Méthode de la matrice de transfert (optique) - Transfer-matrix method (optics)

Propagation d'un rayon à travers une couche

La méthode des matrices de transfert est une méthode utilisée en optique et en acoustique pour analyser la propagation d'ondes électromagnétiques ou acoustiques à travers un milieu stratifié . Ceci est par exemple pertinent pour la conception de revêtements antireflet et de miroirs diélectriques .

La réflexion de la lumière à partir d'une interface unique entre deux milieux est décrite par les équations de Fresnel . Cependant, lorsqu'il y a plusieurs interfaces , comme sur la figure, les réflexions elles-mêmes sont également partiellement transmises puis partiellement réfléchies. Selon la longueur exacte du trajet, ces réflexions peuvent interférer de manière destructive ou constructive. La réflexion globale d'une structure en couches est la somme d'un nombre infini de réflexions.

La méthode de la matrice de transfert est basée sur le fait que, selon les équations de Maxwell , il existe des conditions de continuité simples pour le champ électrique à travers les frontières d'un milieu à l'autre. Si le champ est connu au début d'une couche, le champ à la fin de la couche peut être dérivé d'une simple opération matricielle . Un empilement de couches peut alors être représenté comme une matrice système, qui est le produit des matrices de couches individuelles. L'étape finale du procédé consiste à reconvertir la matrice du système en coefficients de réflexion et de transmission .

Formalisme pour les ondes électromagnétiques

On décrit ci-dessous comment la matrice de transfert est appliquée à des ondes électromagnétiques (par exemple lumineuses) d'une fréquence donnée se propageant à travers un empilement de couches à incidence normale . Elle peut être généralisée pour traiter l'incidence sous un angle, les milieux absorbants et les milieux aux propriétés magnétiques . Nous supposons que les couches de la pile sont normales à l' axe et que le champ à l'intérieur d'une couche peut être représenté comme la superposition d'une onde se déplaçant à gauche et à droite avec le nombre d'onde , ${\style d'affichage z\,}$ ${\style d'affichage k\,}$

${\displaystyle E(z)=E_{r}e^{ikz}+E_{l}e^{-ikz}\,}$.

Parce qu'il résulte de l'équation de Maxwell que et doit être continu à travers une frontière, il est pratique de représenter le champ comme le vecteur , où ${\style d'affichage E\,}$${\displaystyle H=1/ikZ_{c}dE/dz\,}$${\style d'affichage (E(z),H(z))\,}$

${\displaystyle H(z)=1/Z_{c}E_{r}e^{ikz}-1/Z_{c}E_{l}e^{-ikz}\,}$.

Puisqu'il existe deux équations relatives et à et , ces deux représentations sont équivalentes. Dans la nouvelle représentation, la propagation sur une distance dans la direction positive est décrite par la matrice unimodulaire${\style d'affichage E\,}$${\style d'affichage H\,}$${\style d'affichage E_{r}\,}$${\style d'affichage E_{l}\,}$${\style d'affichage L\,}$${\style d'affichage z\,}$

${\displaystyle M=\left({\begin{array}{cc}\cos kL&iZ_{c}\sin kL\\{\frac {i}{Z_{c}}}\sin kL&\cos kL\end{ tableau}}\droit),}$

et

${\displaystyle \left({\begin{array}{c}E(z+L)\\H(z+L)\end{array}}\right)=M\cdot \left({\begin{array }{c}E(z)\\H(z)\end{array}}\right)}$

Une telle matrice peut représenter la propagation à travers une couche si est le nombre d'onde dans le milieu et l'épaisseur de la couche : Pour un système à couches, chaque couche possède une matrice de transfert , où croît vers des valeurs plus élevées. La matrice de transfert du système est alors ${\style d'affichage k\,}$${\style d'affichage L\,}$${\style d'affichage N\,}$${\style d'affichage j\,}$${\style d'affichage M_{j}\,}$${\style d'affichage j\,}$${\style d'affichage z\,}$

${\displaystyle M_{s}=M_{N}\cdot \ldots \cdot M_{2}\cdot M_{1}.}$

Typiquement, on aimerait connaître la réflectance et la transmittance de la structure en couches. Si la pile de couches commence à , alors pour négatif , le champ est décrit comme ${\style d'affichage z=0\,}$${\style d'affichage z\,}$

