Tétraèdre - Tetrahedron

Tétraèdre régulier
Tétraèdre.jpg
(Cliquez ici pour le modèle rotatif)
Taper Solide platonique
petit code 3> 2z
Éléments F = 4, E = 6
V = 4 (χ = 2)
Visages à côté 4{3}
Notation de Conway T
Symboles Schläfli {3,3}
h{4,3}, s{2,4}, sr{2,2}
Configuration du visage V3.3.3
Symbole Wythoff 3 | 2 3
| 2 2 2
Diagramme de Coxeter Nœud CDel 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png = Nœud CDel h.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Nœud CDel h.pngCDel 2x.pngNœud CDel h.pngCDel 4.pngCDel node.png
Nœud CDel h.pngCDel 2x.pngNœud CDel h.pngCDel 2x.pngNœud CDel h.png
Symétrie T d , A 3 , [3,3], (*332)
Groupe de rotation T , [3,3] + , (332)
Les références U 01 , C 15 , W 1
Propriétés deltaèdre régulier et convexe
Angle dièdre 70.528779 ° = arccos ( 1 / trois )
Tétraèdre vertfig.png
3.3.3
( Figure de sommet )
Tétraèdre.png
Auto-dual
( double polyèdre )
Tétraèdre plat.svg
Rapporter
Tétraèdre ( Matemateca IME-USP )
Modèle 3D de tétraèdre régulier.

En géométrie , un tétraèdre (pluriel : tétraèdres ou tétraèdres ), également connu sous le nom de pyramide triangulaire , est un polyèdre composé de quatre faces triangulaires , de six arêtes droites et de quatre sommets . Le tétraèdre est le plus simple de tous les polyèdres convexes ordinaires et le seul qui a moins de 5 faces.

Le tétraèdre est le cas tridimensionnel du concept plus général d'un simplex euclidien , et peut donc aussi être appelé un 3-simplex .

Le tétraèdre est une sorte de pyramide , qui est un polyèdre avec une base polygonale plate et des faces triangulaires reliant la base à un point commun. Dans le cas d'un tétraèdre, la base est un triangle (n'importe laquelle des quatre faces peut être considérée comme la base), donc un tétraèdre est également connu sous le nom de "pyramide triangulaire".

Comme tous les polyèdres convexes , un tétraèdre peut être plié à partir d'une seule feuille de papier. Il a deux tels filets .

Pour tout tétraèdre, il existe une sphère (appelée la sphère circonscrite ) sur laquelle reposent les quatre sommets, et une autre sphère (l' insphère ) tangente aux faces du tétraèdre.

Tétraèdre régulier

Un tétraèdre régulier est un tétraèdre dont les quatre faces sont des triangles équilatéraux . C'est l'un des cinq solides réguliers de Platon , connus depuis l'Antiquité.

Dans un tétraèdre régulier, toutes les faces ont la même taille et la même forme (congruentes) et toutes les arêtes ont la même longueur.

Cinq tétraèdres sont posés à plat sur un plan, avec les points tridimensionnels les plus élevés marqués 1, 2, 3, 4 et 5. Ces points sont ensuite attachés les uns aux autres et un mince volume d'espace vide est laissé, où les cinq les angles de bord ne se rencontrent pas tout à fait.

Les tétraèdres réguliers seuls ne sont pas en mosaïque (remplissent l'espace), mais s'ils sont alternés avec des octaèdres réguliers dans le rapport de deux tétraèdres pour un octaèdre, ils forment le nid d'abeilles cubique alterné , qui est un pavage. Certains tétraèdres qui ne sont pas réguliers, notamment l' orthoschéma de Schläfli et le tétraèdre de Hill , peuvent se tesseler .

Le tétraèdre régulier est auto-dual, ce qui signifie que son double est un autre tétraèdre régulier. Le composé chiffre comprenant deux la forme à double tétraèdres un octaèdre étoilé ou stella octangula.

Coordonnées d'un tétraèdre régulier

Les coordonnées cartésiennes suivantes définissent les quatre sommets d'un tétraèdre de longueur d'arête 2, centré à l'origine, et deux arêtes de niveau :

Exprimés symétriquement par 4 points sur la sphère unité , centre de gravité à l'origine, avec le niveau de face inférieur, les sommets sont :

avec la longueur d'arête de .

Un autre ensemble de coordonnées sont basées sur un alterné cube ou demicube avec une longueur de bord 2. Cette forme a diagramme Coxeter Nœud CDel h.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pnget le symbole de Schläfli h{4,3}. Le tétraèdre dans ce cas a une longueur de bord 2 2 . L'inversion de ces coordonnées génère le tétraèdre double, et la paire forme ensemble l'octaèdre étoilé, dont les sommets sont ceux du cube d'origine.

Tétraèdre : (1,1,1), (1,−1,−1), (−1,1,−1), (−1,−1,1)
Tétraèdre double : (−1,−1,−1), (−1,1,1), (1,−1,1), (1,1,−1)
Tétraèdre régulier ABCD et sa sphère circonscrite

Angles et distances

Pour un tétraèdre régulier de longueur d'arête a :

Zone du visage
Superficie
Hauteur de la pyramide
Distance du centre de gravité au sommet
Distance bord à bord opposé
Le volume
Angle face-sommet-arête
(environ 54,7356°)
Angle face-arête-face , c'est-à-dire "angle dièdre"
(environ 70,5288°)
Angle sommet-centre-sommet, l'angle entre les lignes du centre du tétraèdre à deux sommets. C'est aussi l'angle entre les bords du Plateau à un sommet. En chimie, on l'appelle l' angle de liaison tétraédrique . Cet angle (en radians) est également la longueur d'arc du segment géodésique sur la sphère unité résultant de la projection centrale d'un bord du tétraèdre sur la sphère.
(environ 109,4712°)
Angle solide à un sommet sous-tendu par une face
(environ 0,55129 stéradians )
(environ 1809,8 degrés carrés )
Rayon de la circonférence
Rayon de l' insphère tangent aux faces
Rayon de la sphère médiane tangente aux arêtes
Rayon des exsphères
Distance au centre de l'exsphère du sommet opposé

En ce qui concerne le plan de base de la pente d'une face (2 2 ) est le double de celui d'un bord ( 2 ), ce qui correspond au fait que l' horizontal distance parcourue à partir de la base vers le sommet le long d' un bord est deux fois plus que le long de la médiane d'un visage. En d'autres termes, si C est le centre de gravité de la base, la distance de C à un sommet de la base est le double de celle de C au milieu d'une arête de la base. Ceci résulte du fait que les médianes d'un triangle se coupent en son centre de gravité, et ce point divise chacune d'elles en deux segments dont l'un est deux fois plus long que l'autre (voir preuve ).

