Modèle vectoriel de l'atome - Vector model of the atom

Partie d'une série sur
Mécanique quantique
${\ displaystyle i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial t}} | \ psi (t) \ rangle = {\ hat {H}} | \ psi (t) \ rangle}$ Équation de Schrödinger
introduction Glossaire L'histoire Manuels
Contexte Mécanique classique Ancienne théorie quantique Notation Bra – ket Hamiltonien Ingérence
Fondamentaux Règle née Longueur d'onde de Compton La cohérence Décohérence Complémentarité Niveau d'énergie Enchevêtrement Hamiltonien Principe incertain État fondamental Amplitude de probabilité Distribution de probabilité Ingérence La mesure Mesure faible Non-localité Observable Opérateur Quantum Fluctuation quantique Nombre quantique Bruit quantique État quantique Système quantique Téléportation quantique Qubit Tourner Superposition État du vide quantique Symétrie Rupture de symétrie (spontanée) État du vide Propagation d'onde Fonction Wave Réduire la fonction d'onde Dualité onde-particule Onde de matière Barrière de potentiel rectangulaire Espace Fock
Effets Effet Zeeman Effet austère Effet Aharonov – Bohm Quantification Landau Effet Hall quantique Effet Quantum Zeno Tunnellisation quantique Effet photoélectrique Effet Casimir
Expériences L'inégalité de Bell Davisson – Germer Double fente Elitzur – Vaidman Franck – Hertz Inégalité de Leggett-Garg Mach – Zehnder Popper Gomme quantique  ( choix différé ) Le chat de Schrödinger Stern – Gerlach Le choix retardé de Wheeler
Formulations Aperçu Images dynamiques ( Heisenberg ; Interaction ; Schrödinger ) Matrice Espace des phases Somme sur les historiques (intégrale de chemin)
Équations Dirac Hellmann – Feynman Klein – Gordon Lippmann – Schwinger Pauli Rydberg Schrödinger Intégration fonctionnelle
Interprétations Aperçu Bayésien Histoires cohérentes Copenhague de Broglie – Bohm Ensemble Variable cachée Plusieurs mondes Réduire l'objectif Logique quantique Relationnel Transactionnel
Sujets avancés Hypothèse de thermalisation de l'état propre Recuit quantique Chaos quantique L'informatique quantique Géométrie quantique Matrice de densité Théorie quantique des champs Mécanique quantique fractionnelle Gravité quantique Science de l'information quantique Apprentissage automatique quantique Théorie des perturbations (mécanique quantique) Mécanique quantique relativiste Théorie de la dispersion Théorie du vide superfluide Conversion descendante paramétrique spontanée Mécanique statistique quantique
Scientifiques Aharonov cloche Blackett Bloch Bohm Bohr Né Bose de Broglie Candlin Compton Dirac Davisson Debye Ehrenfest Einstein Everett Fock Fermi Feynman Glauber Gutzwiller Heisenberg Hilbert Jordan Kramers Pauli agneau Landau Laue Moseley Millikan Onnes Planck Rabi Raman Rydberg Schrödinger Sommerfeld von Neumann Weyl Wien Wigner Zeeman Zeilinger Goudsmit Uhlenbeck Yang
Catégories ► Mécanique quantique
v t e

En physique , en particulier en mécanique quantique , le modèle vectoriel de l'atome est un modèle de l' atome en termes de moment cinétique . Il peut être considéré comme l'extension du modèle atomique de Rutherford – Bohr – Sommerfeld aux atomes multiélectroniques.

introduction

Illustration du modèle vectoriel du moment angulaire orbital.

