approximation WKB - WKB approximation

En physique mathématique , l' approximation WKB ou la méthode WKB est une méthode pour trouver des solutions approximatives aux équations différentielles linéaires avec des coefficients variant dans l'espace. Il est généralement utilisé pour un calcul semi-classique en mécanique quantique dans lequel la fonction d'onde est refondue en fonction exponentielle, développée de manière semi-classique, puis l'amplitude ou la phase est considérée comme changeant lentement.

Le nom est un sigle pour Wentzel-Kramers-Brillouin . Elle est également connue sous le nom de méthode LG ou Liouville-Green . D'autres combinaisons de lettres souvent utilisées incluent JWKB et WKBJ , où le « J » signifie Jeffreys.

Bref historique

Cette méthode porte le nom des physiciens Gregor Wentzel , Hendrik Anthony Kramers et Léon Brillouin , qui l'ont tous développée en 1926. En 1923, le mathématicien Harold Jeffreys avait développé une méthode générale d'approximation des solutions d'équations différentielles linéaires du second ordre, une classe qui inclut l' équation de Schrödinger . L'équation de Schrödinger elle-même n'a été développée que deux ans plus tard, et Wentzel, Kramers et Brillouin n'étaient apparemment pas au courant de ces travaux antérieurs, de sorte que Jeffreys est souvent négligé. Les premiers textes de mécanique quantique contiennent un certain nombre de combinaisons de leurs initiales, y compris WBK, BWK, WKBJ, JWKB et BWKJ. Une discussion faisant autorité et un aperçu critique ont été donnés par Robert B. Dingle.

Les premières apparitions de méthodes essentiellement équivalentes sont : Francesco Carlini en 1817, Joseph Liouville en 1837, George Green en 1837, Lord Rayleigh en 1912 et Richard Gans en 1915. On peut dire que Liouville et Green ont fondé la méthode en 1837, et c'est aussi communément appelée méthode Liouville-Green ou LG.

La contribution importante de Jeffreys, Wentzel, Kramers et Brillouin à la méthode a été l'inclusion du traitement des points de retournement , reliant les solutions évanescentes et oscillatoires de chaque côté du point de retournement. Par exemple, cela peut se produire dans l'équation de Schrödinger, en raison d'une colline d' énergie potentielle .

Méthode WKB

Généralement, la théorie WKB est une méthode d'approximation de la solution d'une équation différentielle dont la dérivée la plus élevée est multipliée par un petit paramètre ε . La méthode d'approximation est la suivante.

Pour une équation différentielle

${\displaystyle \varepsilon {\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}+a(x){\frac {d^{n-1}y}{dx^{n-1} }}+\cdots +k(x){\frac {dy}{dx}}+m(x)y=0,}$

supposons une solution de la forme d'un développement en série asymptotique

${\displaystyle y(x)\sim \exp \left[{\frac {1}{\delta }}\sum _{n=0}^{\infty }\delta ^{n}S_{n}(x )\droite]}$

dans la limite δ → 0 . La mise à l' échelle asymptotique de δ en termes de ε sera déterminé par l'équation - voir l'exemple ci - dessous.

La substitution de l' ansatz ci-dessus dans l'équation différentielle et l'annulation des termes exponentiels permettent de résoudre un nombre arbitraire de termes S _n (x) dans le développement.

La théorie WKB est un cas particulier d' analyse à plusieurs échelles .

Un exemple

Cet exemple provient du texte de Carl M. Bender et Steven Orszag . Considérons l'équation différentielle linéaire homogène du second ordre

${\displaystyle \epsilon ^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=Q(x)y,}$

où . Substitution ${\style d'affichage Q(x)\neq 0}$

${\displaystyle y(x)=\exp \left[{\frac {1}{\delta }}\sum _{n=0}^{\infty }\delta ^{n}S_{n}(x) \droite]}$

aboutit à l'équation

${\displaystyle \epsilon ^{2}\left[{\frac {1}{\delta ^{2}}}\left(\sum _{n=0}^{\infty }\delta ^{n}S_ {n}'\right)^{2}+{\frac {1}{\delta }}\sum _{n=0}^{\infty }\delta ^{n}S_{n}''\right ]=Q(x).}$

À l' ordre principal (en supposant, pour le moment, que la série soit asymptotiquement cohérente), ce qui précède peut être approximé comme