${\displaystyle E_{L}(z)=E_{0}e^{ik_{L}z}+rE_{0}e^{-ik_{L}z},\qquad z<0,}$

où est l'amplitude de l'onde entrante, le nombre d'onde dans le milieu gauche, et est le coefficient de réflectance d'amplitude (pas d'intensité !) de la structure en couches. De l'autre côté de la structure en couches, le champ se compose d'un champ transmis se propageant à droite ${\style d'affichage E_{0}\,}$${\displaystyle k_{L}\,}$${\style d'affichage r\,}$

${\displaystyle E_{R}(z)=tE_{0}e^{ik_{R}z},\qquad z>L',}$

où est la transmittance d'amplitude, est le nombre d'onde dans le milieu le plus à droite, et est l'épaisseur totale. Si et , alors nous pouvons résoudre ${\style d'affichage t\,}$${\style d'affichage k_{R}\,}$${\style d'affichage L'}$${\displaystyle H_{L}=1/ikZ_{c}dE_{L}/dz\,}$${\displaystyle H_{R}=1/ikZ_{c}dE_{R}/dz\,}$

${\displaystyle \left({\begin{array}{c}E(z_{R})\\H(z_{R})\end{array}}\right)=M\cdot \left({\begin {array}{c}E(0)\\H(0)\end{array}}\right)}$

en termes d'éléments matriciels de la matrice système et obtenir ${\style d'affichage M_{mn}\,}$${\displaystyle M_{s}\,}$

${\displaystyle t=2ik_{L}e^{-ik_{R}L}\left[{\frac {1}{-M_{21}+k_{L}k_{R}M_{12}+i( k_{R}M_{11}+k_{L}M_{22})}}\right]}$

et

${\displaystyle r=\left[{\frac {(M_{21}+k_{L}k_{R}M_{12})+i(k_{L}M_{22}-k_{R}M_{11 })}{(-M_{21}+k_{L}k_{R}M_{12})+i(k_{L}M_{22}+k_{R}M_{11})}}\right] }$.

La transmittance et la réflectance (c'est-à-dire les fractions de l'intensité incidente transmises et réfléchies par la couche) sont souvent d'une utilisation plus pratique et sont données par et , respectivement (à incidence normale). ${\displaystyle \left|E_{0}\right|^{2}}$${\displaystyle T={\frac {k_{R}}{k_{L}}}|t|^{2}\,}$${\displaystyle R=|r|^{2}\,}$

Exemple

A titre d'illustration, considérons une seule couche de verre d'indice de réfraction n et d'épaisseur d suspendue dans l'air à un nombre d'onde k (dans l'air). Dans le verre, le nombre d'onde est . La matrice de transfert est ${\style d'affichage k'=nk\,}$

${\displaystyle M=\left({\begin{array}{cc}\cos k'd&\sin(k'd)/k'\\-k'\sin k'd&\cos k'd\end{ tableau}}\droit)}$.

Le coefficient de réflexion d'amplitude peut être simplifié à

${\displaystyle r={\frac {(1/nn)\sin(k'd)}{(n+1/n)\sin(k'd)+2i\cos(k'd)}}}$.

Cette configuration décrit effectivement un interféromètre ou étalon de Fabry-Pérot : pour , la réflexion s'annule. ${\displaystyle k'd=0,\pi ,2\pi ,\cdots \,}$

Ondes acoustiques

Il est possible d'appliquer la méthode de la matrice de transfert aux ondes sonores. Au lieu du champ électrique E et de sa dérivée F , le déplacement u et la contrainte , où est le module d'onde p , doivent être utilisés. ${\displaystyle \sigma =Cdu/dz}$${\style d'affichage C}$

Formalisme matriciel d'Abeles

Réflexion à partir d'une interface stratifiée

La méthode de la matrice d'Abeles est un moyen rapide et facile de calculer la réflectivité spéculaire à partir d'une interface stratifiée, en fonction du transfert de quantité de mouvement perpendiculaire , Q _z :

${\displaystyle Q_{z}={\frac {4\pi }{\lambda }}\sin \theta =1k_{z}}$

où θ est l'angle d'incidence / de réflexion de l'incident rayonnement et λ est la longueur d' onde du rayonnement. La réflectivité mesurée dépend de la variation du profil de densité de longueur de diffusion (SLD), ρ ( z ), perpendiculaire à l'interface. Bien que le profil de densité de longueur de diffusion est normalement une fonction variant en continu, la structure interfaciale peut souvent être bien approchée par un modèle de dalle , dans lequel des couches d'épaisseur ( d _n ), la diffusion de densité de longueur ( ρ _n ) et de la rugosité (σ _{n, n + 1} ) sont pris en sandwich entre les super- et sous-phases. On utilise alors une procédure de raffinement pour minimiser les différences entre les courbes de réflectivité théorique et mesurée, en changeant les paramètres qui décrivent chaque couche.