Le modèle est une représentation pratique du moment angulaire des électrons dans l'atome. Le moment cinétique est toujours divisé en orbite L , spin S et total J :

${\ displaystyle \ mathbf {J} = \ mathbf {L} + \ mathbf {S}.}$

Étant donné qu'en mécanique quantique, le moment cinétique est quantifié et qu'il existe une relation d'incertitude pour les composantes de chaque vecteur, la représentation s'avère assez simple (bien que les mathématiques de base soient assez complexes). Géométriquement, il s'agit d'un ensemble discret de cônes circulaires à droite, sans la base circulaire, dans lequel les axes de tous les cônes sont alignés sur un axe commun, classiquement l'axe z pour les coordonnées cartésiennes tridimensionnelles. Voici le contexte de cette construction.

Contexte mathématique du moment angulaire

Cônes de moment cinétique de spin, ici représentés pour une particule de spin-1/2

Le commutateur implique que pour chacun des L , S et J , une seule composante de tout vecteur de moment angulaire peut être mesurée à tout instant; en même temps, les deux autres sont indéterminés. Le commutateur de deux opérateurs de moment angulaire (correspondant aux directions des composants) est différent de zéro. Voici un résumé des mathématiques pertinentes pour la construction du modèle vectoriel.

Les relations de commutation sont (en utilisant la convention de sommation d'Einstein ):

${\ displaystyle {\ begin {aligné} & [{\ hat {L}} _ {a}, {\ hat {L}} _ {b}] = i \ hbar \ varepsilon _ {abc} {\ hat {L }} _ {c} \\ & [{\ hat {S}} _ {a}, {\ hat {S}} _ {b}] = i \ hbar \ varepsilon _ {abc} {\ hat {S} } _ {c} \\\ end {aligné}}}$

où

• L = ( L ₁ , L ₂ , L ₃ ), S = ( S ₁ , S ₂ , S ₃ ) et J = ( J ₁ , J ₂ , J ₃ ) (ils correspondent à L = ( L _x , L _y , L _z ), S = ( S _x , S _y , S _z ) et J = ( J _x , J _y , J _z ) en coordonnées cartésiennes),
• a , b , c ∊ {1,2,3} sont des indices marquant les composantes du moment cinétique
• ε _abc est le tenseur de permutation à 3 indices en 3-d.

Les grandeurs de L , S et J peuvent cependant être mesurées en même temps, puisque la commutation du carré d'un opérateur de moment cinétique (résultante complète, pas de composantes) avec une seule composante est nulle, donc la mesure simultanée de avec , avec et avec satisfaire: ${\ displaystyle {\ hat {L}} _ {a}}$${\ displaystyle {\ hat {L}} ^ {2}}$${\ displaystyle {\ hat {S}} _ {a}}$${\ displaystyle {\ hat {S}} ^ {2}}$${\ displaystyle {\ hat {J}} _ {a}}$${\ displaystyle {\ hat {J}} ^ {2}}$

${\ displaystyle {\ begin {aligné} & [{\ hat {L}} _ {a}, {\ hat {L}} ^ {2}] = 0 \\ & [{\ hat {S}} _ { a}, {\ hat {S}} ^ {2}] = 0 \\ & [{\ hat {J}} _ {a}, {\ hat {J}} ^ {2}] = 0 \\\ fin {aligné}}}$

Les grandeurs satisfont à tous les critères suivants, en termes d'opérateurs et de composantes vectorielles:

${\ displaystyle {\ begin {aligné} & {\ hat {L}} ^ {2} = {\ hat {L}} _ {x} ^ {2} + {\ hat {L}} _ {y} ^ {2} + {\ hat {L}} _ {z} ^ {2} \, \, \ rightleftharpoons \, \, \ mathbf {L} \ cdot \ mathbf {L} = L ^ {2} = L_ { x} ^ {2} + L_ {y} ^ {2} + L_ {z} ^ {2}, \\ & {\ hat {S}} ^ {2} = {\ hat {S}} _ {x } ^ {2} + {\ hat {S}} _ {y} ^ {2} + {\ hat {S}} _ {z} ^ {2} \, \, \ rightleftharpoons \, \, \ mathbf { S} \ cdot \ mathbf {S} = S ^ {2} = S_ {x} ^ {2} + S_ {y} ^ {2} + S_ {z} ^ {2}, \\ & {\ hat { J}} ^ {2} = {\ hat {J}} _ {x} ^ {2} + {\ hat {J}} _ {y} ^ {2} + {\ hat {J}} _ {z } ^ {2} \, \, \ rightleftharpoons \, \, \ mathbf {J} \ cdot \ mathbf {J} = J ^ {2} = J_ {x} ^ {2} + J_ {y} ^ {2 } + J_ {z} ^ {2}, \\\ end {aligné}}}$

et nombres quantiques:

${\ displaystyle {\ begin {aligné} & | \ mathbf {L} | = \ hbar {\ sqrt {\ ell (\ ell +1)}}, \ quad L_ {z} = m _ {\ ell} \ hbar, \\ & | \ mathbf {S} | = \ hbar {\ sqrt {s (s + 1)}}, \ quad S_ {z} = m_ {s} \ hbar, \\ & | \ mathbf {J} | = \ hbar {\ sqrt {j (j + 1)}}, \ quad J_ {z} = m_ {j} \ hbar, \\\ end {aligné}}}$

où

• ${\ displaystyle \ scriptstyle \ ell}$ , est le nombre quantique azimutal ,
• s , est le nombre quantique de spin intrinsèque au type de particule,
• j , est le nombre quantique de moment angulaire total ,

qui prennent respectivement les valeurs:

${\ displaystyle {\ begin {aligné} & m _ {\ ell} \ in \ {- \ ell, - (\ ell -1) \ cdots \ ell -1, \ ell \}, \ quad \ ell \ in \ {0 , 1 \ cdots n-1 \} \\ & m_ {s} \ in \ {- s, - (s-1) \ cdots s-1, s \}, \\ & m_ {j} \ in \ {- j , - (j-1) \ cdots j-1, j \}, \\ & m_ {j} = m _ {\ ell} + m_ {s}, \ quad j = | \ ell + s | \\\ end { aligné}}}$

Ces faits mathématiques suggèrent le continuum de tous les moments angulaires possibles pour un nombre quantique spécifié correspondant:

1. Une direction est constante, les deux autres sont variables.
2. L'amplitude des vecteurs doit être constante (pour un état spécifié correspondant au nombre quantique), de sorte que les deux composantes indéterminées de chacun des vecteurs doivent être confinées à un cercle, de telle sorte que les composantes mesurables et non mesurables ( à un instant) permettent de construire correctement les grandeurs, pour toutes les composantes indéterminées possibles.

Le résultat géométrique est un cône de vecteurs, le vecteur commence au sommet du cône et sa pointe atteint la circonférence du cône. Il est conventionnel d'utiliser la composante z pour la composante mesurable du moment cinétique, de sorte que l'axe du cône doit être l'axe z, dirigé du sommet vers le plan défini par la base circulaire du cône, perpendiculaire au plan . Pour différents nombres quantiques, les cônes sont différents. Il existe donc un nombre discret d'états dans lesquels le moment cinétique peut être, régi par les valeurs possibles ci-dessus pour , s et j . En utilisant la configuration précédente du vecteur dans le cadre d'un cône, chaque état doit correspondre à un cône. C'est pour augmenter , s et j , et décroître , s et j > Les nombres quantiques négatifs correspondent aux cônes reflétés dans le plan x - y . Un de ces états, pour un nombre quantique égal à zéro, ne correspond clairement pas à un cône, seulement un cercle dans le plan x - y . ${\ displaystyle \ scriptstyle \ ell}$${\ displaystyle \ scriptstyle \ ell}$${\ displaystyle \ scriptstyle \ ell}$

Le nombre de cônes (y compris le cercle plane dégénéré) est égale à la multiplicité d'états, . ${\ displaystyle \ scriptstyle 2 \ ell +1}$

Modèle Bohr

On peut considérer l'extension du modèle de Bohr car Niels Bohr a également proposé que le moment cinétique soit quantifié selon:

${\ displaystyle L = m \ hbar}$

où m est un entier, a produit des résultats corrects pour l'atome d'hydrogène. Bien que le modèle de Bohr ne s'applique pas aux atomes à plusieurs électrons, il s'agissait de la première quantification réussie du moment angulaire appliquée à l'atome, précédant le modèle vectoriel de l'atome.

