Wilson premier - Wilson prime

Wilson premier

Nommé après	John Wilson
Année de parution	1938
Auteur de la publication	Emma Lehmer
Nombre de termes connus	3
Premiers termes	5 , 13 , 563
Plus grand terme connu	563
Indice OEIS

Un nombre premier de Wilson , du nom du mathématicien anglais John Wilson , est un nombre premier p tel que p ² divise ( p  − 1) ! + 1, où "!" désigne la fonction factorielle ; comparez cela avec le théorème de Wilson , qui déclare que chaque nombre premier p divise ( p  − 1)! + 1.

Les seuls nombres premiers de Wilson connus sont 5 , 13 et 563 (séquence A007540 dans l' OEIS ); s'il en existe d'autres, ils doivent être supérieurs à 2 × 10 ¹³ . Il a été conjecturé qu'il existe une infinité de nombres premiers de Wilson et que le nombre de nombres premiers de Wilson dans un intervalle [ x ,  y ] est d'environ log(log( y )/log( x )).

Plusieurs recherches informatiques ont été effectuées dans l'espoir de trouver de nouveaux nombres premiers de Wilson. Le projet de calcul distribué Ibercivis comprend une recherche de nombres premiers de Wilson. Une autre recherche a été coordonnée sur le forum Great Internet Mersenne Prime Search .

Généralisations

nombres premiers de Wilson d'ordre n

Le théorème de Wilson peut être exprimé en général comme pour tout entier et premier . Les nombres premiers de Wilson généralisés d'ordre n sont les nombres premiers p tels que divise . ${\displaystyle (n-1)!(pn)!\equiv (-1)^{n}\ {\bmod {p}}}$ ${\style d'affichage n\geq 1}$${\style d'affichage p\geq n}$${\style d'affichage p^{2}}$${\style d'affichage (n-1)!(pn)!-(-1)^{n}}$

Il a été conjecturé que pour tout nombre naturel n , il existe une infinité de nombres premiers de Wilson d'ordre n .

${\style d'affichage n}$	premier tel que divise (vérifié jusqu'à 1000000) ${\style d'affichage p}$${\style d'affichage p^{2}}$${\style d'affichage (n-1)!(pn)!-(-1)^{n}}$	séquence OEIS
1	5, 13, 563, ...	A007540
2	2, 3, 11, 107, 4931, ...	A079853
3	7, ...
4	10429, ...
5	5, 7, 47, ...
6	11, ...
7	17, ...
8	...
9	541, ...
dix	11, 1109, ...
11	17, 2713, ...
12	...
13	13, ...
14	...
15	349, 41341, ...
16	31, ...
17	61, 251, 479, ...	A152413
18	13151527, ...
19	71, 621629, ...
20	59, 499, 43223, 214009, ...
21	217369, ...
22	...
23	...
24	47, 3163, ...
25	...
26	97579, ...
27	53, ...
28	347, 739399, ...
29	...
30	137, 1109, 5179, ...

Les plus petits nombres premiers de Wilson généralisés d'ordre n sont :

5, 2, 7, 10429, 5, 11, 17, ... (Le prochain terme > 1,4 × 10 ⁷ ) (séquence A128666 dans l' OEIS )

