Espace topologique - Topological space

En mathématiques , un espace topologique est, grosso modo, un espace géométrique dans lequel la proximité est définie mais ne peut pas nécessairement être mesurée par une distance numérique. Plus précisément, un espace topologique est un ensemble de points , ainsi qu'un ensemble de voisinages pour chaque point, satisfaisant un ensemble d' axiomes reliant points et voisinages.

Un espace topologique est le type le plus général d' espace mathématique qui permet de définir les limites , la continuité et la connexité . D'autres espaces, tels que les espaces euclidiens , les espaces métriques et les variétés , sont des espaces topologiques avec des structures , des propriétés ou des contraintes supplémentaires .

Bien que très généraux, les espaces topologiques sont un concept fondamental utilisé dans pratiquement toutes les branches des mathématiques modernes. La branche des mathématiques qui étudie les espaces topologiques à part entière est appelée topologie des ensembles de points ou topologie générale .

Histoire

Vers 1735 , Leonhard Euler découvrit la formule reliant le nombre de sommets, d'arêtes et de faces d'un polyèdre convexe , et donc d'un graphe planaire . L'étude et la généralisation de cette formule, notamment par Cauchy et L'Huilier , est à l'origine de la topologie . En 1827 , Carl Friedrich Gauss publia Enquêtes générales sur les surfaces courbes qui dans la section 3 définit la surface courbe d'une manière similaire à la compréhension topologique moderne : " Une surface courbe est dite posséder une courbure continue à l'un de ses points A, si la direction de toutes les droites tirées de A vers des points de la surface à une distance infiniment petite de A sont déviées infiniment peu d'un seul et même plan passant par A." ${\style d'affichage V-E+F=2}$

Pourtant, "jusqu'aux travaux de Riemann au début des années 1850, les surfaces étaient toujours traitées d'un point de vue local (en tant que surfaces paramétriques) et les problèmes topologiques n'étaient jamais pris en compte". " Möbius et Jordan semblent être les premiers à se rendre compte que le problème principal de la topologie des surfaces (compactes) est de trouver des invariants (de préférence numériques) pour décider de l'équivalence des surfaces, c'est-à-dire décider si deux surfaces sont homéomorphes ou non ."

Le sujet est clairement défini par Félix Klein dans son « Programme d'Erlangen » (1872) : les invariants géométriques de la transformation continue arbitraire, une sorte de géométrie. Le terme "topologie" a été introduit par Johann Benedict Listing en 1847, bien qu'il ait utilisé le terme dans la correspondance quelques années plus tôt au lieu de "Analysis situs". Le fondement de cette science, pour un espace de toute dimension, a été créé par Henri Poincaré . Son premier article sur ce sujet parut en 1894 . Dans les années 1930, James Waddell Alexander II et Hassler Whitney ont d' abord exprimé l'idée qu'une surface est un espace topologique qui ressemble localement à un plan euclidien .

Les espaces topologiques ont été définis pour la première fois par Felix Hausdorff en 1914 dans ses « principes de la théorie des ensembles ». Les espaces métriques avaient été définis plus tôt en 1906 par Maurice Fréchet , bien que ce soit Hausdorff qui ait introduit le terme « espace métrique ».

Définitions

L'utilité de la notion de topologie est démontrée par le fait qu'il existe plusieurs définitions équivalentes de cette structure. On choisit ainsi l' axiomatisation adaptée à l'application. Le plus couramment utilisé est celui en termes d' ensembles ouverts , mais peut-être plus intuitif est celui en termes de voisinages et c'est donc ce qui est donné en premier.

Quatre exemples et deux non-exemples de topologies sur l'ensemble à trois points L'exemple en bas à gauche n'est pas une topologie car l'union de et [ie ] est manquante ; l'exemple en bas à droite n'est pas une topologie car l'intersection de et [c'est-à-dire ] est manquante.${\style d'affichage \{1,2,3\}.}$${\style d'affichage \{2\}}$${\style d'affichage \{3\}}$${\style d'affichage \{2,3\}}$${\style d'affichage \{1,2\}}$${\style d'affichage \{2,3\}}$${\style d'affichage \{2\}}$

