Théorème du bon ordre - Well-ordering theorem

« Le théorème de Zermelo » redirige ici. Pour le théorème de Zermelo en théorie des jeux, voir le théorème de Zermelo (théorie des jeux) .
À ne pas confondre avec le principe de bon ordre .

En mathématiques , le théorème du bon ordre , également connu sous le nom de théorème de Zermelo , stipule que chaque ensemble peut être bien ordonné . Un ensemble X est bien ordonné par un ordre total strict si chaque sous-ensemble non vide de X a un moindre élément sous l'ordre. Le théorème du bon ordre ainsi que le lemme de Zorn sont les énoncés mathématiques les plus importants qui sont équivalents à l' axiome du choix (souvent appelé AC, voir aussi Axiome du choix § Équivalents ). Ernst Zermelo a présenté l'axiome du choix comme un « principe logique irréprochable » pour prouver le théorème du bon ordre. On peut conclure du théorème du bon ordre que tout ensemble est susceptible d' induction transfinie , ce qui est considéré par les mathématiciens comme une technique puissante. Une conséquence célèbre du théorème est le paradoxe de Banach-Tarski .

Histoire

Georg Cantor considérait le théorème du bon ordre comme un « principe fondamental de la pensée ». Cependant, il est considéré comme difficile voire impossible de visualiser un bon ordre de ; une telle visualisation devrait incorporer l'axiome du choix. En 1904, Gyula Kőnig prétend avoir prouvé qu'un tel ordre ne peut pas exister. Quelques semaines plus tard, Félix Hausdorff trouve une erreur dans la preuve. Il s'est avéré, cependant, que le théorème du bon ordre est équivalent à l'axiome du choix, en ce sens que l'un avec les axiomes de Zermelo-Fraenkel est suffisant pour prouver l'autre, en logique du premier ordre (il en va de même pour le lemme ). Dans la logique du second ordre , cependant, le théorème de bon ordre est strictement plus fort que l'axiome de choix : du théorème de bon ordre on peut déduire l'axiome de choix, mais de l'axiome de choix on ne peut pas déduire le théorème de bon ordre.

Il y a une blague bien connue sur les trois affirmations et leur relative facilité à l'intuition :

L'axiome du choix est évidemment vrai, le principe de bon ordre évidemment faux, et qui peut parler du lemme de Zorn ?

Preuve de CA

L'axiome du choix peut être prouvé à partir du théorème de bon ordre comme suit.

Pour faire une fonction de choix pour une collection d'ensembles non vides, E , prenez l'union des ensembles dans E et appelez-la X . Il existe un bon ordre de X ; soit R un tel ordre. La fonction qui à chaque ensemble S de E associe le plus petit élément de S , tel qu'ordonné par (la restriction à S de) R , est une fonction de choix pour la collection E .

Un point essentiel de cette démonstration est qu'elle ne fait intervenir qu'un seul choix arbitraire, celui de R ; appliquer le théorème de bon ordre à chaque membre S de E séparément ne fonctionnerait pas, puisque le théorème affirme seulement l'existence d'un bon ordre, et choisir pour chaque S un bon ordre ne serait pas plus facile que de choisir un élément.

Remarques

  1. ^ Kuczma, Marek (2009). Introduction à la théorie des équations fonctionnelles et des inégalités . Berlin : Springer. p. 14. ISBN 978-3-7643-8748-8.
  2. ^ Hazewinkel, Michiel (2001). Encyclopédie des mathématiques : Supplément . Berlin : Springer. p. 458. ISBN 1-4020-0198-3.
  3. ^ un b Thierry, Vialar (1945). Manuel de Mathématiques . Norderstedt : Springer. p. 23. ISBN 978-2-95-519901-5.
  4. ^ Georg Cantor (1883), "Ueber unendliche, lineare Punktmannichfaltigkeiten", Mathematische Annalen 21, pp. 545-591.
  5. ^ Sheppard, Barnabé (2014). La logique de l'infini . La presse de l'Universite de Cambridge. p. 174. ISBN 978-1-1070-5831-6.
  6. ^ Plotkin, JM (2005), " Introduction à " Le concept de pouvoir dans la théorie des ensembles " ", Hausdorff on Ordered Sets , History of Mathematics, 25 , American Mathematical Society, pp. 23-30, ISBN 9780821890516
  7. ^ Shapiro, Stewart (1991). Fondations sans fondationalisme : un cas pour la logique de second ordre . New York : Oxford University Press. ISBN 0-19-853391-8.
  8. ^ Krantz, Steven G. (2002), "L'axiome du choix", dans Krantz, Steven G. (éd.), Manuel de logique et de techniques de preuve pour l'informatique , Birkhäuser Boston, pp. 121–126, doi : 10.1007 /978-1-4612-0115-1_9 , ISBN 9781461201151

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