Loi de déplacement de Wien - Wien's displacement law

Rayonnement du corps noir en fonction de la longueur d'onde pour différentes températures. Chaque courbe de température culmine à une longueur d'onde différente et la loi de Wien décrit le décalage de ce pic.

La loi de déplacement de Wien stipule que la courbe de rayonnement du corps noir pour différentes températures culminera à différentes longueurs d'onde qui sont inversement proportionnelles à la température. Le décalage de ce pic est une conséquence directe de la loi de rayonnement de Planck , qui décrit la luminosité spectrale du rayonnement du corps noir en fonction de la longueur d'onde à une température donnée. Cependant, il avait été découvert par Wilhelm Wien plusieurs années avant que Max Planck ne développe cette équation plus générale et décrive le déplacement complet du spectre du rayonnement du corps noir vers des longueurs d'onde plus courtes à mesure que la température augmente.

Formellement, la loi de déplacement de Wien stipule que la luminance spectrale du rayonnement du corps noir par unité de longueur d'onde atteint un pic à la longueur d'onde λ pic donnée par :

T est la température absolue. b est une constante de proportionnalité appelée constante de déplacement de Wien , égale à2,897 771 955 ... × 10 −3  m⋅K , ou b 2898 μm⋅K . Il s'agit d'une relation inverse entre la longueur d'onde et la température. Ainsi, plus la température est élevée, plus la longueur d'onde du rayonnement thermique est courte ou petite. Plus la température est basse, plus la longueur d'onde du rayonnement thermique est longue ou grande. Pour le rayonnement visible, les objets chauds émettent une lumière plus bleue que les objets froids. Si l'on considère le pic d'émission du corps noir par unité de fréquence ou par largeur de bande proportionnelle, il faut utiliser une constante de proportionnalité différente. Cependant, la forme de la loi reste la même : la longueur d'onde de crête est inversement proportionnelle à la température, et la fréquence de crête est directement proportionnelle à la température.

La loi de déplacement de Wien peut être appelée "loi de Wien", un terme qui est également utilisé pour l' approximation de Wien .

Exemples

La loi de déplacement de Wien est pertinente pour certaines expériences quotidiennes :

  • Un morceau de métal chauffé par un chalumeau devient d'abord « chaud rouge » lorsque les longueurs d'onde visibles les plus longues apparaissent en rouge, puis devient plus rouge orangé lorsque la température augmente, et à des températures très élevées, il serait décrit comme « chaud blanc » comme des longueurs d'onde de plus en plus courtes viennent prédominer dans le spectre d'émission du corps noir. Avant même d'avoir atteint la température rouge, l'émission thermique était principalement à des longueurs d' onde infrarouges plus longues, qui ne sont pas visibles ; néanmoins, ce rayonnement peut être ressenti lorsqu'il réchauffe la peau à proximité.
  • On observe facilement les changements de couleur d'une ampoule à incandescence (qui produit de la lumière par rayonnement thermique) lorsque la température de son filament est modifiée par un variateur de lumière . Au fur et à mesure que la lumière est atténuée et que la température du filament diminue, la distribution de la couleur se déplace vers des longueurs d'onde plus longues et la lumière apparaît plus rouge, ainsi que plus faible.
  • Un feu de bois à 1500 K émet un pic de rayonnement à environ 2000 nm. 98% de son rayonnement est à des longueurs d'onde supérieures à 1000 nm, et seulement une infime proportion aux longueurs d'onde visibles (390-700 nm). Par conséquent, un feu de camp peut garder une personne au chaud mais est une mauvaise source de lumière visible.
  • La température effective du Soleil est de 5778 K. En utilisant la loi de Wien, on trouve un pic d'émission par nanomètre (de longueur d'onde) à une longueur d'onde d'environ 500 nm, dans la partie verte du spectre près du pic de sensibilité de l'œil humain. En revanche, en termes de puissance par unité de fréquence optique, le pic d'émission du Soleil est à 343 THz soit une longueur d'onde de 883 nm dans le proche infrarouge. En termes de puissance par pourcentage de bande passante, le pic est à environ 635 nm, une longueur d'onde rouge. Quelle que soit la façon dont on veut tracer le spectre, environ la moitié du rayonnement solaire est à des longueurs d'onde inférieures à 710 nm, à peu près à la limite de la vision humaine. De ce nombre, environ 12 % se situent à des longueurs d'onde inférieures à 400 nm, des longueurs d'onde ultraviolettes, invisibles à l'œil nu. On peut apprécier qu'une assez grande quantité de rayonnement solaire tombe dans le spectre visible assez petit .
La couleur d'une étoile est déterminée par sa température, selon la loi de Wien. Dans la constellation d' Orion , on peut comparer Bételgeuse ( T  3300 K, en haut à gauche), Rigel ( T  = 12100 K, en bas à droite), Bellatrix ( T  = 22000 K, en haut à droite), et Mintaka ( T  = 31800 K, la plus à droite des 3 "étoiles de ceinture" au milieu).
  • La prépondérance de l'émission dans le domaine visible n'est cependant pas le cas dans la plupart des étoiles . La supergéante chaude Rigel émet 60% de sa lumière dans l'ultraviolet, tandis que la supergéante froide Bételgeuse émet 85% de sa lumière dans les longueurs d'onde infrarouges. Avec les deux étoiles proéminentes dans la constellation d' Orion , on peut facilement apprécier la différence de couleur entre le Rigel bleu-blanc ( T  = 12100 K) et le Bételgeuse rouge ( T  ≈ 3300 K). Alors que peu d'étoiles sont aussi chaudes que Rigel, les étoiles plus froides que le soleil ou même aussi froides que Bételgeuse sont très courantes.
  • Les mammifères dont la température de la peau est d'environ 300 K émettent un pic de rayonnement à environ 10 m dans l'infrarouge lointain. C'est donc la gamme de longueurs d'onde infrarouges que les serpents vipères et les caméras infrarouges passives doivent détecter.
  • Lorsque l'on compare la couleur apparente des sources d'éclairage (y compris les lampes fluorescentes , l'éclairage LED , les écrans d'ordinateur et les flashs photo ), il est d'usage de citer la température de couleur . Bien que les spectres de ces lumières ne soient pas décrits avec précision par la courbe de rayonnement du corps noir, une température de couleur est indiquée pour laquelle le rayonnement du corps noir correspondrait le mieux à la couleur subjective de cette source. Par exemple, la lumière fluorescente bleu-blanc parfois utilisée dans un bureau peut avoir une température de couleur de 6 500 K, tandis que la teinte rougeâtre d'une lumière incandescente tamisée peut avoir une température de couleur (et une température réelle de filament) de 2000 K. Notez que la description informelle de la première couleur (bleuâtre) comme "froide" et de la seconde (rougeâtre) comme "chaude" est exactement à l'opposé du changement de température réel impliqué dans le rayonnement du corps noir.