Définition via les quartiers

Cette axiomatisation est due à Felix Hausdorff . Soit un ensemble; les éléments de sont généralement appelés points , bien qu'ils puissent être n'importe quel objet mathématique. Nous permettons d'être vide. Soit une fonction affectant à chaque (point) dans une collection non vide de sous-ensembles de Les éléments de seront appelés voisinages de par rapport à (ou, simplement, voisinages de ). La fonction est appelée une topologie de voisinage si les axiomes ci-dessous sont satisfaits ; puis avec est appelé un espace topologique . ${\style d'affichage X}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage X}$${\displaystyle {\mathcal {N}}}$${\style d'affichage x}$${\style d'affichage X}$${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)}$${\style d'affichage X.}$${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)}$${\style d'affichage x}$${\displaystyle {\mathcal {N}}}$${\style d'affichage x}$${\displaystyle {\mathcal {N}}}$${\style d'affichage X}$${\displaystyle {\mathcal {N}}}$

1. Si est un voisinage de (ie, ), alors En d'autres termes, chaque point appartient à chacun de ses voisinages.${\style d'affichage N}$${\style d'affichage x}$${\displaystyle N\in {\mathcal {N}}(x)}$${\style d'affichage x\dans N.}$
2. Si est un sous-ensemble de et inclut un voisinage de alors est un voisinage de Ie, chaque sur - ensemble d'un voisinage d'un point est à nouveau un voisinage de${\style d'affichage N}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage x,}$${\style d'affichage N}$${\style d'affichage x.}$${\style d'affichage x\dans X}$${\style d'affichage x.}$
3. L' intersection de deux quartiers de est un quartier de${\style d'affichage x}$${\style d'affichage x.}$
4. Tout voisinage de inclut un voisinage de tel qui est un voisinage de chaque point de${\style d'affichage N}$${\style d'affichage x}$${\style d'affichage M}$${\style d'affichage x}$${\style d'affichage N}$${\style d'affichage M.}$

Les trois premiers axiomes pour les quartiers ont un sens clair. Le quatrième axiome a une utilité très importante dans la structure de la théorie, celle de relier entre eux les voisinages de différents points de${\style d'affichage X.}$

Un exemple standard d'un tel système de voisinages est celui de la ligne réelle où un sous-ensemble de est défini comme le voisinage d'un nombre réel s'il comprend un intervalle ouvert contenant${\displaystyle \mathbb {R} ,}$${\style d'affichage N}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\style d'affichage x}$${\style d'affichage x.}$

Étant donné une telle structure, un sous-ensemble de est défini pour être ouvert si est un voisinage de tous les points dans Les ensembles ouverts satisfont alors les axiomes donnés ci-dessous. Inversement, lorsque l'on donne les ensembles ouverts d'un espace topologique, les voisinages satisfaisant les axiomes ci-dessus peuvent être récupérés en définissant comme étant un voisinage de si inclut un ensemble ouvert tel que${\style d'affichage U}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage U}$${\displaystyle U.}$${\style d'affichage N}$${\style d'affichage x}$${\style d'affichage N}$${\style d'affichage U}$${\displaystyle x\en U.}$

Définition via des ensembles ouverts

UNE l'espace topologique est une paire ordonnéeoùest unensembleetest une collection desous-ensemblessatisfaisant lesaxiomessuivants: ${\style d'affichage (X,\tau ),}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage \tau }$${\style d'affichage X,}$

1. L' ensemble vide et lui - même appartiennent à${\style d'affichage X}$${\displaystyle \tau .}$
2. Toute union arbitraire (finie ou infinie) de membres de appartient à${\style d'affichage \tau }$${\displaystyle \tau .}$
3. L'intersection d'un nombre fini de membres de appartient à${\style d'affichage \tau }$${\displaystyle \tau .}$

Les éléments de sont appelés ensembles ouverts et la collection est appelée une topologie sur Un sous - ensemble est dit fermé en si et seulement si son complément est un élément de${\style d'affichage \tau }$${\style d'affichage \tau }$${\style d'affichage X.}$${\displaystyle C\subseteq X}$${\style d'affichage (X,\tau )}$ ${\displaystyle X\setmoins C}$${\displaystyle \tau .}$

