Tenseur de torsion - Torsion tensor

Torsion le long d'une géodésique.

En géométrie différentielle , la notion de torsion est une manière de caractériser une torsion ou une vis d'un bâti mobile autour d'une courbe. La torsion d'une courbe , telle qu'elle apparaît dans les formules de Frenet-Serret , par exemple, quantifie la torsion d'une courbe autour de son vecteur tangent au fur et à mesure que la courbe évolue (ou plutôt la rotation du repère de Frenet-Serret autour du vecteur tangent). Dans la géométrie des surfaces, la torsion géodésique décrit comment une surface se tord autour d'une courbe sur la surface. La notion connexe de courbure mesure la façon dont les cadres en mouvement « roulent » le long d'une courbe « sans se tordre ».

Plus généralement, sur une variété différentiable munie d'une liaison affine (c'est-à-dire une liaison dans le fibré tangent ), la torsion et la courbure forment les deux invariants fondamentaux de la liaison. Dans ce contexte, la torsion donne une caractérisation intrinsèque de la façon dont les espaces tangents se tordent autour d'une courbe lorsqu'ils sont transportés parallèlement ; alors que la courbure décrit comment les espaces tangents roulent le long de la courbe. La torsion peut être décrite concrètement comme un tenseur , ou comme une 2-forme à valeur vectorielle sur la variété. Si est une connexion affine sur une variété différentielle , alors le tenseur de torsion est défini, en termes de champs de vecteurs X et Y , par

où [ X , Y ] est la parenthèse de Lie des champs de vecteurs .

La torsion est particulièrement utile dans l'étude de la géométrie des géodésiques . Étant donné un système de géodésiques paramétrées, on peut spécifier une classe de liaisons affines possédant ces géodésiques, mais différant par leurs torsions. Il existe une connexion unique qui absorbe la torsion , généralisant la connexion Levi-Civita à d'autres situations, éventuellement non métriques (telles que la géométrie Finsler ). La différence entre une connexion avec torsion et une connexion correspondante sans torsion est un tenseur, appelé tenseur de contorsion . L'absorption de torsion joue également un rôle fondamental dans l'étude des G-structures et de la méthode d'équivalence de Cartan . La torsion est également utile dans l'étude de familles de géodésiques non paramétrées, via la liaison projective associée . Dans la théorie de la relativité , de telles idées ont été mises en œuvre sous la forme de la théorie d' Einstein-Cartan .

Le tenseur de torsion

Soit M une variété avec une connexion affine sur le fibré tangent (aka dérivée covariante ) ∇. Le tenseur de torsion (parfois appelé Cartan ( torsion ) tenseur ) de ∇ est le 2-forme vectorielle à valeurs définie sur champs de vecteurs X et Y par

[ X , Y ] est la parenthèse de Lie de deux champs de vecteurs. Par la règle de Leibniz , T ( fX , Y ) = T ( X , fY ) = fT ( X , Y ) pour toute fonction lisse f . Donc T est tensoriel , bien qu'il soit défini en termes de connexion qui est un opérateur différentiel du premier ordre : il donne une forme 2-sur les vecteurs tangents, tandis que la dérivée covariante n'est définie que pour les champs de vecteurs.

Composants du tenseur de torsion

Les composantes du tenseur de torsion en termes d'une section locale base ( e 1 , ..., e n ) de sections du faisceau de tangente peuvent être dérivés par réglage X = e i , Y = e j et en introduisant les coefficients de collecteur y k ij e k  := [ e i , e j ] . Les composantes de la torsion sont alors

Voici les coefficients de connexion définissant la connexion. Si la base est holonome alors les parenthèses de Lie disparaissent, . Alors . En particulier (voir ci-dessous), alors que les équations géodésiques déterminent la partie symétrique de la liaison, le tenseur de torsion détermine la partie antisymétrique.

La forme de torsion

La forme de torsion , une caractérisation alternative de la torsion, s'applique au faisceau de trame F M de la variété M . Cette fibre principal est équipée d'une forme de connexion ω , un gl ( n ) à valeurs dans une forme qui met en correspondance des vecteurs verticaux vers les générateurs de l'action droite dans gl ( n ) et entrelace équivariante la bonne action de GL ( n ) sur la fibré tangent de F M avec la représentation adjointe sur gl ( n ). Le faisceau de trames porte également une monoforme canonique , à valeurs dans R n , définie à une trame u ∈ F x M (considérée comme une fonction linéaire u  : R n → T x M ) par

π  : F MM est le mapping de projection pour le fibré principal et π∗ est son push-forward. La forme de torsion est alors

De manière équivalente, Θ = , où D est la dérivée covariante extérieure déterminée par la connexion.

