Ultrafiltre - Ultrafilter

Le réseau de puissances de l'ensemble {1,2,3,4}, avec l' ensemble supérieur ↑{1,4} de couleur vert foncé. C'est un filtre principal , mais pas un ultrafiltre , car il peut être étendu au plus grand filtre non trivial ↑{1}, en incluant également les éléments vert clair. Comme ↑{1} ne peut plus être étendu, il s'agit d'un ultrafiltre.

Dans le domaine mathématique de la théorie de l' ordre , un ultrafiltre sur un ensemble partiellement ordonné donné (ou "poset") est un certain sous-ensemble de , à savoir un filtre maximal sur , c'est-à-dire un filtre approprié sur qui ne peut pas être agrandi en un filtre approprié plus grand sur .

Si est un ensemble arbitraire, son ensemble de puissance ordonné par inclusion d'ensemble , est toujours une algèbre booléenne et donc un poset, et les ultrafiltres sur sont généralement appelés ultrafiltres sur l'ensemble . Un ultrafiltre sur un ensemble peut être considéré comme une mesure finiment additive sur . Dans cette vue, chaque sous-ensemble de est soit considéré comme « presque tout » (a la mesure 1) ou « presque rien » (a la mesure 0), selon qu'il appartient ou non à l'ultrafiltre donné.

Les ultrafiltres ont de nombreuses applications dans la théorie des ensembles, la théorie des modèles et la topologie .

Ultrafiltres sur commandes partielles

Dans la théorie de l' ordre , un ultrafiltre est un sous - ensemble d'un ensemble ordonné qui est maximal parmi tous les filtres appropriés . Cela implique que tout filtre qui contient correctement un ultrafiltre doit être égal à l'ensemble du poset.

Formellement, si est un ensemble, partiellement ordonné d'ici là

  • un sous - ensemble est appelé un filtre sur si
    • n'est pas vide,
    • pour tout il existe un élément tel que et et
    • pour chaque et implique que c'est trop;
  • un sous - ensemble approprié de est appelé un ultrafiltre sur si
    • est un filtre sur et
    • il n'y a pas de filtre approprié sur qui s'étend correctement (c'est-à-dire, tel qu'il s'agisse d' un sous-ensemble approprié de ).

Types et existence des ultrafiltres

Chaque ultrafiltre appartient exactement à l'une des deux catégories suivantes : principal et gratuit. Un ultrafiltre principal (ou fixe , ou trivial ) est un filtre contenant un moindre élément . Par conséquent, les principaux ultrafiltres sont de la forme pour certains (mais pas tous) éléments du poset donné. Dans ce cas est appelé l' élément principal de l'ultrafiltre. Tout ultrafiltre qui n'est pas principal est appelé ultrafiltre libre (ou non principal ).

Pour les ultrafiltres sur un ensemble de puissance, un ultrafiltre principal se compose de tous les sous-ensembles de qui contiennent un élément donné. Chaque ultrafiltre sur qui est également un filtre principal est de cette forme. Par conséquent, un ultrafiltre sur est principal si et seulement s'il contient un ensemble fini. Si est infini, un ultrafiltre sur est donc non principal si et seulement s'il contient le filtre de Fréchet des sous - ensembles cofinis de Si est fini, tout ultrafiltre est principal.

Tout filtre sur une algèbre booléenne (ou plus généralement, tout sous-ensemble avec la propriété d'intersection finie ) est contenu dans un ultrafiltre (voir lemme de l'ultrafiltre ) et qu'il existe donc des ultrafiltres libres, mais les preuves font intervenir l' axiome du choix ( AC ) sous la forme du lemme de Zorn . D'autre part, l'affirmation selon laquelle chaque filtre est contenu dans un ultrafiltre n'implique pas AC . En effet, il équivaut au théorème booléen idéal premier ( BPIT ), un point intermédiaire bien connu entre les axiomes de la théorie des ensembles de Zermelo–Fraenkel ( ZF ) et la théorie ZF augmentée de l'axiome du choix ( ZFC ). En général, les preuves impliquant l'axiome du choix ne produisent pas d'exemples explicites d'ultrafiltres libres, bien qu'il soit possible de trouver des exemples explicites dans certains modèles de ZFC ; par exemple, Gödel a montré que cela peut être fait dans l' univers constructible où l'on peut écrire une fonction de choix global explicite. Dans ZF sans l'axiome du choix, il est possible que chaque ultrafiltre soit principal.

Ultrafiltre sur une algèbre de Boole

Un cas particulier important du concept se produit si le poset considéré est une algèbre booléenne . Dans ce cas, les ultrafiltres sont caractérisés en ce qu'ils contiennent, pour chaque élément de l'algèbre de Boole, exactement un des éléments et (ce dernier étant le complément booléen de ) :

Si est une algèbre booléenne et est un filtre approprié sur alors les déclarations suivantes sont équivalentes :

  1. est un ultrafiltre sur
  2. est un filtre principal sur
  3. pour chaque soit ou (¬ )

Une preuve de 1. ⇔ 2. est également donnée dans (Burris, Sankappanavar, 2012, Corollary 3.13, p.133).