Exemples de topologies

1. Étant donné la topologie triviale ou indiscrète , la famille constituée uniquement des deux sous-ensembles requis par les axiomes forme une topologie de${\displaystyle X=\{1,2,3,4\},}$${\style d'affichage X}$ ${\displaystyle \tau =\{\{\},\{1,2,3,4\}\}=\{\varnothing ,X\}}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage X.}$
2. Étant donné la famille ${\displaystyle X=\{1,2,3,4\},}$

   ${\displaystyle \tau =\{\{\},\{2\},\{1,2\},\{2,3\},\{1,2,3\},\{1,2 ,3,4\}\}=\{\varrien ,\{2\},\{1,2\},\{2,3\},\{1,2,3\},X\}}$

   de six sous-ensembles de formes une autre topologie de${\style d'affichage X}$${\style d'affichage X.}$
3. Étant donné la topologie discrète on est l' ensemble de puissance dont est la famille constituée de tous les sous-ensembles possibles de Dans ce cas l'espace topologique est appelé un espace discret .${\displaystyle X=\{1,2,3,4\},}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage X,}$${\displaystyle \tau =\wp (X)}$${\style d'affichage X.}$${\style d'affichage (X,\tau )}$
4. Étant donné l'ensemble des entiers, la famille de tous les sous-ensembles finis des entiers plus elle-même n'est pas une topologie, car (par exemple) l'union de tous les ensembles finis ne contenant pas de zéro n'est pas finie mais n'est pas non plus la totalité et donc elle ne peut pas être dans${\displaystyle X=\mathbb {Z} ,}$${\style d'affichage \tau }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$${\displaystyle \tau .}$

Définition via des ensembles fermés

En utilisant les lois de de Morgan , les axiomes ci-dessus définissant des ensembles ouverts deviennent des axiomes définissant des ensembles fermés :

1. L'ensemble vide et sont fermés.${\style d'affichage X}$
2. L'intersection de toute collection d'ensembles fermés est également fermée.
3. L'union de tout nombre fini d'ensembles fermés est également fermée.

En utilisant ces axiomes, une autre façon de définir un espace topologique est comme un ensemble avec une collection de sous-ensembles fermés de Ainsi, les ensembles de la topologie sont les ensembles fermés et leurs compléments sont les ensembles ouverts. ${\style d'affichage X}$${\style d'affichage \tau }$${\style d'affichage X.}$${\style d'affichage \tau }$${\style d'affichage X}$

Autres définitions

Il existe de nombreuses autres manières équivalentes de définir un espace topologique : en d'autres termes les concepts de voisinage, ou celui d'ensembles ouverts ou fermés peuvent être reconstruits à partir d'autres points de départ et satisfaire les axiomes corrects.

Une autre façon de définir un espace topologique est d' utiliser les axiomes de fermeture de Kuratowski , qui définissent les ensembles fermés comme les points fixes d' un opérateur sur l' ensemble de puissance de${\style d'affichage X.}$

Un filet est une généralisation du concept de séquence . Une topologie est complètement déterminée si pour chaque réseau dans l'ensemble de ses points d'accumulation est spécifié. ${\style d'affichage X}$

Comparaison des topologies

Une variété de topologies peut être placée sur un ensemble pour former un espace topologique. Lorsque chaque ensemble dans une topologie est également dans une topologie et est un sous - ensemble , nous disons que est plus fin que et est plus grossier que A preuve ne repose que sur l'existence de certains ensembles ouverts également tenir pour une topologie plus fine, et de même une preuve qui repose uniquement sur le fait que certains ensembles ne sont pas ouverts s'applique à toute topologie plus grossière. Les termes plus grand et plus petit sont parfois utilisés à la place de plus fin et plus grossier, respectivement. Les termes plus fort et plus faible sont également utilisés dans la littérature, mais avec peu d'accord sur le sens, il faut donc toujours être sûr de la convention d'un auteur lors de la lecture. ${\displaystyle \tau _{1}}$${\displaystyle \tau _{2}}$${\displaystyle \tau _{1}}$${\displaystyle \tau _{2},}$${\displaystyle \tau _{2}}$${\displaystyle \tau _{1},}$${\displaystyle \tau _{1}}$${\displaystyle \tau _{2}.}$

