} = \ {\ gamma | f (\ gamma) \ in \ beta \ times \ {x \} \}}$

Nous pouvons définir une nouvelle fonction: . Cette fonction est bien définie puisqu'il s'agit d'un ensemble d'ordinaux non vide, et a donc un minimum. Pour tous les ensembles et sont disjoints. Par conséquent, nous pouvons définir un ordre de puits sur , pour tout ce que nous définissons , puisque l'image de , c'est -à- dire , est un ensemble d'ordinaux et donc bien ordonnée. ${\ displaystyle g (x) = \ min S_ {x}}$${\ displaystyle S_ {x}}$${\ Displaystyle x, y \ en B, x \ neq y}$${\ displaystyle S_ {x}}$${\ displaystyle S_ {y}}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle x, y \ in B}$${\ Displaystyle x \ leq y \ iff g (x) \ leq g (y)}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle g [B]}$

Les références

• Rubin, Herman; Rubin, Jean E. (1985), Equivalents of the Axiom of Choice II , North Holland / Elsevier, ISBN 0-444-87708-8
• Mycielski, Jan (2006), "Un système d'axiomes de la théorie des ensembles pour les rationalistes" (PDF) , Notices of the American Mathematical Society , 53 (2): 209
• Tarski, A. (1924), "Sur quelques théorèmes qui équivalent à l'axiome du choix" , Fundamenta Mathematicae , 5 : 147–154