De plus, les ultrafiltres sur une algèbre booléenne peuvent être liés aux idéaux maximaux et aux homomorphismes de l'algèbre booléenne à 2 éléments {vrai, faux} (également appelés morphismes à 2 valeurs ) comme suit :

  • Étant donné un homomorphisme d'une algèbre booléenne sur {vrai, faux}, l' image inverse de "vrai" est un ultrafiltre, et l'image inverse de "faux" est un idéal maximal.
  • Étant donné un idéal maximal d'une algèbre de Boole, son complément est un ultrafiltre, et il existe un homomorphisme unique sur {vrai, faux} prenant l'idéal maximal à "faux".
  • Etant donné un ultrafiltre sur une algèbre de Boole, son complément est un idéal maximal, et il existe un homomorphisme unique sur {vrai, faux} portant l'ultrafiltre à "vrai".

Ultrafiltre sur la puissance d'un ensemble

Étant donné un ensemble arbitraire, son ensemble de puissances ordonné par inclusion d'ensembles est toujours une algèbre booléenne ; d'où les résultats de la section ci-dessus Cas particulier : l'algèbre booléenne s'applique. Un (ultra)filtre activé est souvent appelé simplement un "(ultra)filtre activé ". Les définitions formelles ci-dessus peuvent être particularisées au cas des ensembles de puissance comme suit :

Étant donné un ensemble arbitraire sur lequel un ultrafiltre est un ensemble constitué de sous-ensembles tels que :

  1. L'ensemble vide n'est pas un élément de
  2. Si et sont des sous-ensembles de l'ensemble est un sous-ensemble de et est un élément de alors est également un élément de
  3. Si et sont des éléments de alors l' intersection de et
  4. Si est un sous-ensemble de alors l'un ou l' autre ou son complément relatif est un élément de

Une autre façon de considérer les ultrafiltres sur un ensemble de puissance est la suivante : pour un ultrafiltre donné, définissez une fonction sur en définissant si est un élément de et sinon. Une telle fonction est appelée un morphisme à 2 valeurs . Alors est de façon finie additif , et donc un contenu sur et chaque propriété des éléments de est soit vrai presque partout, soit faux presque partout. Cependant, n'est généralement pas dénombrable additif et ne définit donc pas une mesure au sens habituel du terme.

Pour un filtre qui n'est pas un ultrafiltre, on dirait si et si laissant indéfini ailleurs.

Applications

Les ultrafiltres sur les ensembles de puissances sont utiles en topologie , en particulier par rapport aux espaces de Hausdorff compacts , et en théorie des modèles dans la construction d' ultraproduits et d'ultrapuissances . Chaque ultrafiltre d'un espace Hausdorff compact converge vers un seul point. De même, les ultrafiltres sur les algèbres booléennes jouent un rôle central dans le théorème de représentation de Stone .

L'ensemble de tous les ultrafiltres d'un poset peut être topologiquement naturel, c'est-à-dire étroitement lié au théorème de représentation mentionné ci-dessus. Pour tout élément de , laissez Ceci est le plus utile quand est à nouveau une algèbre booléenne, puisque dans cette situation l'ensemble de tous est une base pour une topologie de Hausdorff compacte sur . En particulier, lorsque l'on considère les ultrafiltres sur un ensemble de puissance, l' espace topologique résultant est la compactification Stone-Čech d'un espace discret de cardinalité

La construction d' ultraproduits dans la théorie des modèles utilise des ultrafiltres pour produire des extensions élémentaires de structures. Par exemple, en construisant des nombres hyperréels comme un ultraproduit des nombres réels , le domaine du discours est étendu des nombres réels aux séquences de nombres réels. Cet espace de séquence est considéré comme un sur - ensemble des réels en identifiant chaque réel avec la séquence constante correspondante. Pour étendre les fonctions et relations familières (par exemple, + et <) des réels aux hyperréels, l'idée naturelle est de les définir par points. Mais cela perdrait d'importantes propriétés logiques des réels ; par exemple, pointwise < n'est pas un ordre total. Ainsi, à la place, les fonctions et les relations sont définies " pointwise modulo " , où est un ultrafiltre sur l' ensemble d'indices des séquences ; par le théorème Łoś' , cela préserve toutes les propriétés des réels qui peuvent être énoncés en logique du premier ordre . Si est non principal, alors l'extension ainsi obtenue est non triviale.

En théorie géométrique des groupes , des ultrafiltres non principaux sont utilisés pour définir le cône asymptotique d'un groupe. Cette construction donne une manière rigoureuse d'envisager de regarder le groupe depuis l'infini , c'est-à-dire la géométrie à grande échelle du groupe. Les cônes asymptotiques sont des exemples particuliers d' ultralimites d' espaces métriques .

La preuve ontologique de Gödel de l'existence de Dieu utilise comme axiome que l'ensemble de toutes les « propriétés positives » est un ultrafiltre.

Dans la théorie du choix social , des ultrafiltres non principaux sont utilisés pour définir une règle (appelée fonction de bien-être social ) pour agréger les préférences d'une infinité d'individus. Contrairement au théorème d'impossibilité d' Arrow pour un nombre fini d'individus, une telle règle satisfait les conditions (propriétés) qu'Arrow propose (par exemple, Kirman et Sondermann, 1972). Mihara (1997, 1999) montre cependant que de telles règles n'ont pratiquement qu'un intérêt limité pour les sociologues, puisqu'elles sont non algorithmiques ou non calculables.

Voir également

Remarques

Les références

Bibliographie

Lectures complémentaires