${\displaystyle {\frac {\epsilon ^{2}}{\delta ^{2}}}S_{0}'^{2}+{\frac {2}\epsilon ^{2}}{\delta }} S_{0}'S_{1}'+{\frac {\epsilon ^{2}}{\delta }}S_{0}''=Q(x).}$

Dans la limite δ → 0 , le bilan dominant est donné par

${\displaystyle {\frac {\epsilon ^{2}}{\delta ^{2}}}S_{0}'^{2}\sim Q(x).}$

Donc δ est proportionnel à ε . Les mettre à égalité et comparer les rendements des puissances

${\displaystyle \epsilon ^{0}:\quad S_{0}'^{2}=Q(x),}$

qui peut être reconnue comme l' équation d'Eikonal , avec la solution

${\displaystyle S_{0}(x)=\pm \int _{x_{0}}^{x}{\sqrt {Q(t)}}\,dt.}$

Considérant les pouvoirs de premier ordre de e fixe

${\displaystyle \epsilon ^{1}:\quad 2S_{0}'S_{1}'+S_{0}''=0.}$

Cela a la solution

${\displaystyle S_{1}(x)=-{\frac {1}{4}}\ln Q(x)+k_{1},}$

où k ₁ est une constante arbitraire.

Nous avons maintenant une paire d'approximations du système (une paire, car S ₀ peut prendre deux signes) ; l'approximation WKB du premier ordre sera une combinaison linéaire des deux :

${\displaystyle y(x)\approx c_{1}Q^{-{\frac {1}{4}}}(x)\exp \left[{\frac {1}{\epsilon }}\int _ {x_{0}}^{x}{\sqrt {Q(t)}}\,dt\right]+c_{2}Q^{-{\frac {1}{4}}}(x)\ exp \left[-{\frac {1}{\epsilon }}\int _{x_{0}}^{x}{\sqrt {Q(t)}}\,dt\right].}$

Termes d'ordre supérieur peuvent être obtenues en examinant les équations pour des puissances plus élevées de δ . Explicitement,

${\displaystyle 2S_{0}'S_{n}'+S''_{n-1}+\sum _{j=1}^{n-1}S'_{j}S'_{nj} =0}$

pour n 2.

Précision de la série asymptotique

La série asymptotique pour y ( x ) est généralement une série divergente , dont le terme général δ ⁿ S _n (x) commence à augmenter après une certaine valeur n  =  n _max . Par conséquent, la plus petite erreur obtenue par la méthode WKB est au mieux de l'ordre du dernier terme inclus.

Pour l'équation

${\displaystyle \epsilon ^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=Q(x)y,}$

avec Q(x) <0 une fonction analytique, la valeur et l'amplitude du dernier terme peuvent être estimées comme suit : ${\style d'affichage n_{\max }}$

${\displaystyle n_{\max }\approx 2\epsilon ^{-1}\left|\int _{x_{0}}^{x_{\ast }}{\sqrt {-Q(z)}}\ ,dz\right|,}$

${\displaystyle \delta ^{n_{\max }}S_{n_{\max }}(x_{0})\approx {\sqrt {\frac {2\pi }{n_{\max }}}}\ exp[-n_{\max }],}$

où est le point auquel doit être évalué et est le point de retournement (complexe) où , le plus proche de . ${\style d'affichage x_{0}}$${\style d'affichage y(x_{0})}$${\displaystyle x_{\ast }}$${\displaystyle Q(x_{\ast })=0}$${\style d'affichage x=x_{0}}$

Le nombre n _max peut être interprété comme le nombre d'oscillations entre et le point de retournement le plus proche. ${\style d'affichage x_{0}}$

Si est une fonction qui change lentement, ${\displaystyle \epsilon ^{-1}Q(x)}$

${\displaystyle \epsilon \left|{\frac {dQ}{dx}}\right|\ll Q^{2},}$

le nombre n _max sera grand et l'erreur minimale de la série asymptotique sera exponentiellement petite.