Découverte

La loi porte le nom de Wilhelm Wien , qui l'a dérivée en 1893 sur la base d'un argument thermodynamique. Wien a considéré la dilatation adiabatique d'une cavité contenant des ondes lumineuses en équilibre thermique. Il a montré que, lors d'une expansion ou d'une contraction lente, l'énergie de la lumière réfléchie par les murs change exactement de la même manière que la fréquence. Un principe général de la thermodynamique est qu'un état d'équilibre thermique, lorsqu'il se dilate très lentement, reste en équilibre thermique.

Wien lui-même a déduit théoriquement cette loi en 1893, en suivant le raisonnement thermodynamique de Boltzmann. Elle avait été précédemment observée, au moins semi-quantitativement, par un astronome américain, Langley. Ce décalage vers le haut de νmax avec T est familier à tout le monde : lorsqu'un fer est chauffé dans un feu, le premier rayonnement visible (à environ 900 K) est rouge foncé, la lumière visible de fréquence la plus basse. Une augmentation supplémentaire de T fait passer la couleur à l'orange puis au jaune, et enfin au bleu à des températures très élevées (10 000 K ou plus) pour lesquelles le pic d'intensité de rayonnement s'est déplacé au-delà du visible dans l'ultraviolet.


Le principe adiabatique a permis à Wien de conclure que pour chaque mode, l'invariant adiabatique énergie/fréquence n'est fonction que de l'autre invariant adiabatique, la fréquence/température. Une variante moderne de la dérivation de Wien peut être trouvée dans le manuel de Wannier et dans un article de E. Buckingham


La conséquence est que la forme de la fonction de rayonnement du corps noir (qui n'était pas encore comprise) se déplacerait proportionnellement en fréquence (ou inversement proportionnellement en longueur d'onde) avec la température. Lorsque Max Planck a ensuite formulé la fonction correcte de rayonnement du corps noir, elle n'a pas explicitement inclus la constante de Wien b . Au contraire, la constante h de Planck a été créée et introduite dans sa nouvelle formule. A partir de la constante de Planck h et de la constante de Boltzmann k , la constante de Wien b peut être obtenue.

Formulation dépendante de la fréquence

Pour le flux spectral considéré par unité de fréquence (en hertz ), la loi de déplacement de Wien décrit un pic d'émission à la fréquence optique donnée par :

ou équivalent

alpha2,821 439 372 122 078 893 ... est une constante résultant de l'équation de maximisation, k est la constante de Boltzmann , h est la constante de Planck , et T est la température (en kelvins ). Avec l'émission maintenant considérée par unité de fréquence, ce pic correspond maintenant à une longueur d'onde 70 % plus longue que le pic considéré par unité de longueur d'onde. Les mathématiques pertinentes sont détaillées dans la section suivante.