La collection de toutes les topologies sur un ensemble fixe donné forme un treillis complet : si est une collection de topologies sur alors la rencontre de est l'intersection de et la jointure de est la rencontre de la collection de toutes les topologies sur qui contiennent chaque membre de${\style d'affichage X}$${\displaystyle F=\left\{\tau _{\alpha }:\alpha \in A\right\}}$${\style d'affichage X,}$${\style d'affichage F}$${\style d'affichage F,}$${\style d'affichage F}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage F.}$

Fonctions continues

Une fonction entre espaces topologiques est dite continue si pour chaque voisinage de il y a un voisinage de tel que Cela se rapporte facilement à la définition usuelle en analyse. De manière équivalente, est continue si l' image inverse de chaque ensemble ouvert est ouverte. Il s'agit d'une tentative de saisir l'intuition qu'il n'y a pas de « sauts » ou de « séparations » dans la fonction. Un homéomorphisme est une bijection continue et dont l' inverse est également continu. Deux espaces sont dits homéomorphes s'il existe un homéomorphisme entre eux. Du point de vue de la topologie, les espaces homéomorphes sont essentiellement identiques. ${\style d'affichage f:X\à Y}$${\style d'affichage N}$${\style d'affichage f(x)}$${\style d'affichage M}$${\style d'affichage x}$${\displaystyle f(M)\subseteq N.}$${\style d'affichage f}$

En théorie des catégories , l'une des catégories fondamentales est Top , qui désigne la catégorie des espaces topologiques dont les objets sont des espaces topologiques et dont les morphismes sont des fonctions continues. La tentative de classer les objets de cette catégorie ( jusqu'à homéomorphisme ) par invariants a des domaines de recherche motivés, comme la théorie homotopique , la théorie de l' homologie , et K-théorie .

Exemples d'espaces topologiques

Un ensemble donné peut avoir de nombreuses topologies différentes. Si un ensemble reçoit une topologie différente, il est considéré comme un espace topologique différent. Tout ensemble peut se voir attribuer la topologie discrète dans laquelle chaque sous-ensemble est ouvert. Les seules séquences ou réseaux convergents dans cette topologie sont ceux qui sont finalement constants. En outre, tout ensemble peut recevoir la topologie triviale (également appelée topologie indiscrète), dans laquelle seuls l'ensemble vide et l'espace entier sont ouverts. Chaque séquence et réseau dans cette topologie converge vers chaque point de l'espace. Cet exemple montre que dans les espaces topologiques généraux, les limites des séquences n'ont pas besoin d'être uniques. Cependant, les espaces topologiques doivent souvent être des espaces de Hausdorff où les points limites sont uniques.

Espaces métriques

Les espaces métriques incarnent une métrique , une notion précise de distance entre des points.

Chaque espace métrique peut se voir attribuer une topologie métrique, dans laquelle les ensembles ouverts de base sont des boules ouvertes définies par la métrique. C'est la topologie standard sur n'importe quel espace vectoriel normé . Sur un espace vectoriel de dimension finie, cette topologie est la même pour toutes les normes.

Il existe de nombreuses façons de définir une topologie sur l'ensemble des nombres réels . La topologie standard sur est générée par les intervalles ouverts . L'ensemble de tous les intervalles ouverts forme une base ou une base pour la topologie, ce qui signifie que chaque ensemble ouvert est une union d'une collection d'ensembles de la base. En particulier, cela signifie qu'un ensemble est ouvert s'il existe un intervalle ouvert de rayon non nul autour de chaque point de l'ensemble. Plus généralement, on peut donner aux espaces euclidiens une topologie. Dans la topologie habituelle sur les ensembles ouverts de base se trouvent les boules ouvertes . De même, l'ensemble des nombres complexes et ont une topologie standard dans laquelle les ensembles ouverts de base sont des boules ouvertes. ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {C} ,}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

Espaces de proximité

Les espaces de proximité fournissent une notion de proximité de deux ensembles.

Espaces uniformes

Les espaces uniformes axiomatisent en ordonnant la distance entre des points distincts.

Espaces fonctionnels

Un espace topologique dans lequel les points sont des fonctions est appelé espace de fonctions .

Espaces cauchy

Les espaces de Cauchy axiomatisent la capacité à tester si un réseau est de Cauchy . Les espaces de Cauchy offrent un cadre général pour l'étude des achèvements .

Espaces de convergence

Les espaces de convergence capturent certaines des caractéristiques de convergence des filtres .