Application à l'équation de Schrödinger

L'exemple ci-dessus peut être appliqué spécifiquement à l' équation de Schrödinger unidimensionnelle et indépendante du temps ,

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi (x)+V(x)\Psi ( x)=E\Psi (x),}$

qui peut être réécrit comme

${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi (x)={\frac {2}m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)- E\droit)\Psi (x).}$

Rapprochement loin des tournants

La fonction d'onde peut être réécrite comme l'exponentielle d'une autre fonction Φ (étroitement liée à l' action ), qui pourrait être complexe,

${\displaystyle \Psi (x)=e^{\Phi (x)},}$

de sorte que

${\displaystyle \Phi ''(x)+\left[\Phi '(x)\right]^{2}={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x) -E\droit),}$

où Φ 'indique la dérivée de Φ par rapport à x . Ce dérivé Φ 'peut être séparé en parties réelles et imaginaires en introduisant les véritables fonctions A et B ,

${\displaystyle \Phi '(x)=A(x)+iB(x).}$

L'amplitude de la fonction d'onde est alors

${\displaystyle \exp \left[\int _{x_{0}}^{x}A(x')\,dx'\right],}$

tandis que la phase est

${\displaystyle \int _{x_{0}}^{x}B(x')\,dx'.}$

Les parties réelle et imaginaire de l'équation de Schrödinger deviennent alors

${\displaystyle A'(x)+A(x)^{2}-B(x)^{2}={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)- E\droit),}$

${\style d'affichage B'(x)+2A(x)B(x)=0.}$

Ensuite, l'approximation semi-classique est utilisée. Cela signifie que chaque fonction est développée comme une série entière dans . A partir des équations ci - dessus, on peut voir que la série de puissance doit commencer avec au moins un ordre de 1 / ħ pour satisfaire la partie réelle de l'équation. Afin d'obtenir une bonne limite classique, il est nécessaire de commencer par en tant que puissance élevée a de la constante de Planck çais possible:

${\displaystyle A(x)={\frac {1}{\hbar }}\sum _{n=0}^{\infty }\hbar ^{n}A_{n}(x),}$

${\displaystyle B(x)={\frac {1}{\hbar }}\sum _{n=0}^{\infty }\hbar ^{n}B_{n}(x).}$

A l'ordre zéro de ce développement, les conditions sur A et B peuvent être écrites,

${\displaystyle A_{0}(x)^{2}-B_{0}(x)^{2}=2m\left(V(x)-E\right),}$

${\style d'affichage A_{0}(x)B_{0}(x)=0\;.}$

Les dérivées premières A « (x) et B » (x) ont été mis au rebut, car elles comprennent des facteurs d'ordre 1 / ħ , supérieure à la dominante ħ ^-2 .

Alors, si l'amplitude varie suffisamment lentement par rapport à la phase ( ), il s'ensuit que ${\style d'affichage A_{0}(x)=0}$

${\displaystyle B_{0}(x)=\pm {\sqrt {2m\left(EV(x)\right)}},}$

ce qui n'est valable que lorsque l'énergie totale est supérieure à l'énergie potentielle, comme c'est toujours le cas dans le mouvement classique .

Après la même procédure sur l'ordre suivant de l'expansion, il s'ensuit que

En revanche, si c'est la phase qui varie lentement (par rapport à l'amplitude), ( ) alors ${\style d'affichage B_{0}(x)=0}$

${\displaystyle A_{0}(x)=\pm {\sqrt {2m\left(V(x)-E\right)}},}$

ce qui n'est valable que lorsque l'énergie potentielle est supérieure à l'énergie totale (le régime dans lequel se produit l' effet tunnel quantique ).

Trouver l'ordre suivant de l'expansion donne, comme dans l'exemple de la section précédente,

Dans la région classiquement autorisée, à savoir la région où l'intégrande dans l'exposant est imaginaire et la fonction d'onde approximative est oscillatoire. Dans la région classiquement interdite , les solutions croissent ou se dégradent. Il est évident dans le dénominateur que ces deux solutions approchées deviennent singulières près des points de retournement classiques , où E = V(x) , et ne peuvent pas être valides. (Les points de retournement sont les points où la particule classique change de direction.) ${\style d'affichage V(x)<E}$${\style d'affichage V(x)>E}$

Comportement près des points de retournement

Considérons maintenant le comportement de la fonction d'onde près des points de retournement. Pour cela, nous avons besoin d'une méthode différente. Près des premiers points de retournement, x ₁ , le terme peut être développé en une série entière, ${\displaystyle {\frac {2}m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)}$

${\displaystyle {\frac {2}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)=U_{1}\cdot (x-x_{1})+U_{2} \cdot (x-x_{1})^{2}+\cdots \;.}$