La forme de torsion est une forme tensorielle (horizontale) à valeurs dans R n , ce qui signifie que sous l'action droite de g right Gl( n ) elle se transforme de manière équivariante :

g agit du côté droit par sa représentation adjointe sur R n .

Forme de torsion dans un cadre

La forme de torsion peut être exprimée en termes d'une forme de connexion sur le collecteur de base M , écrite dans une trame particulière du faisceau de tangente ( e 1 , ..., e n ) . La forme de connexion exprime la dérivée covariante extérieure de ces sections de base :

La forme de soudure pour le faisceau tangent (par rapport à ce référentiel) est la base duale θ i ∈ T M du e i , de sorte que θ i ( e j ) = δ i j (le delta de Kronecker ). Alors la torsion 2-forme a des composants

Dans l'expression la plus à droite,

sont les composantes du cadre du tenseur de torsion, comme indiqué dans la définition précédente.

On peut facilement montrer que Θ i se transforme tensoriellement en ce sens que si un référentiel différent

pour une fonction matricielle inversible ( g j i ), alors

En d'autres termes, est un tenseur de type (1, 2) (portant un contravariant et deux indices covariants).

En variante, la forme de la soudure peut être caractérisée d'une manière en forme de cadre indépendant comme le T M à valeurs dans une forme θ sur M correspondant à la endomorphism identité du faisceau de tangente par l'isomorphisme de la dualité de fin (T M ) ≈ T M ⊗ T * M . Alors la torsion 2-forme est une section

donné par

D est la dérivée covariante extérieure . (Voir le formulaire de connexion pour plus de détails.)

Décomposition irréductible

Le tenseur de torsion peut être décomposé en deux parties irréductibles : une partie sans trace et une autre partie qui contient les termes de trace. En utilisant la notation index , la trace de T est donnée par

et la partie sans trace est

δ i j est le delta de Kronecker .

Intrinsèquement, on a

La trace de T , tr T , est un élément de T * M défini comme suit. Pour chaque vecteur fixé X T M , T définit un élément T ( X ) de Hom(T M , T M ) via

Alors (tr T )( X ) est défini comme la trace de cet endomorphisme. C'est-à-dire,

La partie sans trace de T est alors

ι désigne le produit intérieur .

Curvature et les identités Bianchi

Le tenseur de courbure de ∇ est une application T M × T M → End(T M ) définie sur les champs de vecteurs X , Y , et Z par

Pour les vecteurs en un point, cette définition est indépendante de la façon dont les vecteurs sont étendus aux champs de vecteurs éloignés du point (elle définit ainsi un tenseur, un peu comme la torsion).

Les identités Bianchi relient la courbure et la torsion comme suit. Notons la somme cyclique sur X , Y et Z . Par exemple,

Alors les identités suivantes sont

  1. Première identité de Bianchi :
  2. Deuxième identité de Bianchi :

La forme de courbure et les identités Bianchi

La forme de courbure est la forme 2-valeur gl ( n )

où, à nouveau, D désigne la dérivée covariante extérieure. En termes de forme de courbure et de forme de torsion, les identités Bianchi correspondantes sont

De plus, on peut récupérer les tenseurs de courbure et de torsion des formes de courbure et de torsion comme suit. En un point u de F x M , on a

où encore u  : R n → T x M est la fonction spécifiant le cadre dans la fibre, et le choix de portance des vecteurs via π −1 est sans importance puisque les formes de courbure et de torsion sont horizontales (elles s'annulent sur les vecteurs verticaux ambigus ).

Caractérisations et interprétations

Tout au long de cette section, M est supposé être une variété différentiable , et ∇ une dérivée covariante sur le fibré tangent de M sauf indication contraire.

Torsion des référentiels

Dans la géométrie différentielle classique des courbes , les formules de Frenet-Serret décrivent comment un cadre mobile particulier (le cadre Frenet-Serret) se tord le long d'une courbe. En termes physiques, la torsion correspond au moment cinétique d'un sommet idéalisé pointant le long de la tangente de la courbe.

Le cas d'une variété avec une connexion (métrique) admet une interprétation analogue. Supposons qu'un observateur se déplace le long d'une géodésique pour la connexion. Un tel observateur est généralement considéré comme inertiel puisqu'il ne subit aucune accélération . Supposons qu'en plus l'observateur porte avec lui un système de tiges de mesure droites rigides (un système de coordonnées ). Chaque tige est un segment droit ; une géodésique . Supposons que chaque tige est transportée parallèlement le long de la trajectoire. Le fait que ces tiges soient physiquement entraînées le long de la trajectoire signifie qu'elles sont entraînées par Lie , ou propagées de sorte que la dérivée de Lie de chaque tige le long de la tangente s'annule. Ils peuvent cependant subir un couple (ou des efforts de torsion) analogue au couple ressenti par la toupie dans le cadre Frenet-Serret. Cette force est mesurée par la torsion.