Pour un tétraèdre régulier de longueur de côté a , de rayon R de sa sphère circonscrite et de distances d i d'un point arbitraire dans l'espace 3-à ses quatre sommets, nous avons

Isométries du tétraèdre régulier

Les rotations appropriées, (rotation d'ordre 3 sur un sommet et une face, et d'ordre 2 sur deux arêtes) et le plan de réflexion (à travers deux faces et une arête) dans le groupe de symétrie du tétraèdre régulier

Les sommets d'un cube peuvent être regroupés en deux groupes de quatre, chacun formant un tétraèdre régulier (voir ci-dessus, ainsi que l' animation , montrant l'un des deux tétraèdres du cube). Les symétries d'un tétraèdre régulier correspondent à la moitié de celles d'un cube : celles qui mappent les tétraèdres entre eux et non entre eux.

Le tétraèdre est le seul solide platonicien qui n'est pas mappé à lui-même par inversion de points .

Le tétraèdre régulier a 24 isométries, formant le groupe de symétrie T d , [3,3], (*332), isomorphe au groupe symétrique , S 4 . Ils peuvent être classés comme suit :

  • T , [3,3] + , (332) est isomorphe au groupe alterné , A 4 (l'identité et 11 rotations propres) avec les classes de conjugaison suivantes (entre parenthèses sont données les permutations des sommets, ou en conséquence, les faces, et la représentation du quaternion unitaire ):
    • identité (identité; 1)
    • rotation autour d'un axe passant par un sommet, perpendiculaire au plan opposé, d'un angle de ±120° : 4 axes, 2 par axe, ensemble 8 ((1 2 3) , etc. ; 1 ± i ± j ± k/2)
    • rotation d'un angle de 180° telle qu'une arête corresponde à l'arête opposée : 3 ((1 2)(3 4) , etc.; i , j , k )
  • réflexions dans un plan perpendiculaire à une arête : 6
  • réflexions dans un plan combinées à une rotation de 90° autour d'un axe perpendiculaire au plan : 3 axes, 2 par axe, ensemble 6 ; de manière équivalente, ce sont des rotations de 90° combinées à une inversion ( x est mappé sur − x ) : les rotations correspondent à celles du cube autour des axes en vis-à-vis

Projections orthogonales du tétraèdre régulier

Le tétraèdre régulier a deux projections orthogonales spéciales , une centrée sur un sommet ou de manière équivalente sur une face, et une centrée sur une arête. Le premier correspond à l' avion A 2 Coxeter .

Projection orthographique
Centré par Face/sommet Bord
Image 3-simple t0 A2.svg 3-simple t0.svg

Symétrie projective
[3] [4]

Coupe transversale du tétraèdre régulier

Une section transversale centrale d'un tétraèdre régulier est un carré .

Les deux bords opposés perpendiculaires obliques d'un tétraèdre régulier définissent un ensemble de plans parallèles. Lorsque l'un de ces plans coupe le tétraèdre, la section transversale résultante est un rectangle . Lorsque le plan d'intersection est près de l'un des bords, le rectangle est long et mince. A mi-chemin entre les deux bords, l'intersection est un carré . Le rapport hauteur/largeur du rectangle s'inverse lorsque vous passez ce point à mi-chemin. Pour l'intersection carrée médiane, la ligne de démarcation résultante traverse chaque face du tétraèdre de la même manière. Si le tétraèdre est coupé en deux sur ce plan, les deux moitiés deviennent des coins .

Un disphénoïde tétragonal vu orthogonalement aux deux bords verts.

Cette propriété s'applique également aux disphénoïdes tétragonaux lorsqu'elle est appliquée aux deux paires d'arêtes spéciales.

Carrelage sphérique

Le tétraèdre peut également être représenté sous la forme d' un pavage sphérique , et projeté sur le plan via une projection stéréographique . Cette projection est conforme , préservant les angles mais pas les surfaces ou les longueurs. Les lignes droites sur la sphère sont projetées sous forme d'arcs de cercle sur le plan.

Carrelage uniforme 332-t2.png projection stéréographique tétraèdre.svg
Projection orthographique Projection stéréographique

Empilage hélicoïdal

Un seul anneau de 30 tétraèdres en hélice de Boerdijk-Coxeter dans les 600 cellules , vu en projection stéréographique

Les tétraèdres réguliers peuvent être empilés face à face dans une chaîne apériodique chirale appelée hélice de Boerdijk-Coxeter . En quatre dimensions , tous les 4-polytopes réguliers convexes à cellules tétraédriques (les 5-cellules , 16-cellules et 600-cellules ) peuvent être construits comme des pavages de la 3-sphère par ces chaînes, qui deviennent périodiques dans la tridimensionnelle l'espace de la surface limite du 4-polytope.

Autres cas particuliers

Sous-groupe tétraédrique tree.png
Relations de sous-groupes de symétrie tétraédrique
Arbre de symétrie tétraèdre.png
Symétries tétraédriques montrées dans les diagrammes tétraédriques

Un tétraèdre isocèle , également appelé disphénoïde , est un tétraèdre dont les quatre faces sont des triangles congrus . Un tétraèdre remplissant l'espace contient des copies congruentes de lui-même dans l'espace des tuiles, comme le nid d'abeille tétraédrique disphénoïde .

Dans un tétraèdre trirectangulaire, les trois angles de face à un sommet sont des angles droits . Si les trois paires d'arêtes opposées d'un tétraèdre sont perpendiculaires , on parle alors de tétraèdre orthocentrique . Lorsqu'une seule paire d'arêtes opposées est perpendiculaire, on parle de tétraèdre semi-orthocentrique . Un tétraèdre isodynamique est celui dans lequel les cévians qui joignent les sommets aux centres des faces opposées sont concurrents , et un tétraèdre isogonique a des cévians concurrents qui joignent les sommets aux points de contact des faces opposées avec la sphère inscrite du tétraèdre .