Les sites de Grothendieck

Les sites de Grothendieck sont des catégories avec des données supplémentaires permettant de déterminer si une famille de flèches recouvre un objet. Les sites sont un cadre général pour définir les faisceaux .

Autres espaces

Si est un filtre sur un ensemble alors est une topologie sur${\style d'affichage \Gamma }$${\style d'affichage X}$${\displaystyle \{\varnothing \}\cup \Gamma }$${\style d'affichage X.}$

De nombreux ensembles d' opérateurs linéaires en analyse fonctionnelle sont dotés de topologies définies en spécifiant quand une séquence particulière de fonctions converge vers la fonction zéro.

Tout champ local a une topologie native, et cela peut être étendu aux espaces vectoriels sur ce champ.

Chaque variété a une topologie naturelle puisqu'elle est localement euclidienne. De même, chaque simplexe et chaque complexe simplicial hérite d'une topologie naturelle de .

La topologie de Zariski est définie algébriquement sur le spectre d'un anneau ou d'une variété algébrique . Sur ou les ensembles fermés de la topologie de Zariski sont les ensembles solutions de systèmes d' équations polynomiales . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n},}$

Un graphe linéaire a une topologie naturelle qui généralise de nombreux aspects géométriques des graphes avec des sommets et des arêtes .

L' espace de Sierpiński est l'espace topologique non discret le plus simple. Il a des relations importantes avec la théorie du calcul et la sémantique.

Il existe de nombreuses topologies sur un ensemble fini donné . De tels espaces sont appelés espaces topologiques finis . Les espaces finis sont parfois utilisés pour fournir des exemples ou des contre-exemples aux conjectures sur les espaces topologiques en général.

Tout ensemble peut recevoir la topologie cofinie dans laquelle les ensembles ouverts sont l'ensemble vide et les ensembles dont le complément est fini. Il s'agit de la plus petite topologie T ₁ sur un ensemble infini.

Tout ensemble peut recevoir la topologie cocountable , dans laquelle un ensemble est défini comme ouvert s'il est vide ou si son complément est dénombrable. Lorsque l'ensemble est indénombrable, cette topologie sert de contre-exemple dans de nombreuses situations.

La ligne réelle peut également recevoir la topologie limite inférieure . Ici, les ensembles ouverts de base sont les intervalles semi-ouverts. Cette topologie est strictement plus fine que la topologie euclidienne définie ci-dessus ; une suite converge vers un point de cette topologie si et seulement si elle converge d'en haut dans la topologie euclidienne. Cet exemple montre qu'un ensemble peut avoir plusieurs topologies distinctes définies dessus. ${\style d'affichage [a,b).}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

Si est un nombre ordinal , alors l' ensemble peut être doté de la topologie d' ordre générée par les intervalles et où et sont des éléments de${\style d'affichage \Gamma }$${\displaystyle \Gamma =[0,\Gamma )}$${\style d'affichage (a,b),}$ ${\style d'affichage [0,b),}$${\style d'affichage (a,\Gamma )}$${\style d'affichage a}$${\style d'affichage b}$${\displaystyle \Gamma .}$

L'espace extra-atmosphérique d'un groupe libre se compose des "structures de graphes métriques marquées" du volume 1 sur${\style d'affichage F_{n}}$${\style d'affichage F_{n}.}$

Constructions topologiques

Chaque sous-ensemble d'un espace topologique peut se voir attribuer la topologie de sous - espace dans laquelle les ensembles ouverts sont les intersections des ensembles ouverts du plus grand espace avec le sous-ensemble. Pour toute famille indexée d'espaces topologiques, le produit peut recevoir la topologie de produit , qui est générée par les images inverses d'ensembles ouverts des facteurs sous les mappages de projection . Par exemple, dans les produits finis, une base pour la topologie de produit se compose de tous les produits d'ensembles ouverts. Pour les produits infinis, il y a l'exigence supplémentaire que dans un ensemble ouvert de base, toutes ses projections, sauf un nombre fini, représentent l'espace entier.