Ajout de moment cinétique

Pour les atomes à un électron (c'est-à-dire l'hydrogène), il n'y a qu'un seul ensemble de cônes pour l'électron en orbite. Pour les atomes à plusieurs électrons, il existe de nombreux états, en raison du nombre croissant d'électrons.

Les moments angulaires de tous les électrons de l'atome s'ajoutent de manière vectorielle . La plupart des processus atomiques, à la fois nucléaires et chimiques (électroniques) - sauf dans le processus absolument stochastique de désintégration radioactive - sont déterminés par l' appariement de spin et le couplage des moments angulaires dus aux nucléons et électrons voisins . Le terme «couplage» dans ce contexte signifie la superposition vectorielle des moments angulaires, c'est-à-dire que des grandeurs et des directions sont ajoutées.

Dans les atomes à plusieurs électrons, la somme vectorielle de deux moments angulaires est:

${\ displaystyle \ mathbf {J} = \ mathbf {J} _ {1} + \ mathbf {J} _ {2} \, \!}$

pour la composante z, les valeurs projetées sont:

${\ displaystyle J_ {z} = J_ {1z} + J_ {2z} \, \!}$

où

${\ displaystyle {\ begin {aligné} & \ mathbf {J} _ {z} = m_ {j} \ hbar \\ & \ mathbf {J} _ {1z} = m_ {j_ {1}} \ hbar \\ & \ mathbf {J} _ {2z} = m_ {j_ {2}} \ hbar \\\ end {aligné}} \, \!}$

et les magnitudes sont:

${\ displaystyle {\ begin {aligné} & | \ mathbf {J} | = \ hbar {\ sqrt {j (j + 1)}} \\ & | \ mathbf {J} _ {1} | = \ hbar { \ sqrt {j_ {1} (j_ {1} +1)}} \\ & | \ mathbf {J} _ {2} | = \ hbar {\ sqrt {j_ {2} (j_ {2} +1) }} \\\ end {aligné}}}$

dans lequel

${\ displaystyle j \ in \ {| j_ {1} -j_ {2} |, | j_ {1} -j_ {2} | -1 \ cdots j_ {1} + j_ {2} -1, j_ {1 } + j_ {2} \} \, \!}$

Ce processus peut être répété pour un troisième électron, puis le quatrième etc. jusqu'à ce que le moment cinétique total ait été trouvé.

Couplage LS

Illustration du couplage LS. Le moment cinétique total J est violet, l'orbitale L est bleue et le spin S est vert.

Le processus d'addition de tous les moments angulaires ensemble est une tâche laborieuse, puisque les moments résultants ne sont pas définis, les cônes entiers des moments de précession autour de l'axe z doivent être incorporés dans le calcul. Ceci peut être simplifié par certaines approximations développées - comme le schéma de couplage Russell-Saunders dans le couplage LS , nommé d'après HN Russell et FA Saunders (1925).

Voir également

• Coefficients de Clebsch – Gordan
• Couplage LS
• Diagrammes de moment angulaire (mécanique quantique)
• Base sphérique

Références

• Physique quantique des atomes, molécules, solides, noyaux et particules (2e édition) , R. Eisberg, R. Resnick, John Wiley & Sons, 1985, ISBN   978-0-471-87373-0

Lectures complémentaires

• Atomic Many-Body Theory , I. Lindgren, J. Morrison, Springer-Verlag Series in: Chemical Physics N ^o 13, 1982, ISBN, Monographie de niveau supérieur sur la théorie de nombreux corps dans le contexte du moment angulaire, avec beaucoup d'emphase sur la représentation graphique et méthodes.
• Mécanique quantique démystifiée , D. McMahon, Mc Graw Hill, 2005, ISBN   0-07-145546-9