Isométries des tétraèdres irréguliers

Les isométries d'un tétraèdre irrégulier (non marqué) dépendent de la géométrie du tétraèdre, avec 7 cas possibles. Dans chaque cas, un groupe de points tridimensionnel est formé. Deux autres isométries (C 3 , [3] + ) et (S 4 , [2 + ,4 + ]) peuvent exister si le marquage de face ou de bord est inclus. Des diagrammes tétraédriques sont inclus pour chaque type ci-dessous, avec des bords colorés par équivalence isométrique, et sont de couleur grise pour des bords uniques.

Nom du tétraèdre Diagramme d'
équivalence de bord
La description
Symétrie
Schön. Barreur. Orbe. Ord.
Tétraèdre régulier Diagramme de tétraèdre régulier.png
Quatre triangles équilatéraux
Elle forme le groupe de symétrie T d , isomorphe au groupe symétrique , S 4 . Un tétraèdre régulier a un diagramme de Coxeter Nœud CDel 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pnget le symbole Schläfli {3,3}.
T d
T
[3,3]
[3,3] +
*332
332
24
12
Pyramide triangulaire Diagramme de pyramide trigonale isocèle.png
Une base triangulaire équilatérale et trois côtés triangulaires isocèles égaux
Il donne 6 isométries, correspondant aux 6 isométries de la base. Comme permutations des sommets, ces 6 isométries sont d'identité 1, (123), (132), (12), (13) et (23), formant le groupe de symétrie C 3v , isomorphe au groupe symétrique , S 3 . Une pyramide triangulaire a le symbole de Schläfli {3}∨( ).
C 3v
C 3
[3]
[3] +
*33
33
6
3
Sphénoïde en miroir Diagramme sphénoïde.png
Deux triangles scalènes égaux avec un bord de base commun
Cela a deux paires d'arêtes égales (1,3), (1,4) et (2,3), (2,4) et sinon pas d'arêtes égales. Les deux seules isométries sont 1 et la réflexion (34), donnant le groupe C s , également isomorphe au groupe cyclique , Z 2 .
C s
= C 1h
= C 1V
[ ] * 2
Tétraèdre irrégulier
(pas de symétrie)
Diagramme du tétraèdre scalène.png
Quatre triangles inégaux

Sa seule isométrie est l'identité, et le groupe de symétrie est le groupe trivial . Un tétraèdre irrégulier a le symbole de Schläfli ( )∨( )∨( )∨( ).

C 1 [ ] + 1 1
Disphénoïdes (quatre triangles égaux)
Disphénoïde tétragonal Diagramme disphénoïde tétragonal.png
Quatre triangles isocèles égaux

Il a 8 isométries. Si les arêtes (1,2) et (3,4) sont de longueur différente des 4 autres alors les 8 isométries sont l'identité 1, les réflexions (12) et (34) et les rotations de 180° (12)(34), (13)(24), (14)(23) et des rotations incorrectes de 90° (1234) et (1432) formant le groupe de symétrie D 2d . Un disphénoïde tétragonal a un diagramme de CoxeterNœud CDel h.pngCDel 2x.pngNœud CDel h.pngCDel 4.pngCDel node.png et le symbole de Schläfli s{2,4}.

D 2d
S 4
[2 + ,4]
[2 + ,4 + ]
2*2
8
4
Disphénoïde rhombique Diagramme disphénoïde rhombique.png
Quatre triangles scalènes égaux

Il a 4 isométries. Les isométries sont 1 et les rotations de 180° (12)(34), (13)(24), (14)(23). C'est le groupe de Klein à quatre V 4 ou Z 2 2 , présent comme le groupe ponctuel D 2 . Un disphénoïde rhombique a un diagramme de CoxeterNœud CDel h.pngCDel 2x.pngNœud CDel h.pngCDel 2x.pngNœud CDel h.png et le symbole de Schläfli sr{2,2}.

D 2 [2,2] + 222 4
Disphénoïdes généralisés (2 paires de triangles égaux)
Digonal disphénoïde Digonal disphénoïde diagram2.png
Digonal disphenoid diagram.png
Deux paires de triangles isocèles égaux
Cela donne deux bords opposés (1,2) et (3,4) qui sont perpendiculaires mais de longueurs différentes, puis les 4 isométries sont 1, les réflexions (12) et (34) et la rotation à 180° (12) (34) . Le groupe de symétrie est C 2v , isomorphe au groupe de Klein V 4 . Un disphénoïde digonal a le symbole de Schläfli { }∨{ }.
C 2v
C 2
[2]
[2] +
*22
22
4
2
Disphénoïde phyllique Tétraèdre demi-tour diagram.png
Tétraèdre demi-tour diagram2.png
Deux paires de triangles scalènes ou isocèles égaux

Celui-ci a deux paires d'arêtes égales (1,3), (2,4) et (1,4), (2,3) mais sinon aucune arête égale. Les deux seules isométries sont 1 et la rotation (12)(34), donnant le groupe C 2 isomorphe au groupe cyclique , Z 2 .

C 2 [2] + 22 2

Les propriétés générales

Le volume

Le volume d'un tétraèdre est donné par la formule du volume de la pyramide :

A 0 est l'aire de la base et h est la hauteur de la base au sommet. Ceci s'applique pour chacun des quatre choix de la base, de sorte que les distances des sommets aux faces opposées sont inversement proportionnelles aux aires de ces faces.

Pour un tétraèdre de sommets a = ( a 1 , a 2 , a 3 ) , b = ( b 1 , b 2 , b 3 ) , c = ( c 1 , c 2 , c 3 ) , et d = ( d 1 , d 2 , d 3 ) , le volume est1/6| det ( ad , bd , cd )| , ou toute autre combinaison de paires de sommets qui forment un graphe simplement connexe . Cela peut être réécrit en utilisant un produit scalaire et un produit croisé , ce qui donne

Si l'origine du système de coordonnées est choisie pour coïncider avec le sommet d , alors d = 0, donc

a , b et c représentent trois arêtes qui se rencontrent à un sommet, et a · ( b × c ) est un triple produit scalaire . En comparant cette formule avec celle utilisée pour calculer le volume d'un parallélépipède , nous concluons que le volume d'un tétraèdre est égal à1/6 du volume de tout parallélépipède qui partage avec lui trois arêtes convergentes.