Un espace quotient est défini comme suit : si est un espace topologique et est un ensemble, et si est une fonction surjective , alors la topologie quotient sur est l'ensemble des sous-ensembles de qui ont des images inverses ouvertes sous En d'autres termes, la topologie quotient est la topologie la plus fine sur laquelle est continue. Un exemple courant de topologie quotient est lorsqu'une relation d'équivalence est définie sur l'espace topologique. La carte est alors la projection naturelle sur l'ensemble des classes d'équivalence . ${\style d'affichage X}$${\style d'affichage Y}$${\style d'affichage f:X\à Y}$ ${\style d'affichage Y}$${\style d'affichage Y}$${\style d'affichage f.}$${\style d'affichage Y}$${\style d'affichage f}$${\style d'affichage X.}$${\style d'affichage f}$

La topologie de Vietoris sur l'ensemble de tous les sous-ensembles non vides d'un espace topologique nommé pour Leopold Vietoris , est générée par la base suivante : pour chaque -uplet d'ensembles ouverts dans nous construisons un ensemble de base constitué de tous les sous-ensembles de l'union des qui ont des intersections non vides avec chacun${\style d'affichage X,}$${\style d'affichage n}$${\displaystyle U_{1},\ldots ,U_{n}}$${\style d'affichage X,}$${\displaystyle U_{i}}$${\displaystyle U_{i}.}$

La topologie de Fell sur l'ensemble de tous les sous-ensembles fermés non vides d'un espace polonais localement compact est une variante de la topologie de Vietoris et porte le nom du mathématicien James Fell. Il est généré par la base suivante : pour chaque -uplet d'ensembles ouverts dans et pour chaque ensemble compact, l'ensemble de tous les sous-ensembles de qui sont disjoints et ont des intersections non vides avec chacun est membre de la base. ${\style d'affichage X}$${\style d'affichage n}$${\displaystyle U_{1},\ldots ,U_{n}}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage K,}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage K}$${\displaystyle U_{i}}$

Classification des espaces topologiques

Les espaces topologiques peuvent être largement classés, jusqu'à l' homéomorphisme, par leurs propriétés topologiques . Une propriété topologique est une propriété des espaces qui est invariante sous les homéomorphismes. Pour prouver que deux espaces ne sont pas homéomorphes, il suffit de trouver une propriété topologique qu'ils ne partagent pas. Des exemples de telles propriétés incluent la connexité , la compacité et divers axiomes de séparation . Pour les invariants algébriques voir topologie algébrique .

Espaces topologiques à structure algébrique

Pour tout objet algébrique, nous pouvons introduire la topologie discrète, sous laquelle les opérations algébriques sont des fonctions continues. Pour une telle structure qui n'est pas finie, nous avons souvent une topologie naturelle compatible avec les opérations algébriques, dans le sens où les opérations algébriques sont toujours continues. Cela conduit à des concepts tels que les groupes topologiques , les espaces vectoriels topologiques , les anneaux topologiques et les champs locaux .

Espaces topologiques avec structure d'ordre

• Spectral . Un espace est spectral si et seulement si c'est le spectre premier d'un anneau ( théorème de Hochster ).
• Précommande de spécialisation . Dans un espace, le préordre de spécialisation (ou canonique ) est défini par si et seulement si où désigne un opérateur satisfaisant les axiomes de fermeture de Kuratowski .${\style d'affichage x\leq y}$${\displaystyle \operatorname {cl} \{x\}\subseteq \operatorname {cl} \{y\},}$${\displaystyle \operatorname {cl} }$

Voir également

• Caractérisations de la catégorie des espaces topologiques
• Algèbre de Heyting complète - Le système de tous les ensembles ouverts d'un espace topologique donné ordonné par inclusion est une algèbre de Heyting complète.
• Espace compact  - Espace topologique avec des propriétés généralisant des sous-ensembles fermés et bornés de l'espace euclidien
• Espace de convergence  – Généralisation de la notion de convergence que l'on retrouve en topologie générale
• Espace de Hausdorff  - Espace topologique avec des voisinages disjoints pour deux points distincts
• Espace de Hilbert  – Généralisation de l'espace euclidien permettant des dimensions infinies
• Hémicontinuité
• Sous-espace linéaire
• Espace quasitopologique
• Sous-espace relativement compact
• Espace (mathématiques)  - Ensemble mathématique avec une structure ajoutée

Citations

Bibliographie

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Liens externes

• "Espace topologique" , Encyclopédie des mathématiques , EMS Press , 2001 [1994]