Plus précisément, supposons que l'observateur se déplace le long d' une trajectoire géodésique de ( t ) et portant une tige de mesure le long de lui. La tige balaie une surface au fur et à mesure que l'observateur se déplace le long du chemin. Il existe des coordonnées naturelles ( t , x ) le long de cette surface, où t est le paramètre temps pris par l'observateur, et x est la position le long de la tige de mesure. La condition selon laquelle la tangente de la tige doit être parallèlement translatée le long de la courbe est

Par conséquent, la torsion est donnée par

Si ce n'est pas zéro, alors les points marqués sur la tige (les x = courbes constantes ) traceront des hélices au lieu de géodésiques. Ils auront tendance à tourner autour de l'observateur. A noter que pour cet argument il n'était pas indispensable que soit une géodésique. N'importe quelle courbe fonctionnerait.

Cette interprétation de la torsion joue un rôle dans la théorie du téléparallélisme , également connue sous le nom de théorie d'Einstein-Cartan , une formulation alternative de la théorie de la relativité .

La torsion d'un filament

En science des matériaux , et en particulier en théorie de l'élasticité , les idées de torsion jouent également un rôle important. Un problème modélise la croissance des vignes, en se concentrant sur la question de savoir comment les vignes parviennent à se tordre autour des objets. La vigne elle-même est modelée comme une paire de filaments élastiques torsadés les uns autour des autres. Dans son état de minimisation d'énergie, la vigne pousse naturellement sous la forme d'une hélice . Mais la vigne peut aussi être allongée pour maximiser son étendue (ou sa longueur). Dans ce cas, la torsion de la vigne est liée à la torsion de la paire de filaments (ou de manière équivalente la torsion de surface du ruban reliant les filaments), et elle reflète la différence entre la configuration de maximisation de la longueur (géodésique) de la vigne et sa configuration de minimisation d'énergie.

Torsion et tourbillon

En dynamique des fluides , la torsion est naturellement associée aux lignes tourbillonnaires .

Géodésique et absorption de torsion

Supposons que γ ( t ) est une courbe sur M . Alors γ est une géodésique affinée à condition que

pour tout temps t dans le domaine de γ . (Ici, le point dénote la différenciation par rapport à t , qui associe à γ le vecteur tangent pointant le long de celui-ci.) Chaque géodésique est uniquement déterminée par son vecteur tangent initial au temps t = 0 , .

Une application de la torsion d'une connexion fait intervenir le spray géodésique de la connexion : grosso modo la famille de toutes les géodésiques affinées. La torsion est l'ambiguïté de classer les connexions en fonction de leurs gerbes géodésiques :

  • Deux liaisons ∇ et qui ont les mêmes géodésiques paramétrées affinement (c'est-à-dire le même spray géodésique) ne diffèrent que par la torsion.

Plus précisément, si X et Y sont une paire de vecteurs tangents à pM , puis laissez

être la différence des deux connexions, calculée en termes d'extensions arbitraires de X et Y loin de p . Par la règle du produit de Leibniz , on voit que Δ ne dépend pas en fait de la façon dont X et Y sont étendus (il définit donc un tenseur sur M ). Soient S et A les parties symétriques et alternées de :

Puis

  • est la différence des tenseurs de torsion.
  • ∇ et définissent les mêmes familles de géodésiques affinées si et seulement si S ( X , Y ) = 0 .

En d'autres termes, la partie symétrique de la différence de deux liaisons détermine si elles ont les mêmes géodésiques paramétrées, tandis que la partie biais de la différence est déterminée par les torsions relatives des deux liaisons. Une autre conséquence est :

  • Etant donné toute connexion affine ∇, il existe une unique connexion sans torsion ∇′ avec la même famille de géodésiques affinement paramétrées. La différence entre ces deux liaisons est en fait un tenseur, le tenseur de contorsion .

Il s'agit d'une généralisation du théorème fondamental de la géométrie riemannienne aux connexions affines générales (éventuellement non métriques). La sélection de la connexion sans torsion unique subordonnée à une famille de géodésiques paramétrées est connue sous le nom d' absorption de torsion , et c'est l'une des étapes de la méthode d'équivalence de Cartan .

Voir également

Remarques

Les références