Modèle Maxwell à convection supérieure - Upper-convected Maxwell model

Le Maxwell supérieur convection ( UCM ) modèle est une généralisation de la matière Maxwell pour le cas de grandes déformations en utilisant la dérivée de temps supérieur convection . Le modèle a été proposé par James G. Oldroyd . Le concept porte le nom de James Clerk Maxwell .

Le modèle peut être écrit comme suit:

${\ displaystyle \ mathbf {T} + \ lambda {\ stackrel {\ nabla} {\ mathbf {T}}} = 2 \ eta _ {0} \ mathbf {D}}$

où:

• ${\ displaystyle \ mathbf {T}}$est le tenseur des contraintes ;
• ${\ displaystyle \ lambda}$ est le temps de relaxation;
• ${\ displaystyle {\ stackrel {\ nabla} {\ mathbf {T}}}}$est la dérivée du temps de convection supérieure du tenseur des contraintes:

${\ displaystyle {\ stackrel {\ nabla} {\ mathbf {T}}} = {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ mathbf {T} + \ mathbf {v} \ cdot \ nabla \ mathbf { T} - (\ nabla \ mathbf {v}) ^ {T} \ cdot \ mathbf {T} - \ mathbf {T} \ cdot (\ nabla \ mathbf {v})}$

• ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$ est la vitesse du fluide
• ${\ displaystyle \ eta _ {0}}$est la viscosité du matériau à cisaillement simple constant ;
• ${\ displaystyle \ mathbf {D}}$est le tenseur du taux de déformation .

Cas du cisaillement permanent

Dans ce cas, seules deux composantes de la contrainte de cisaillement sont devenues non nulles:

${\ displaystyle T_ {12} = \ eta _ {0} {\ dot {\ gamma}} \,}$

et

${\ displaystyle T_ {11} = 2 \ eta _ {0} \ lambda {\ dot {\ gamma}} ^ {2} \,}$

où est le taux de cisaillement. ${\ displaystyle {\ dot {\ gamma}}}$

Ainsi, le modèle de Maxwell à convection supérieure prédit pour le cisaillement simple que la contrainte de cisaillement est proportionnelle au taux de cisaillement et la première différence des contraintes normales ( ) est proportionnelle au carré du taux de cisaillement, la deuxième différence des contraintes normales ( ) est toujours zéro. En d'autres termes, l'UCM prédit l'apparition de la première différence des contraintes normales mais ne prédit pas le comportement non newtonien de la viscosité de cisaillement ni la seconde différence des contraintes normales. ${\ displaystyle T_ {11} -T_ {22}}$${\ displaystyle T_ {22} -T_ {33}}$

Habituellement, le comportement quadratique de la première différence des contraintes normales et de l'absence de seconde différence des contraintes normales est un comportement réaliste des fondus de polymère à des taux de cisaillement modérés, mais une viscosité constante est irréaliste et limite l'utilisabilité du modèle.

Cas de démarrage de cisaillement constant

Dans ce cas, seules deux composantes de la contrainte de cisaillement sont devenues non nulles:

${\ displaystyle T_ {12} = \ eta _ {0} {\ dot {\ gamma}} \ left (1- \ exp \ left (- {\ frac {t} {\ lambda}} \ right) \ right) }$

et

${\ displaystyle T_ {11} = 2 \ eta _ {0} \ lambda {\ dot {\ gamma}} ^ {2} \ left (1- \ exp \ left (- {\ frac {t} {\ lambda} } \ right) \ left (1 + {\ frac {t} {\ lambda}} \ right) \ right)}$

Les équations ci-dessus décrivent des contraintes progressivement augmentées de zéro aux valeurs en régime permanent. L'équation n'est applicable que lorsque le profil de vitesse dans l'écoulement de cisaillement est complètement développé. Ensuite, le taux de cisaillement est constant sur la hauteur du canal. Si la forme de démarrage d'une distribution de vitesse nulle doit être calculée, l'ensemble complet des PDE doit être résolu.

Cas de l'extension uniaxiale en régime permanent ou de la compression uniaxiale

Dans ce cas, UCM prédit les contraintes normales calculées par l'équation suivante: ${\ displaystyle \ sigma = T_ {11} -T_ {22} = T_ {11} -T_ {33}}$

${\ displaystyle \ sigma = {\ frac {2 \ eta _ {0} {\ dot {\ epsilon}}} {1-2 \ lambda {\ dot {\ epsilon}}}} + {\ frac {\ eta _ {0} {\ dot {\ epsilon}}} {1+ \ lambda {\ dot {\ epsilon}}}}}$

où est le taux d'allongement. ${\ displaystyle {\ dot {\ epsilon}}}$

L'équation prédit que la viscosité d'allongement approche (la même que pour les fluides newtoniens ) pour le cas d'un faible taux d'allongement ( ) avec un épaississement de déformation rapide avec une viscosité à l'état d'équilibre approchant l'infini à un certain taux d'allongement ( ) et à un certain taux de compression ( ). Ce comportement semble réaliste. ${\ displaystyle 3 \ eta _ {0}}$${\ displaystyle {\ dot {\ epsilon}} \ ll {\ frac {1} {\ lambda}}}$${\ displaystyle {\ dot {\ epsilon}} _ {\ infty} = {\ frac {1} {2 \ lambda}}}$${\ displaystyle {\ dot {\ epsilon}} _ {- \ infty} = - {\ frac {1} {\ lambda}}}$

Cas de petite déformation

Pour le cas de petites déformations, les non-linéarités introduites par la dérivée convectée supérieure disparaissent et le modèle est devenu un modèle ordinaire du matériau Maxwell .

Les références

• Macosko, Christopher (1993). Rhéologie. Principes, mesures et applications . Éditeur VCH. ISBN 1-56081-579-5.