Nombres premiers proches de Wilson

p	B
1282279	+20
1306817	−30
1308491	−55
1433813	−32
1638347	−45
1640147	-88
1647931	+14
1666403	+99
1750901	+34
1851953	−50
2031053	−18
2278343	+21
2313083	+15
2695933	−73
3640753	+69
3677071	−32
3764437	−99
3958621	+75
5062469	+39
5063803	+40
6331519	+91
6706067	+45
7392257	+40
8315831	+3
8871167	−85
9278443	−75
9615329	+27
9756727	+23
10746881	-7
11465149	−62
11512541	−26
11892977	-7
12632117	−27
12893203	−53
14296621	+2
16711069	+95
16738091	+58
17879887	+63
19344553	−93
19365641	+75
20951477	+25
20972977	+58
21561013	−90
23818681	+23
27783521	−51
27812887	+21
29085907	+9
29327513	+13
30959321	+24
33187157	+60
33968041	+12
39198017	-7
45920923	−63
51802061	+4
53188379	−54
56151923	-1
57526411	−66
64197799	+13
72818227	−27
87467099	-2
91926437	−32
92191909	+94
93445061	−30
93559087	-3
94510219	−69
101710369	−70
111310567	+22
117385529	−43
176779259	+56
212911781	−92
216331463	−36
253512533	+25
282361201	+24
327357841	−62
411237857	-84
479163953	−50
757362197	−28
824846833	+60
866006431	-81
1227886151	−51
1527857939	−19
1636804231	+64
1686290297	+18
1767839071	+8
1913042311	−65
1987272877	+5
2100839597	−34
2312420701	−78
2476913683	+94
3542985241	−74
4036677373	-5
4271431471	+83
4296847931	+41
5087988391	+51
5127702389	+50
7973760941	+76
9965682053	−18
10242692519	−97
11355061259	−45
11774118061	-1
12896325149	+86
13286279999	+52
20042556601	+27
21950810731	+93
23607097193	+97
24664241321	+46
28737804211	-58
35525054743	+26
41659815553	+55
42647052491	+10
44034466379	+39
60373446719	−48
64643245189	−21
66966581777	+91
67133912011	+9
80248324571	+46
80908082573	−20
100660783343	+87
112825721339	+70
231939720421	+41
258818504023	+4
260584487287	-52
265784418461	−78
298114694431	+82

Un nombre premier p satisfaisant la congruence ( p  − 1) ! ≡ −1 +  Bp  mod  p ² avec petit | B | peut être appelé un nombre premier proche de Wilson . Les nombres premiers proches de Wilson avec B  = 0 sont de véritables nombres premiers de Wilson. Le tableau de droite répertorie tous ces nombres premiers avec | B | ≤ 100 de 10 ⁶ jusqu'à 4 × 10 ¹¹ :

Numéros de Wilson

Un nombre de Wilson est un nombre naturel n tel que W ( n ) 0 (mod n ² ), où , la constante e est égale à 1 si et seulement si n a une racine primitive , sinon, e = −1 . Pour chaque entier naturel n , W ( n ) est divisible par n , et les quotients (appelés quotients de Wilson généralisés ) sont répertoriés dans OEIS :  A157249 . Les nombres de Wilson sont ${\displaystyle W(n)=\prod _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,n)=1}}{k}+e}$

1, 5, 13, 563, 5971, 558771, 1964215, 8121909, 12326713, 23025711, 26921605, 341569806, 399292158, ... (séquence A157250 dans l' OEIS )

Si un nombre de Wilson n est premier, alors n est un nombre premier de Wilson. Il existe 13 nombres de Wilson jusqu'à 5 × 10 ⁸ .

Voir également

• Wieferich prime
• Mur–Soleil–Soleil premier
• Premier de Wolstenholme
• PrimeGrid
• Table de congruences

Remarques

Les références

• Beeger, NGWH (1913-1914). "Quelques remarques sur les congruences r ^{p −1} 1 (mod  p ² ) et ( p  − 1!) ≡ −1 (mod p ² )". Le Messager des Mathématiques . 43 : 72-84.
• Goldberg, Karl (1953). « Une table des quotients de Wilson et le troisième premier de Wilson ». J. Londres Maths. Soc. 28 (2) : 252-256. doi : 10.1112/jlms/s1-28.2.252 .
• Ribenboim, Paulo (1996). Le nouveau livre des records des nombres premiers . Springer-Verlag . p.  346 . ISBN 978-0-387-94457-9.
• Crandall, Richard E.; Dilcher, Karl; Pomérance, Carl (1997). « Une recherche des nombres premiers de Wieferich et Wilson » . Math. Informatique . 66 (217) : 433-449. doi : 10.1090/S0025-5718-97-00791-6 .
• Crandall, Richard E.; Pomérance, Carl (2001). Nombres premiers : une perspective informatique . Springer-Verlag. p. 29. ISBN 978-0-387-94777-8.
• Pearson, Erna H. (1963). "Sur les Congruences ( p  − 1)! ≡ −1 et 2 ^{p −1}  ≡ 1 (mod  p ² )" (PDF) . Math. Informatique . 17 : 194-195.

Liens externes

• Le glossaire Prime : Wilson prime
• Weisstein, Eric W. "Wilson premier" . MathWorld .
• Statut de la recherche des nombres premiers de Wilson