La valeur absolue du triple produit scalaire peut être représentée par les valeurs absolues suivantes des déterminants :

 ou où sont exprimés sous forme de vecteurs de ligne ou de colonne.    

D'où

  

qui donne

α , β , γ sont les angles plans apparaissant au sommet d . L'angle α est l'angle entre les deux bords reliant le sommet d aux sommets b et c . L'angle β , fait ainsi pour les sommets a et c , tandis que γ , est défini par la position des sommets a et b .

Si nous n'exigeons pas que d = 0 alors

Étant donné les distances entre les sommets d'un tétraèdre, le volume peut être calculé en utilisant le déterminant de Cayley-Menger :

où les indices i , j ∈ {1, 2, 3, 4} représentent les sommets { a , b , c , d } et d ij est la distance deux à deux entre eux – c'est-à-dire la longueur de l'arête reliant les deux sommets. Une valeur négative du déterminant signifie qu'un tétraèdre ne peut pas être construit avec les distances données. Cette formule, parfois appelée formule de Tartaglia , est essentiellement due au peintre Piero della Francesca au XVe siècle, en tant qu'analogue en trois dimensions de la formule de Heron du Ier siècle pour l'aire d'un triangle.

Notons a, b, c trois arêtes qui se rencontrent en un point, et x, y, z les arêtes opposées. Soit V le volume du tétraèdre ; alors

La formule ci-dessus utilise six longueurs d'arêtes et la formule suivante utilise trois longueurs d'arêtes et trois angles.

Formule de type héron pour le volume d'un tétraèdre

Six longueurs d'arête de tétraèdre

Si U , V , W , u , v , w sont des longueurs d'arêtes du tétraèdre (les trois premiers forment un triangle ; u opposé à U et ainsi de suite), alors

Diviseur de volume

Tout plan contenant une bimédiane (connecteur des points médians des arêtes opposées) d'un tétraèdre coupe le volume du tétraèdre en deux.

Volume non euclidien

Pour les tétraèdres en espace hyperbolique ou en géométrie elliptique tridimensionnelle , les angles dièdres du tétraèdre déterminent sa forme et donc son volume. Dans ces cas, le volume est donné par la formule Murakami-Yano . Cependant, dans l'espace euclidien, la mise à l'échelle d'un tétraèdre modifie son volume mais pas ses angles dièdres, donc aucune formule de ce type ne peut exister.

Distance entre les bords

Deux arêtes opposées d'un tétraèdre se trouvent sur deux lignes obliques , et la distance entre les arêtes est définie comme la distance entre les deux lignes obliques. Soit d la distance entre les lignes obliques formées par les arêtes opposées a et bc calculée ici . Ensuite, une autre formule de volume est donnée par

Propriétés analogues à celles d'un triangle

Le tétraèdre a de nombreuses propriétés analogues à celles d'un triangle, y compris une insphère, une circonsphère, un tétraèdre médian et des exsphères. Il a des centres respectifs tels que incenter, circumcenter, excenters, Spieker center et des points tels qu'un centroïde. Cependant, il n'y a généralement pas d'orthocentre au sens des altitudes d'intersection.

Gaspard Monge a trouvé un centre qui existe dans chaque tétraèdre, maintenant connu sous le nom de point de Monge : le point où les six plans médians d'un tétraèdre se coupent. Un plan médian est défini comme un plan orthogonal à une arête joignant deux sommets quelconques qui contient également le centroïde d'une arête opposée formée en joignant les deux autres sommets. Si les altitudes du tétraèdre se coupent, alors le point de Monge et l'orthocentre coïncident pour donner la classe de tétraèdre orthocentrique .

Une ligne orthogonale tombant du point de Monge à n'importe quelle face rencontre cette face au milieu du segment de ligne entre l'orthocentre de cette face et le pied de l'altitude tombant du sommet opposé.

Un segment de droite joignant un sommet d'un tétraèdre au centre de gravité de la face opposée est appelé médiane et un segment de droite joignant les milieux de deux arêtes opposées est appelé bimédiane du tétraèdre. Il y a donc quatre médianes et trois bimédianes dans un tétraèdre. Ces sept segments de droite sont tous concurrents en un point appelé centroïde du tétraèdre. De plus, les quatre médianes sont divisées dans un rapport 3:1 par le centroïde (voir le théorème de Commandino ). Le centre de gravité d'un tétraèdre est le milieu entre son point de Monge et son centre circonscrit. Ces points définissent la ligne d'Euler du tétraèdre qui est analogue à la ligne d'Euler d'un triangle.

Le cercle à neuf points du triangle général a un analogue dans la circonférence du tétraèdre médian d'un tétraèdre. C'est la sphère à douze points et outre les centroïdes des quatre faces du tétraèdre de référence, elle passe par quatre points d'Euler de substitution , à un tiers de la distance du point de Monge vers chacun des quatre sommets. Enfin, il passe par les quatre points de base des lignes orthogonales tombées de chaque point d'Euler à la face ne contenant pas le sommet qui a généré le point d'Euler.

Le centre T de la sphère à douze points se trouve également sur la ligne d'Euler. Contrairement à son homologue triangulaire, ce centre se situe au tiers du trajet du point de Monge M vers le centre circonscrit. De plus, une ligne orthogonale passant par T à une face choisie est coplanaire avec deux autres lignes orthogonales à la même face. La première est une ligne orthogonale passant par le point d'Euler correspondant jusqu'à la face choisie. La seconde est une ligne orthogonale passant par le centre de gravité de la face choisie. Cette ligne orthogonale passant par le centre à douze points se situe à mi-chemin entre la ligne orthogonale du point d'Euler et la ligne orthogonale centroïde. De plus, pour toute face, le centre à douze points se situe au milieu du point d'Euler correspondant et à l'orthocentre de cette face.

Le rayon de la sphère à douze pointes est le tiers du cercle circonscrit du tétraèdre de référence.

Il existe une relation entre les angles faits par les faces d'un tétraèdre général donné par

α ij est l'angle entre les faces i et j .

