Uniformisation (théorie des ensembles) - Uniformization (set theory)

Dans la théorie des ensembles , une branche des mathématiques , l' axiome d'uniformisation est une forme faible de l' axiome du choix . Il déclare que si est un sous - ensemble de , où et sont des espaces polonais , alors il y a un sous-ensemble de qui est une fonction partielle de à , et dont le domaine (l' ensemble de tout ce qui existe) est égal à ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle X \ fois Y}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle f (x)}$

${\ displaystyle \ {x \ dans X \ mid \ existe y \ dans Y: (x, y) \ dans R \} \,}$

Une telle fonction est appelée une fonction d'uniformisation pour , ou une uniformisation de . ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle R}$

Uniformisation de la relation R (bleu clair) par la fonction f (rouge).

Pour voir la relation avec l'axiome du choix, observez ce qui peut être considéré comme associant, à chaque élément de , un sous-ensemble de . Une uniformisation de puis sélectionne exactement un élément de chacun de ces sous-ensembles, chaque fois que le sous-ensemble est non vide . Ainsi, autoriser les ensembles arbitraires X et Y (plutôt que de simples espaces polonais) rendrait l'axiome d'uniformisation équivalent à l'axiome de choix. ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle R}$

On dit qu'une classe de points possède la propriété d'uniformisation si chaque relation dans peut être uniformisée par une fonction partielle dans . La propriété d'uniformisation est impliquée par la propriété scale , au moins pour les classes de points adéquates d'une certaine forme. ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Gamma}}}$ ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Gamma}}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Gamma}}}$

Il découle du seul ZFC et possède la propriété d'uniformisation. Il découle de l'existence d'un nombre suffisant de grands cardinaux que ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Pi}} _ {1} ^ {1}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Sigma}} _ {2} ^ {1}}$

• ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Pi}} _ {2n + 1} ^ {1}}$et ont la propriété d'uniformisation pour chaque nombre naturel .${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Sigma}} _ {2n + 2} ^ {1}}$ ${\ displaystyle n}$
• Par conséquent, la collection d' ensembles projectifs a la propriété d'uniformisation.
• Toute relation dans L (R) peut être uniformisée, mais pas nécessairement par une fonction dans L (R). En fait, L (R) n'a pas la propriété d'uniformisation (de manière équivalente, L (R) ne satisfait pas l'axiome d'uniformisation).
  • (Remarque: il est trivial que chaque relation dans L (R) puisse être uniformisée en V , en supposant que V satisfait l'axiome de choix. Le fait est que chaque relation de ce type peut être uniformisée dans un modèle interne transitif de V dans lequel l' axiome de la détermination tient.)

Les références

• Moschovakis, Yiannis N. (1980). Théorie des ensembles descriptifs . Hollande du Nord. ISBN 0-444-70199-0.