Au premier ordre, on trouve

${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi (x)=U_{1}\cdot (x-x_{1})\cdot \Psi (x).}$

Cette équation différentielle est connue sous le nom d' équation d'Airy , et la solution peut être écrite en termes de fonctions d'Airy ,

${\displaystyle \Psi (x)=C_{A}{\textrm {Ai}}\left({\sqrt[{3}]{U_{1}}}\cdot (x-x_{1})\right )+C_{B}{\textrm {Bi}}\left({\sqrt[{3}]{U_{1}}}\cdot (x-x_{1})\right).}$

Bien que pour toute valeur fixe de , la fonction d'onde soit délimitée près des points de retournement, la fonction d'onde y sera culminée, comme on peut le voir dans les images ci-dessus. À mesure que diminue, la hauteur de la fonction d'onde aux points de retournement augmente. ${\style d'affichage \hbar }$${\style d'affichage \hbar }$

Les conditions d'appariement

Il reste maintenant à construire une solution globale (approximative) de l'équation de Schrödinger. Pour que la fonction d'onde soit carrément intégrable, nous devons prendre uniquement la solution à décroissance exponentielle dans les deux régions classiquement interdites. Ceux-ci doivent alors "se connecter" correctement à travers les points de retournement à la région classiquement autorisée. Pour la plupart des valeurs de E , cette procédure d'appariement ne fonctionnera pas : La fonction obtenue en connectant la solution proche de la région classiquement autorisée ne concordera pas avec la fonction obtenue en connectant la solution proche de la région classiquement autorisée. L'exigence que les deux fonctions concordent impose une condition sur l'énergie E , qui donnera une approximation des niveaux d'énergie quantiques exacts. ${\style d'affichage +\infty }$${\displaystyle -\infty }$

Étant donné les deux coefficients d'un côté du tournant classique, les 2 coefficients de l'autre côté du tournant classique peuvent être déterminés en utilisant la fonction d'Airy pour les relier. Ainsi, une relation entre et peut être trouvée. Cette relation est obtenue en utilisant l'asymptotique connue de la fonction d'Airy. La relation peut être la suivante (souvent appelée les "formules de connexion") : ${\displaystyle C_{0},\theta }$${\style d'affichage C_{+},C_{-}}$

${\displaystyle C_{+}=+{\frac {1}{2}}C_{0}\cos {\left(\theta -{\frac {\pi }{4}}\right)},}$

${\displaystyle C_{-}=-{\frac {1}{2}}C_{0}\sin {\left(\theta -{\frac {\pi }{4}}\right)}.}$

Maintenant, les solutions globales (approximatives) peuvent être construites. La même chose peut être faite aux autres tournants ; supposons qu'il y en a juste un autre, x ₂ . L'expression y apparaîtra cependant différente de celle déterminée ci-dessus en x ₁ par une différence dans l'argument de ces fonctions trigonométriques.

La condition d'appariement, nécessaire pour obtenir une solution approchée à valeur unique et carré intégrable, prend la forme suivante :

${\displaystyle \int _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {2m\left(EV(x)\right)}}\,dx=(n+1/2)\pi \ hbar ,}$

où sont les tournants du potentiel discuté, où l'intégrande s'évanouit. Ici n est un entier non négatif. Cette condition peut également être réécrite en disant que ${\style d'affichage x_{1},x_{2}}$

L'aire délimitée par la courbe d'énergie classique est .${\displaystyle 2\pi \hbar (n+1/2)}$

Dans tous les cas, la condition sur l'énergie est une version de la condition de quantification de Bohr-Sommerfeld , avec une « correction de Maslov » égale à 1/2.

Il est possible de montrer qu'après avoir reconstitué les approximations dans les différentes régions, on obtient une bonne approximation de la fonction propre réelle. En particulier, les énergies de Bohr-Sommerfeld corrigées par Maslov sont de bonnes approximations des valeurs propres réelles de l'opérateur de Schrödinger. Plus précisément, l'erreur dans les énergies est faible par rapport à l'espacement typique des niveaux d'énergie quantique. Ainsi, bien que la « vieille théorie quantique » de Bohr et Sommerfeld ait finalement été remplacée par l'équation de Schrödinger, il reste des vestiges de cette théorie, en tant qu'approximation des valeurs propres de l'opérateur de Schrödinger approprié.

