Espace ultramétrique - Ultrametric space

En mathématiques , un espace ultramétrique est un espace métrique dans lequel l' inégalité triangulaire est renforcée à . Parfois, la métrique associée est également appelée métrique non archimédienne ou super-métrique . Bien que certains des théorèmes pour les espaces ultramétriques puissent sembler étranges à première vue, ils apparaissent naturellement dans de nombreuses applications.

Définition formelle

Une ultramétrique sur un ensemble M est une fonction à valeur réelle

(où désignent les nombres réels ), tel que pour tout x , y , zM :

  1. d ( x , y ) 0 ;
  2. d ( x , y ) = d ( y , x ) ( symétrie )
  3. d ( x , x ) = 0 ;
  4. si d ( x , y ) = 0 alors x = y  ;
  5. d ( x , z ) ≤ max { d ( x , y ), d ( y , z ) } ( inégalité triangulaire forte ou inégalité ultramétrique ).

Un espace ultramétrique est une paire ( M , d ) constituée d'un ensemble M et d'un d ultramétrique sur M , appelé fonction de distance associée à l'espace (également appelée métrique ).

Si d satisfait toutes les conditions sauf éventuellement la condition 4, alors d est appelé ultrapseudométrique sur M . Un espace ultrapseudométrique est un couple ( M , d ) constitué d' un ensemble M et d' un d ultrapseudométrique sur M .

Dans le cas où M est un groupe (écrit de manière additive) et d est généré par une fonction de longueur (de sorte que ), la dernière propriété peut être renforcée en utilisant l' affûtage de Krull pour :

avec égalité si .

Nous voulons prouver que si , alors l'égalité se produit si . Sans perte de généralité , supposons que . Cela implique que . Mais on peut aussi calculer . Or, la valeur de ne peut pas être , car si tel est le cas, nous avons le contraire à l'hypothèse initiale. Ainsi, , et . En utilisant l'inégalité initiale, nous avons et donc .

Propriétés

Dans le triangle de droite, les deux points bas x et y violent la condition d(x, y) max(d(x, z), d(y, z)).

De la définition ci-dessus, on peut conclure plusieurs propriétés typiques de l'ultramétrie. Par exemple, pour tout , au moins une des trois égalités ou ou est vérifiée. C'est-à-dire que chaque triple de points dans l'espace forme un triangle isocèle , donc tout l'espace est un ensemble isocèle .

En définissant la boule (ouverte) de rayon centrée en , nous avons les propriétés suivantes :

  • Chaque point à l'intérieur d'une boule est son centre, c'est-à-dire si alors .
  • Les boules qui se croisent sont contenues les unes dans les autres, c'est-à-dire que si n'est pas vide alors soit ou .
  • Toutes les boules de rayon strictement positif sont à la fois des ensembles ouverts et fermés dans la topologie induite . C'est-à-dire que les boules ouvertes sont également fermées, et les boules fermées (remplacer par ) sont également ouvertes.
  • L'ensemble de toutes les boules ouvertes de rayon et de centre dans une boule fermée de rayon forme une partition de cette dernière, et la distance mutuelle de deux boules ouvertes distinctes est (supérieure ou) égale à .

Prouver ces déclarations est un exercice instructif. Tous dérivent directement de l'inégalité triangulaire ultramétrique. Notez que, par la deuxième déclaration, une balle peut avoir plusieurs points centraux qui ont une distance non nulle. L'intuition derrière ces effets apparemment étranges est que, en raison de la forte inégalité triangulaire, les distances en ultramétrie ne s'additionnent pas.

Exemples

  • La métrique discrète est une ultramétrique.
  • Les nombres p- adiques forment un espace ultramétrique complet.
  • Considérons l' ensemble des mots de longueur arbitraire (finie ou infinie), Σ * , sur un alphabet Σ. Définissez la distance entre deux mots différents à 2 n , où n est le premier endroit auquel les mots diffèrent. La métrique résultante est une ultramétrique.
  • L' ensemble des mots aux extrémités collées de longueur n sur un certain alphabet est un espace ultramétrique par rapport à la distance p -proche. Deux mots x et y sont p- fermés si une sous-chaîne de p lettres consécutives ( p < n ) apparaît le même nombre de fois (qui peut aussi être zéro) à la fois dans x et y .
  • Si r = ( r n ) est une suite de nombres réels décroissant jusqu'à zéro, alors | x | r  := lim sup n →∞ | x n | r n induit une ultramétrique sur l'espace de toutes les suites complexes pour lesquelles il est fini. (Notez qu'il ne s'agit pas d'une semi - norme car elle manque d' homogénéité — Si les r n sont autorisés à être nuls, il faut utiliser ici la convention plutôt inhabituelle que 0 0 =0 .)
  • Si G est un graphe non orienté pondéré par les arêtes , tous les poids des arêtes sont positifs et d ( u , v ) est la pondération du chemin minimax entre u et v (c'est-à-dire, le plus grand poids d'une arête, sur un chemin choisi pour minimiser ce plus grand poids), alors les sommets du graphe, de distance mesurée par d , forment un espace ultramétrique, et tous les espaces ultramétriques finis peuvent être représentés de cette manière.

Applications

  • Une application de contraction peut alors être considérée comme un moyen d'approcher le résultat final d'un calcul (dont l'existence peut être garantie par le théorème du point fixe de Banach ). Des idées similaires peuvent être trouvées dans la théorie des domaines . L' analyse p- adique fait un usage intensif de la nature ultramétrique de la métrique p- adique .
  • En physique de la matière condensée , le chevauchement d' auto-moyenne entre les spins dans le modèle SK des verres de spin présente une structure ultramétrique, avec la solution donnée par la procédure de rupture de symétrie de réplique complète décrite pour la première fois par Giorgio Parisi et ses collègues. L'ultramétrie apparaît également dans la théorie des solides apériodiques.
  • En taxonomie et en construction d' arbres phylogénétiques , les distances ultramétriques sont également utilisées par les méthodes UPGMA et WPGMA . Ces algorithmes nécessitent une hypothèse de taux constant et produisent des arbres dans lesquels les distances de la racine à chaque extrémité de branche sont égales. Lorsque les données d' ADN , d' ARN et de protéines sont analysées, l'hypothèse d'ultramétrie est appelée horloge moléculaire .
  • Les modèles d' intermittence dans la turbulence tridimensionnelle des fluides utilisent ce qu'on appelle des cascades, et dans des modèles discrets de cascades dyadiques, qui ont une structure ultramétrique.
  • En géographie et en écologie du paysage , les distances ultramétriques ont été appliquées pour mesurer la complexité du paysage et évaluer dans quelle mesure une fonction du paysage est plus importante qu'une autre.

Les références

Bibliographie

Lectures complémentaires