La médiane géométrique des coordonnées de position du sommet d'un tétraèdre et de son centre isogonique sont associées, dans des circonstances analogues à celles observées pour un triangle. Lorenz Lindelöf a trouvé que, correspondant à tout tétraèdre donné est un point maintenant connu comme un centre isogonique, O , auquel les angles solides sous-tendus par les faces sont égaux, ayant une valeur commune de sr, et auquel les angles sous-tendus par opposés les bords sont égaux. Un angle solide de sr est le quart de celui sous-tendu par tout l'espace. Lorsque tous les angles solides aux sommets d'un tétraèdre sont plus petits que sr, O se trouve à l'intérieur du tétraèdre, et parce que la somme des distances de O aux sommets est un minimum, O coïncide avec la médiane géométrique , M , des sommets . Dans le cas où l'angle solide à l'un des sommets, v , mesure exactement π sr, alors O et M coïncident avec v . Si toutefois, un tétraèdre a un sommet, v , avec un angle solide supérieur à sr, M correspond toujours à v , mais O se trouve à l'extérieur du tétraèdre.

Relations géométriques

Un tétraèdre est un 3- simple . Contrairement au cas des autres solides platoniciens, tous les sommets d'un tétraèdre régulier sont équidistants les uns des autres (ils sont le seul arrangement possible de quatre points équidistants dans l'espace à 3 dimensions).

Un tétraèdre est une pyramide triangulaire , et le tétraèdre régulier est auto-dual .

Un tétraèdre régulier peut être intégré à l'intérieur d'un cube de deux manières telles que chaque sommet est un sommet du cube et chaque arête est une diagonale de l'une des faces du cube. Pour un tel plongement, les coordonnées cartésiennes des sommets sont

(+1, +1, +1);
(-1, -1, +1);
(-1, +1, -1);
(+1, -1, -1).

On obtient ainsi un tétraèdre avec le bord de longueur 2 2 , centré à l'origine. Pour l'autre tétraèdre (qui est dual du premier), inversez tous les signes. Ces deux sommets de tétraèdres combinés sont les sommets d'un cube, démontrant que le tétraèdre régulier est le 3- demicube .

Le volume de ce tétraèdre est le tiers du volume du cube. La combinaison des deux tétraèdres donne un composé polyédrique régulier appelé composé de deux tétraèdres ou stella octangula .

L'intérieur de la stella octangula est un octaèdre , et en conséquence, un octaèdre régulier est le résultat de la coupure, d'un tétraèdre régulier, quatre tétraèdres réguliers de la moitié de la taille linéaire (c'est-à-dire rectifiant le tétraèdre).

Le plongement ci-dessus divise le cube en cinq tétraèdres, dont l'un est régulier. En fait, cinq est le nombre minimum de tétraèdres requis pour composer un cube. Pour voir cela, à partir d'un tétraèdre de base avec 4 sommets, chaque tétraèdre ajouté ajoute au plus 1 nouveau sommet, donc au moins 4 autres doivent être ajoutés pour faire un cube, qui a 8 sommets.

L'inscription des tétraèdres à l'intérieur du composé régulier de cinq cubes donne deux autres composés réguliers, contenant cinq et dix tétraèdres.

Les tétraèdres réguliers ne peuvent pas paver l'espace par eux-mêmes, bien que ce résultat semble assez probable pour qu'Aristote prétende que c'était possible. Cependant, deux tétraèdres réguliers peuvent être combinés avec un octaèdre, donnant un rhomboèdre qui peut carreler l'espace.

Cependant, plusieurs tétraèdres irréguliers sont connus, dont des copies peuvent carreler l'espace, par exemple le nid d'abeille tétraédrique disphénoïde . La liste complète reste un problème ouvert.

Si l'on assouplit l'exigence que les tétraèdres aient tous la même forme, on peut carreler l'espace en utilisant uniquement des tétraèdres de différentes manières. Par exemple, on peut diviser un octaèdre en quatre tétraèdres identiques et les combiner à nouveau avec deux réguliers. (En remarque : ces deux sortes de tétraèdres ont le même volume.)

Le tétraèdre est unique parmi les polyèdres uniformes en ne possédant pas de faces parallèles.

Une loi des sinus pour les tétraèdres et l'espace de toutes les formes de tétraèdres

Tetra.png

Un corollaire de la loi usuelle des sinus est que dans un tétraèdre de sommets O , A , B , C , on a

On peut considérer les deux faces de cette identité comme correspondant à des orientations horaire et antihoraire de la surface.

Mettre l'un des quatre sommets dans le rôle de O produit quatre de ces identités, mais au plus trois d'entre elles sont indépendantes : côtés « dans le sens inverse des aiguilles d'une montre » des mêmes trois identités, puis les facteurs communs sont annulés des deux côtés, le résultat est la quatrième identité.

Trois angles sont les angles d'un triangle si et seulement si leur somme est de 180° (π radians). Quelle condition sur 12 angles est nécessaire et suffisante pour qu'ils soient les 12 angles d'un tétraèdre ? Il est clair que la somme des angles de n'importe quel côté du tétraèdre doit être de 180°. Puisqu'il y a quatre tels triangles, il y a quatre telles contraintes sur les sommes d'angles, et le nombre de degrés de liberté est ainsi réduit de 12 à 8. Les quatre relations données par cette loi des sinus réduisent encore le nombre de degrés de liberté, de 8 jusqu'à non pas 4 mais 5, puisque la quatrième contrainte n'est pas indépendante des trois premières. Ainsi, l'espace de toutes les formes de tétraèdres est à 5 dimensions.

Loi des cosinus pour les tétraèdres

Soit { P 1 , P 2 , P 3 , P 4 } les points d'un tétraèdre. Soit Δ i l'aire de la face opposée au sommet P i et soit θ ij l'angle dièdre entre les deux faces du tétraèdre adjacentes à l'arête P i P j .

La loi des cosinus pour ce tétraèdre, qui relie les aires des faces du tétraèdre aux angles dièdres autour d'un sommet, est donnée par la relation suivante :

Point intérieur

Soit P n'importe quel point intérieur d'un tétraèdre de volume V dont les sommets sont A , B , C et D , et dont les aires des faces opposées sont F a , F b , F c et F d . Puis

Pour les sommets A , B , C et D , le point intérieur P , et les pieds J , K , L et M des perpendiculaires de P aux faces, et supposons que les faces ont des aires égales, alors

Inradius

En désignant l'inrayus d'un tétraèdre par r et les inrayus de ses faces triangulaires par r i pour i = 1, 2, 3, 4, on a

avec égalité si et seulement si le tétraèdre est régulier.