La densité de probabilité

On peut alors calculer la densité de probabilité associée à la fonction d'onde approchée. La probabilité que la particule quantique se trouve dans la région classiquement interdite est faible. Dans la région classiquement autorisée, la probabilité que la particule quantique soit trouvée dans un intervalle donné est approximativement la fraction de temps que la particule classique passe dans cet intervalle sur une période de mouvement. Étant donné que la vitesse de la particule classique atteint zéro aux points de retournement, elle passe plus de temps près des points de retournement que dans d'autres régions classiquement autorisées. Cette observation explique le pic de la fonction d'onde (et sa densité de probabilité) près des points de retournement.

Les applications de la méthode WKB aux équations de Schrödinger avec une grande variété de potentiels et la comparaison avec les méthodes de perturbation et les intégrales de chemin sont traitées dans Müller-Kirsten.

Voir également

Les références

Références modernes

• Bender, Carl ; Orszag, Steven (1978). Méthodes mathématiques avancées pour les scientifiques et les ingénieurs . McGraw-Hill. ISBN 0-07-004452-X.CS1 maint : plusieurs noms : liste des auteurs ( lien )
• Enfant, MS (1991). Mécanique semi-classique avec applications moléculaires . Oxford : Clarendon Press. ISBN 0-19-855654-3.
• Griffiths, David J. (2004). Introduction à la mécanique quantique (2e éd.) . Prentice Hall. ISBN 0-13-111892-7.
• Hall, Brian C. (2013), Quantum Theory for Mathematicians , Graduate Texts in Mathematics, 267 , Springer, ISBN 978-1461471158
• Liboff, Richard L. (2003). Introduction à la mécanique quantique (4e éd.) . Addison-Wesley. ISBN 0-8053-8714-5.
• Olver, Frank William John (1974). Asymptotique et fonctions spéciales . Presse académique. ISBN 0-12-525850-X.
• Razavy, Mohsen (2003). Théorie quantique du tunneling . Scientifique du monde. ISBN 981-238-019-1.
• Sakurai, JJ (1993). Mécanique Quantique Moderne . Addison-Wesley. ISBN 0-201-53929-2.

Références historiques

• Carlini, Francesco (1817). Ricerche sulla convergenza della serie che che serva alla soluzione del problema di Keplero . Milano.
• Liouville, Joseph (1837). "Sur le développement des fonctions et séries.". Journal de Mathématiques Pures et Appliquées . 1 : 16-35.
• Vert, Georges (1837). "Sur le mouvement des vagues dans un canal variable de faible profondeur et largeur". Transactions de la Cambridge Philosophical Society . 6 : 457-462.
• Rayleigh, seigneur (John William Strutt) (1912). "Sur la propagation des ondes à travers un milieu stratifié, avec une référence particulière à la question de la réflexion" . Actes de la Royal Society A . 86 (586) : 207-226. Bibcode : 1912RSPSA..86..207R . doi : 10.1098/rspa.1912.0014 .
• Gans, Richard (1915). "Fortplantzung des Lichts durch ein inhomogenes Medium" . Annalen der Physik . 47 (14) : 709-736. Bibcode : 1915AnP ... 352..709G . doi : 10.1002/andp.19153521402 .
• Jeffreys, Harold (1924). « Sur certaines solutions approximatives d'équations différentielles linéaires du second ordre ». Actes de la Société mathématique de Londres . 23 : 428-436. doi : 10.1112/plms/s2-23.1.428 .
• Brillouin, Léon (1926). « La mécanique ondulatoire de Schrödinger : une méthode générale de résolution par approximations successives ». Comptes Rendus de l'Académie des Sciences . 183 : 24-26.
• Kramers, Hendrik A. (1926). "Wellenmechanik und halbzahlige Quantisierung". Zeitschrift für Physik . 39 (10-11) : 828-840. Bibcode : 1926ZPhy ... 39..828K . doi : 10.1007/BF01451751 . S2CID  122955156 .
• Wentzel, Gregor (1926). "Eine Verallgemeinerung der Quantenbedingungen für die Zwecke der Wellenmechanik". Zeitschrift für Physik . 38 (6-7): 518-529. Bibcode : 1926ZPhy ... 38..518W . doi : 10.1007/BF01397171 . S2CID  120096571 .

Liens externes

• Fitzpatrick, Richard (2002). "L'approximation WKB" . (Une application de l'approximation WKB à la diffusion des ondes radio de l'ionosphère.)