Dans cette description, l'interface est divisée en n couches. Puisque le faisceau de neutrons incident est réfracté par chacune des couches, le vecteur d'onde, k , dans la couche n , est donné par :

${\displaystyle k_{n}={\sqrt {{k_{z}}^{2}-4\pi ({\rho }_{n}-{\rho }_{0})}}}$

Le coefficient de réflexion de Fresnel entre les couches n et n+1 est alors donné par :

${\displaystyle r_{n,n+1}={\frac {k_{n}-k_{n+1}}{k_{n}+k_{n+1}}}}$

Étant donné que l'interface entre chaque couche est peu susceptible d'être parfaitement lisse, la rugosité/diffusivité de chaque interface modifie le coefficient de Fresnel et est prise en compte par une fonction d'erreur , comme décrit par Nevot et Croce (1980) .

${\displaystyle r_{n,n+1}={\frac {k_{n}-k_{n+1}}{k_{n}+k_{n+1}}}\exp(-2k_{n} k_{n+1}{\sigma _{n,n+1}}^{2})}$

Un facteur de phase, β , est introduit, qui représente l'épaisseur de chaque couche.

${\displaystyle \beta _{0}=0}$

${\displaystyle \beta _{n}=ik_{n}d_{n}}$

où . Une matrice caractéristique, c _n est alors calculée pour chaque couche. ${\style d'affichage i^{2}=-1}$

${\displaystyle c_{n}=\left[{\begin{array}{cc}\exp \left(\beta _{n}\right)&r_{n,n+1}\exp \left(\beta _ {n}\right)\\r_{n,n+1}\exp \left(-\beta _{n}\right)&\exp \left(-\beta _{n}\right)\end{ tableau}}\droit]}$

La matrice résultante est définie comme le produit de ces matrices caractéristiques

${\displaystyle M=\prod _{n}c_{n}}$

à partir de laquelle la réflectivité est calculée comme :

${\displaystyle R=\gauche|{\frac {M_{10}}{M_{00}}}\droit|^{2}}$

Voir également

• Réflectométrie neutronique
• Ellipsométrie
• calcul de Jones
• Réflectivité des rayons X

Les références

Lectures complémentaires

• Réflectivité multicouche : dérivation selon les premiers principes des probabilités de transmission et de réflexion à partir d'une multicouche avec des indices de réfraction complexes.
• Matériaux en couches et diagrammes de bandes photoniques (conférence 23) dans le cours ouvert du MIT Propriétés électroniques, optiques et magnétiques des matériaux .
• Propagation des ondes électromagnétiques à travers des couches minces et des multicouches (Conférence 13) dans les processus de transport nano-à-macro du cours ouvert du MIT . Comprend de courtes ondes acoustiques de discussion.

Liens externes

Il existe un certain nombre de programmes informatiques qui implémentent ce calcul :

• FreeSnell est un programme informatique autonome qui implémente la méthode de la matrice de transfert, y compris des aspects plus avancés tels que les films granulaires.
• Thinfilm est une interface Web qui implémente la méthode de la matrice de transfert, produisant les coefficients de réflexion et de transmission, ainsi que les paramètres ellipsométriques Psi et Delta.
• Luxpop.com est une autre interface Web qui implémente la méthode de la matrice de transfert.
• Programmes de calcul de matrice de transfert en Python et en Mathematica .
• Logiciel EMPy ("Electromagnetic Python") .
• motofit est un programme d'analyse des données de réflectométrie des neutrons et des rayons X.
• OpenFilters est un programme de conception de filtres optiques.
• Py_matrix est un code Python open source qui implémente la méthode de matrice de transfert pour les multicouches avec des tenseurs diélectriques arbitraires. Il a été spécialement créé pour les calculs plasmoniques et magnétoplasmoniques.
• Calculateur et ajusteur intégrés au navigateur Calculateur de réflectivité interactif Javascript utilisant la méthode matricielle et l'approximation de la rugosité Nevot-Croce (noyau de calcul converti de C via Emscripten )