Si A 1 , A 2 , A 3 et A 4 désignent l'aire de chaque face, la valeur de r est donnée par

.

Cette formule est obtenue en divisant le tétraèdre en quatre tétraèdres dont les points sont les trois points de l'une des faces d'origine et l'incenter. Puisque les quatre sous-tétraèdres remplissent le volume, nous avons .

Circonférence

Notons le cercle circonscrit d'un tétraèdre par R . Soit a , b , c les longueurs des trois arêtes qui se rencontrent en un sommet, et A , B , C la longueur des arêtes opposées. Soit V le volume du tétraèdre. Puis

Centre circonscrit

Le centre circonscrit d'un tétraèdre peut être trouvé comme l'intersection de trois plans bissecteurs. Un plan bissectrice est défini comme le plan centré sur et orthogonal à une arête du tétraèdre. Avec cette définition, le centre circonscrit C d'un tétraèdre de sommets x 0 , x 1 , x 2 , x 3 peut être formulé comme un produit matrice-vecteur :

Contrairement au centre de gravité, le centre circonscrit ne se trouve pas toujours à l'intérieur d'un tétraèdre. De manière analogue à un triangle obtus, le centre circonscrit est à l'extérieur de l'objet pour un tétraèdre obtus.

Centroïde

Le centre de masse du tétraèdre est calculé comme la moyenne arithmétique de ses quatre sommets, voir Centroid .

Visages

La somme des aires de trois faces quelconques est supérieure à l'aire de la quatrième face.

Tétraèdres entiers

Il existe des tétraèdres ayant des longueurs d'arêtes, des surfaces de face et un volume de valeur entière. Ceux-ci sont appelés tétraèdres héroniens . Un exemple a un bord de 896, le bord opposé de 990 et les quatre autres bords de 1073 ; deux faces sont des triangles isocèles avec des aires de436 800 et les deux autres sont isocèles avec des aires de47 120 , tandis que le volume est124 185 600 .

Un tétraèdre peut avoir un volume entier et des entiers consécutifs comme arêtes, un exemple étant celui avec les arêtes 6, 7, 8, 9, 10 et 11 et le volume 48.

Polyèdres et composés associés

Un tétraèdre régulier peut être vu comme une pyramide triangulaire .

Pyramides régulières
Digonale Triangulaire Carré Pentagonal Hexagonal Heptagonal Octogonal Ennéagonal Décagonale...
Non conforme Ordinaire Équilatéral Isocèle
Pyramide biangulaire1.png Tetrahedron.svg Pyramide carrée.png Pyramide pentagonale.png Pyramide hexagonale.png Pyramide heptagonale1.png Pyramide octogonale1.png Pyramide ennéagonale1.png Pyramide décagonale1.png
Pyramide digonale sphérique.png Pyramide trigonale sphérique.png Pyramide carrée sphérique.png Pyramide pentagonale sphérique.png Pyramide hexagonale sphérique.png Pyramide heptagonale sphérique.png Pyramide octogonale sphérique.png Pyramide sphérique ennéagonale.png Pyramide décagonale sphérique.png

Un tétraèdre régulier peut être vu comme un polyèdre dégénéré, un antiprisme digonal uniforme , où les polygones de base sont des digons réduits .

Famille d' antiprismes uniformes n -gonaux
Nom de l'antiprisme Antiprisme diagonal (Trigonal) Antiprisme
triangulaire
(Tétragonal) Antiprisme
carré
Antiprisme pentagonal Antiprisme hexagonal Antiprisme heptagonal Antiprisme octogonal Antiprisme ennéagonal Antiprisme décagonal Antiprisme hendécagonal Antiprisme dodécagonal ... Antiprisme apeirogonal
Image polyèdre Digonal antiprisme.png Antiprisme trigonal.png Antiprisme carré.png Antiprisme pentagonal.png Antiprisme hexagonal.png Antiprisme 7.png Antiprisme octogonal.png Antiprisme ennéagonal.png Antiprisme décagonal.png Antiprisme hendécagonal.png Antiprisme dodécagonal.png ...
Image de carrelage sphérique Antiprisme digonal sphérique.png Antiprisme trigonal sphérique.png Antiprism carré sphérique.png Antiprisme pentagonal sphérique.png Antiprisme hexagonal sphérique.png Antiprisme heptagonal sphérique.png Antiprisme octogonal sphérique.png Image de carrelage plan Antiprisme infini.svg
Configuration des sommets. 2.3.3.3 3.3.3.3 4.3.3.3 5.3.3.3 6.3.3.3 7.3.3.3 8.3.3.3 9.3.3.3 10.3.3.3 11.3.3.3 12.3.3.3 ... .3.3.3

Un tétraèdre régulier peut être vu comme un polyèdre dégénéré, un trapézoèdre dual digonal uniforme , contenant 6 sommets, dans deux ensembles d'arêtes colinéaires.

Famille des trapézoèdres n- gonaux
Nom du trapézoèdre Trapézoèdre digonal
( Tétraèdre )
Trapézoèdre trigonal Trapézoèdre tétragonal Trapézoèdre pentagonal Trapézoèdre hexagonal Trapézoèdre heptagonal Trapézoèdre octogonal trapézoèdre décagonal Trapézoèdre dodécagonal ... Trapézoèdre apeirogonal
Image polyèdre Trapézoèdre diagonal.png TrigonalTrapezohedron.svg Trapézoèdre tétragonal.png Trapézoèdre pentagonal.svg Trapézoèdre hexagonal.png Trapézoèdre heptagonal.png Trapézoèdre octogonal.png Trapézoèdre décagonal.png Trapézoèdre dodécagonal.png ...
Image de carrelage sphérique Antiprisme digonal sphérique.png Trapézoèdre trigonal sphérique.png Trapézoèdre tétragonal sphérique.png Trapézoèdre pentagonal sphérique.png Trapézoèdre hexagonal sphérique.png Trapézoèdre heptagonal sphérique.png Trapézoèdre octogonal sphérique.png Trapézoèdre décagonal sphérique.png Trapézoèdre dodécagonal sphérique.png Image de carrelage plan Trapézoèdre apeirogonal.svg
Configuration du visage V2.3.3.3 V3.3.3.3 V4.3.3.3 V5.3.3.3 V6.3.3.3 V7.3.3.3 V8.3.3.3 V10.3.3.3 V12.3.3.3 ... V∞.3.3.3

Un processus de troncature appliqué au tétraèdre produit une série de polyèdres uniformes . La troncature des arêtes jusqu'aux points produit l' octaèdre sous la forme d'un tétraèdre rectifié. Le processus se termine par une birectification, réduisant les faces d'origine à des points et produisant à nouveau le tétraèdre auto-dual.

