Test d'additivité de Tukey - Tukey's test of additivity

En statistique , le test d'additivité de Tukey , du nom de John Tukey , est une approche utilisée dans l'ANOVA à deux facteurs ( analyse de régression impliquant deux facteurs qualitatifs) pour évaluer si les variables factorielles ( variables catégorielles ) sont liées de manière additive à la valeur attendue de la réponse. variable. Il peut être appliqué lorsqu'il n'y a pas de valeurs répliquées dans l'ensemble de données, une situation dans laquelle il est impossible d'estimer directement une structure de régression non additive entièrement générale et de disposer d'informations pour estimer la variance d'erreur. La statistique de test proposée par Tukey a un degré de liberté sous l'hypothèse nulle, c'est pourquoi on l'appelle souvent " test à un degré de liberté de Tukey".

introduction

Le paramètre le plus courant pour le test d'additivité de Tukey est une analyse factorielle de la variance à deux voies (ANOVA) avec une observation par cellule. La variable de réponse Y _ij est observée dans un tableau de cellules avec les lignes indexées par i  = 1,...,  m et les colonnes indexées par j  = 1,...,  n . Les lignes et les colonnes correspondent généralement à divers types et niveaux de traitement qui sont appliqués en combinaison.

Les types d' additifs indique que la réponse attendue peut être exprimé EY _ij  =  μ  +  α _i  +  β _j , où l' α _i et β _j sont des valeurs constantes inconnues. Les paramètres inconnus du modèle sont généralement estimés comme

${\displaystyle {\widehat {\mu }}={\bar {Y}}_{\cdot \cdot }}$

${\displaystyle {\widehat {\alpha }}_{i}={\bar {Y}}_{i\cdot }-{\bar {Y}}_{\cdot \cdot }}$

${\displaystyle {\widehat {\beta }}_{j}={\bar {Y}}_{\cdot j}-{\bar {Y}}_{\cdot \cdot }}$

où Y _{i •} est la moyenne de la i ^ème rangée de la table de données, Y _{de la j} est la moyenne de la j ^ème colonne de la table de données, et Y _•• est la moyenne globale de la table de données.

Le modèle additif peut être généralisée pour tenir compte des effets d'interaction arbitraire par réglage EY _ij  =  μ  +  α _i  +  β _j  +  γ _ij . Cependant, après ajustement de l'estimateur naturel de γ _ij ,

${\displaystyle {\widehat {\gamma }}_{ij}=Y_{ij}-({\widehat {\mu }}+{\widehat {\alpha }}_{i}+{\widehat {\beta }}_{j}),}$

les valeurs ajustées

${\displaystyle {\widehat {Y}}_{ij}={\widehat {\mu }}+{\widehat {\alpha }}_{i}+{\widehat {\beta }}_{j}+ {\widehat {\gamma }}_{ij}\equiv Y_{ij}}$

correspond exactement aux données. Ainsi, il n'y a plus de degrés de liberté pour estimer la variance σ ² , et aucun test d'hypothèse sur le γ _ij ne peut être effectué.

Tukey a donc proposé un modèle d'interaction plus contraint de la forme

${\displaystyle \operatorname {E} Y_{ij}=\mu +\alpha _{i}+\beta _{j}+\lambda \alpha _{i}\beta _{j}}$

En testant l'hypothèse nulle selon laquelle λ = 0, nous sommes en mesure de détecter certains écarts par rapport à l'additivité en se basant uniquement sur le seul paramètre λ.

Méthode

Pour effectuer le test de Tukey, définissez

${\displaystyle SS_{A}\equiv n\sum _{i}({\bar {Y}}_{i\cdot }-{\bar {Y}}_{\cdot \cdot })^{2} }$

${\displaystyle SS_{B}\equiv m\sum _{j}({\bar {Y}}_{\cdot j}-{\bar {Y}}_{\cdot \cdot })^{2} }$

${\displaystyle SS_{AB}\equiv {\frac {(\sum _{ij}Y_{ij}({\bar {Y}}_{i\cdot }-{\bar {Y}}_{\cdot \cdot })({\bar {Y}}_{\cdot j}-{\bar {Y}}_{\cdot \cdot }))^{2}}{\sum _{i}({\ bar {Y}}_{i\cdot }-{\bar {Y}}_{\cdot \cdot })^{2}\sum _{j}({\bar {Y}}_{\cdot j }-{\bar {Y}}_{\cdot \cdot })^{2}}}}$

${\displaystyle SS_{T}\equiv \sum _{ij}(Y_{ij}-{\bar {Y}}_{\cdot \cdot })^{2}}$

${\displaystyle SS_{E}\équiv SS_{T}-SS_{A}-SS_{B}-SS_{AB}}$

Ensuite, utilisez la statistique de test suivante

${\displaystyle {\frac {SS_{AB}/1}{MS_{E}}}.}$

Sous l'hypothèse nulle, la statistique de test a une distribution F avec 1,  q degrés de liberté, où q  =  mn  − ( m  +  n ) est les degrés de liberté pour estimer la variance de l'erreur.

Voir également

• Test de portée de Tukey pour des comparaisons multiples

Les références