Dérivation de la loi de Planck

La loi de Planck pour le spectre du rayonnement du corps noir prédit la loi de déplacement de Wien et peut être utilisée pour évaluer numériquement la température relative constante et la valeur du paramètre de crête pour toute paramétrisation particulière. Généralement, une paramétrisation de longueur d'onde est utilisée et dans ce cas, la radiance spectrale du corps noir (puissance par zone d'émission par angle solide) est :

Différencier u (λ, T ) par rapport à λ et mettre la dérivée égale à zéro donne :

ce qui peut être simplifié pour donner :

En définissant :

l'équation devient une dans la seule variable x :

ce qui équivaut à :

Cette équation est facilement résolue numériquement en utilisant la méthode de Newton donnant x =4,965 114 231 744 276 303 ... pour doubler la précision de la virgule flottante. La résolution de la longueuronde λ en millimètres, etutilisant kelvins pour les rendements de température:

λ pic = hc / XKT = (2,897 771 955 185 172 661 ... mm K) / T.

Paramétrage par fréquence

Un autre paramétrage courant est la fréquence . La dérivation donnant la valeur du paramètre de crête est similaire, mais commence par la forme de la loi de Planck en fonction de la fréquence  :

Le processus précédent utilisant cette équation donne :

Le résultat net est :

Ceci est résolu de la même manière avec la méthode de Newton donnant x =2.821 439 372 122 078 893 ... pour doubler la précision de la virgule flottante. Une solution analytique peut être obtenue avec la fonction Lambert W

La résolution de ν produit :

ν pic = XKT / h = (0,058 789 257 576 468 249 46 ... THz K −1 ) · T.

Les maxima diffèrent selon le paramétrage

Notons que pour une température donnée, le paramétrage par fréquence implique une longueur d'onde maximale différente du paramétrage par longueur d'onde.

Par exemple, en utilisant T = 6000 K et le paramétrage de longueur d' onde, la longueur d' onde de rayonnement spectrale maximale est de λ = 482,962 nm avec une fréquence correspondant ν = 620,737 THz . Pour la même température, mais en paramétrant par fréquence, la fréquence pour la luminance spectrale maximale est ν = 352,735 THz avec la longueur d'onde correspondante λ = 849.907 nm .

Ces fonctions sont des fonctions de densité de radiance , qui sont des fonctions de densité de probabilité mises à l'échelle pour donner des unités de radiance. La fonction de densité a différentes formes pour différentes paramétrisations, en fonction de l'étirement ou de la compression relative de l'abscisse, qui mesure le changement de densité de probabilité par rapport à un changement linéaire d'un paramètre donné. Étant donné que la longueur d'onde et la fréquence ont une relation réciproque, elles représentent des décalages significativement non linéaires de la densité de probabilité les unes par rapport aux autres.

La luminance totale est l'intégrale de la distribution sur toutes les valeurs positives, et elle est invariante pour une température donnée quelle que soit la paramétrisation. De plus, pour une température donnée, la radiance constituée de tous les photons entre deux longueurs d'onde doit être la même quelle que soit la distribution que vous utilisez. En d' autres termes, l' intégration de la distribution de longueur d'onde λ 1 à X 2 se traduira par la même valeur que l' intégration de la distribution de fréquence entre les deux fréquences qui correspondent à X 1 et λ 2 , à savoir à partir de c / λ 2 à c / λ 1 . Cependant, la forme de la distribution dépend du paramétrage, et pour un paramétrage différent, la distribution aura généralement une densité de pic différente, comme le montrent ces calculs.

L'utilisation de la valeur 4 pour résoudre l'équation implicite donne le pic de la fonction de densité de radiance spectrale exprimée dans le paramètre radiance par largeur de bande proportionnelle . C'est peut-être une manière plus intuitive de présenter la "longueur d'onde du pic d'émission". Cela donne x =3.920 690 394 872 886 343 ... pour doubler la précision de la virgule flottante.

Le point important de la loi de Wien, cependant, est que tout comme marqueur de longueur d'onde, dont la longueur d' onde médiane (ou, en variante, la longueur d' onde au- dessous duquel tout pourcentage déterminé de l'émission se produit) est proportionnelle à l'inverse de la température. C'est-à-dire que la forme de la distribution pour une paramétrisation donnée évolue avec et se traduit en fonction de la température, et peut être calculée une fois pour une température canonique, puis déplacée et mise à l'échelle de manière appropriée pour obtenir la distribution pour une autre température. C'est une conséquence de l'affirmation forte de la loi de Wien.

Voir également

Remarques

Les références

Lectures complémentaires

Liens externes