Famille de polyèdres tétraédriques uniformes
Symétrie : [3,3] , (*332) [3,3] + , (332)
Polyèdre uniforme-33-t0.png Polyèdre uniforme-33-t01.png Polyèdre uniforme-33-t1.png Polyèdre uniforme-33-t12.png Polyèdre uniforme-33-t2.png Polyèdre uniforme-33-t02.png Polyèdre uniforme-33-t012.png Polyèdre uniforme-33-s012.svg
Nœud CDel 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png Nœud CDel 1.pngCDel 3.pngNœud CDel 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 3.pngNœud CDel 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 3.pngNœud CDel 1.pngCDel 3.pngNœud CDel 1.png CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngNœud CDel 1.png Nœud CDel 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngNœud CDel 1.png Nœud CDel 1.pngCDel 3.pngNœud CDel 1.pngCDel 3.pngNœud CDel 1.png Nœud CDel h.pngCDel 3.pngNœud CDel h.pngCDel 3.pngNœud CDel h.png
{3,3} t{3,3} r{3,3} t{3,3} {3,3} rr{3,3} tr{3,3} sr{3,3}
Duels aux polyèdres uniformes
Tetrahedron.svg Triakistétraèdre.jpg Hexaèdre.svg Triakistétraèdre.jpg Tetrahedron.svg Rhombicdodécaèdre.jpg Tétrakishexaèdre.jpg Dodécaèdre.svg
V3.3.3 V3.6.6 V3.3.3.3 V3.6.6 V3.3.3 V3.4.3.4 V4.6.6 V3.3.3.3.3

Ce polyèdre est topologiquement lié en tant que partie d'une séquence de polyèdres réguliers avec des symboles de Schläfli {3, n }, se poursuivant dans le plan hyperbolique .

* n 32 mutation de symétrie des pavages réguliers : {3, n }
Sphérique Euclide. Hyper compact. Paraco. Hyperbolique non compact
Dièdre trigonal.svg Carrelage uniforme 332-t2.png Carrelage uniforme 432-t2.png Carrelage uniforme 532-t2.png Polyèdre uniforme-63-t2.png Commande-7 carrelage triangulaire.svg H2-8-3-primal.svg Carrelage H2 23i-4.png Carrelage H2 23j12-4.png Carrelage H2 23j9-4.png Carrelage H2 23j6-4.png Carrelage H2 23j3-4.png
3.3 3 3 3 4 3 5 3 6 3 7 3 8 3 3 12i 3 9i 3 6i 3 3i

Le tétraèdre est topologiquement lié à une série de polyèdres réguliers et de pavages avec des figures de sommet d' ordre 3 .

* n 32 mutation de symétrie des pavages réguliers : { n ,3}
Sphérique euclidien Hyperb compact. Paraco. Hyperbolique non compact
Hosohèdre trigonal sphérique.png Carrelage uniforme 332-t0.png Carrelage uniforme 432-t0.png Carrelage uniforme 532-t0.png Polyèdre uniforme-63-t0.png Carrelage heptagonal.svg H2-8-3-dual.svg H2-I-3-dual.svg Carrelage H2 23j12-1.png Carrelage H2 23j9-1.png Carrelage H2 23j6-1.png Carrelage H2 23j3-1.png
{2,3} {3,3} {4,3} {5,3} {6,3} {7,3} {8,3} {∞,3} {12i,3} {9i,3} {6i,3} {3i,3}

Un polyèdre intéressant peut être construit à partir de cinq tétraèdres sécants . Ce composé de cinq tétraèdres est connu depuis des centaines d'années. Il revient régulièrement dans le monde de l' origami . Joindre les vingt sommets formerait un dodécaèdre régulier . Il existe des formes pour gauchers et pour droitiers , qui sont des images inversées les unes des autres. La superposition des deux formes donne un composé de dix tétraèdres , dans lequel les dix tétraèdres sont disposés en cinq paires d' octangules d'étoiles . Une stella octangula est un composé de deux tétraèdres en position double et ses huit sommets définissent un cube comme leur enveloppe convexe.

L' hosohèdre carré est un autre polyèdre à quatre faces, mais il n'a pas de faces triangulaires.

Applications

Analyse numérique

Un volume irrégulier dans l'espace peut être approximé par une surface triangulée irrégulière et des éléments de volume tétraédriques irréguliers.

Dans l' analyse numérique , compliquées formes en trois dimensions sont couramment divisées en, ou approchées par un maillage polygonal de irrégulière tétraèdres dans le processus de mise en place des équations pour l' analyse d'éléments finis en particulier dans la solution numérique des équations aux dérivées partielles . Ces méthodes ont de nombreuses applications dans des applications pratiques dans la dynamique des fluides , l' aérodynamique , les champs électromagnétiques , génie civil , génie chimique , l' architecture navale et de l' ingénierie , et les domaines connexes.

Ingénierie structurelle

Un tétraèdre ayant des bords rigides est intrinsèquement rigide. Pour cette raison, il est souvent utilisé pour rigidifier les structures de charpente telles que les structures spatiales .

Aviation

Sur certains aérodromes , un grand cadre en forme de tétraèdre à deux côtés recouvert d'un matériau mince est monté sur un pivot rotatif et pointe toujours face au vent. Il est construit assez grand pour être vu du ciel et est parfois illuminé. Son but est de servir de référence aux pilotes indiquant la direction du vent.

Chimie

L' ion ammonium est tétraédrique
Calcul de l'angle au centre avec un produit scalaire

La forme du tétraèdre est visible dans la nature dans les molécules liées par covalence . Tous les atomes hybrides sp 3 sont entourés d'atomes (ou de paires d'électrons isolés ) aux quatre coins d'un tétraèdre. Par exemple dans une molécule de méthane ( CH
4
) ou un ion ammonium ( NH+
4
), quatre atomes d'hydrogène entourent un atome central de carbone ou d'azote à symétrie tétraédrique. Pour cette raison, l'une des principales revues en chimie organique s'appelle Tetrahedron . L' angle au centre entre deux sommets quelconques d'un tétraèdre parfait est arccos(−1/3), soit environ 109,47°.

Eau , H
2
O
, a également une structure tétraédrique, avec deux atomes d'hydrogène et deux paires isolées d'électrons autour des atomes d'oxygène centraux. Sa symétrie tétraédrique n'est cependant pas parfaite, car les paires isolées se repoussent plus que les liaisons O-H simples.

Les diagrammes de phases quaternaires de mélanges de substances chimiques sont représentés graphiquement par des tétraèdres.

Cependant, les diagrammes de phases quaternaires en ingénierie des communications sont représentés graphiquement sur un plan à deux dimensions.

Électricité et électronique

Si six résistances égales sont soudées ensemble pour former un tétraèdre, la résistance mesurée entre deux sommets est la moitié de celle d'une résistance.

Étant donné que le silicium est le semi-conducteur le plus couramment utilisé dans l'électronique à l'état solide et que le silicium a une valence de quatre, la forme tétraédrique des quatre liaisons chimiques du silicium a une forte influence sur la façon dont les cristaux de silicium se forment et sur les formes qu'ils prennent.

Espace couleur

Les tétraèdres sont utilisés dans les algorithmes de conversion d'espace colorimétrique spécifiquement pour les cas dans lesquels l'axe de luminance segmente en diagonale l'espace colorimétrique (par exemple RVB, CMJ).

Jeux

Le Jeu Royal d'Ur , datant de 2600 avant JC, se jouait avec un jeu de dés tétraédriques.

Surtout dans le jeu de rôle , ce solide est connu sous le nom de dé à 4 faces , l'un des dés polyédriques les plus courants , avec le nombre roulé apparaissant autour du bas ou sur le sommet supérieur. Certains puzzles de type Rubik's Cube sont tétraédriques, comme le Pyraminx et le Pyramorphix .

Géologie

L' hypothèse tétraédrique , initialement publiée par William Lowthian Green pour expliquer la formation de la Terre, était populaire jusqu'au début du 20e siècle.

Armes

Caltrop moderne avec pointes creuses pour percer les pneus en caoutchouc auto-obturants

Certains caltrops sont basés sur des tétraèdres car une pointe pointe vers le haut quelle que soit la façon dont ils atterrissent et peut être facilement fabriqué en soudant deux clous pliés ensemble.

Art contemporain

L'artiste autrichienne Martina Schettina a créé un tétraèdre à l'aide de lampes fluorescentes . Il a été présenté à la biennale d'art de la lumière Autriche 2010.

Il est utilisé comme pochette d'album, entouré de flammes noires sur The End of All Things to Come de Mudvayne .

La culture populaire

Selon Marvin Minsky , un scientifique cognitif et expert en intelligence artificielle qui a conseillé Kubrick sur l' ordinateur HAL 9000 et d'autres aspects du film, Stanley Kubrick voulait à l'origine que le monolithe en 2001: A Space Odyssey soit un tétraèdre . Kubrick a abandonné l'idée d'utiliser le tétraèdre car un visiteur qui en a vu des images n'a pas reconnu ce que c'était et il ne voulait rien dans le film que les gens ordinaires ne comprennent pas.

Dans la saison 6, épisode 15 de Futurama , nommé « Möbius Dick », l'équipage du Planet Express traverse une zone de l'espace connue sous le nom de Bermuda Tetrahedron. De nombreux autres navires de passage dans la zone ont mystérieusement disparu, dont celui du premier équipage du Planet Express.

Dans le film Oblivion de 2013, la grande structure en orbite au-dessus de la Terre a une conception en tétraèdre et est appelée le Têt.

Graphique tétraédrique

Graphique tétraédrique
3-simple t0.svg
Sommets 4
Bords 6
Rayon 1
Diamètre 1
Circonférence 3
Automorphismes 24
Nombre chromatique 4
Propriétés Hamiltonien , régulier , symétrique , distance-régulier , distance-transitif , 3-vertex-connected , graphe planaire
Tableau des graphiques et paramètres

Le squelette du tétraèdre (comprenant les sommets et les arêtes) forme un graphe , à 4 sommets et 6 arêtes. C'est un cas particulier du graphe complet , K 4 , et du graphe de roue , W 4 . C'est l'un des 5 graphes platoniciens , chacun étant un squelette de son solide platonicien .

3-simple t0 A2.svg
3 fois la symétrie

Voir également

Les références

Liens externes

Famille Un n B n I 2 (p) / D n E 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2 H n
Polygone régulier Triangle Carré p-gon Hexagone Pentagone
Polyèdre uniforme Tétraèdre OctaèdreCube demi-cube DodécaèdreIcosaèdre
Polychore uniforme Pentachoron 16 cellulesTesseract Demitesseract 24 cellules 120 cellules600 cellules
Uniforme 5-polytope 5-simplex 5 orthoplexes5 cubes 5-demicube
Uniforme 6-polytope 6-simplex 6-orthoplexe6-cube 6-demicube 1 222 21
Uniforme 7-polytope 7-simplex 7 orthoplexes7 cubes 7-demicube 1 322 313 21
Uniforme 8-polytope 8-simplex 8 orthoplexes8 cubes 8 demi-cube 1 422 414 21
Uniforme 9-polytope 9-simplex 9-orthoplexe9-cube 9 demi-cube
Uniforme 10-polytope 10-simplex 10 orthoplexes10 cubes 10-demicube
Uniforme n - polytope n - simplexe n - orthoplexen - cube n - demi - cube 1 k22 k1k 21 n - polytope pentagonal
Sujets: familles Polytopepolytope régulierListe des polyèdres réguliers et composés